平面向量及其運算

1、若 aXi, yi ,b X2,y2 ,則 a/bxi y2X2 yi01、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量，向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行。單位向量：模為1個單位長度的向量。相等向量：長度相等且方向相同的向量。平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量2、向量加減法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。向量的減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差。即：ab=a+(ab可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點。實數(shù)與向量的積：實數(shù)入與向量a的積是一個向

2、量，記作入a,它的長度與方向規(guī)定如下:(I)a|a；(n)當(dāng)0時，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，入a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0,方向是任意的。兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個實數(shù)，使得b=a。(1)平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量可表不成xiyj ,記作 a =(x,y)。(2)平面向量的坐標(biāo)運算：若A(xi,yi),Rx2,y2),則 |麗=«X2xi2+ y2 yi 2若a x，% ,bx2，y2 ,則 a bx, x2,% V2若 A x1，y,，B x2, V2，則 BX2 x1，y2yi3、平面向量的坐標(biāo)表不b ,則 K X2 yi y2

3、 0X,y1，bX2,y2，則abxX2yiy2.若注意：與X軸、y軸方向相同兩個單位向量i、j是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)入i,入2使a=-i+入2j我們把不共線向量i、j叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；由定理可將任一向量a在給出基底i、j的條件下進(jìn)行分解;基底給定時，分解形式推入i,入2是被a, i、j唯一確定的數(shù)量。向量運算運算律:dla dlb 4aa22 Jlaaaa15a-Ta22a;Ibara2-Taa4、平面向量的數(shù)量積:(1)“投影”的概念：| b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.幾何意義：

4、數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積(3)設(shè)a和b都是非零向量，則b 0 .當(dāng)a與b同向時,lalbl ；當(dāng)目與b反向時，a b|a|b ；(4)運算律：Jra Jrb坐標(biāo)運算：若aX,y,則a2X2y2,或a4y；設(shè)非零向量aXi,yi,bX2,y2,則abX1X2yy2;目bX1X2y、20-目M4典型習(xí)題將講精練1 .已知acos,sin,bcos,sin,其中0。求證：a+b與ab互相垂直；若kab與kab(k0)的長度相等，求。2 .(2013-江蘇)已知向量a=(cosa,sina),b=(cos3,sinB),0<B<a<兀.若|ab|=也

5、，求證：ab;(2)設(shè)c=(0,1)，若a+b=c,求a,B的值.3 .已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量mr(4,1),n=cos2cos2A,且rrrn=7.2，2(1)求角A的大??；(2)若a=#,試判斷bc取得最大值時ABC勺形狀。4 .設(shè)函數(shù)f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,3sin2x),xCR若f(x)=143且xC-3,求x;(2)若y=2sin2x的圖象按向量c=(min)(|rn|<j平移后得到y(tǒng)=f(x)的圖象，求實數(shù)mn的值。5.已知向量OA=3i4j,OB=6i3j,OC=(5-mj)i(4+mj)j,其中

6、i、j分別是直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量。(1)若AB、C能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件；(2)若AABS直角三角形，且/A為直角，求實數(shù)m的值。1下列命題中正確的是()AOAOBABBABBA0C0AB0DABBCCDAD2設(shè)點A(2,0)，B(4,2),若點P在直線AB上，且AB2AP，則點P的坐標(biāo)為()A(3,1)B(1,1)C(3,1)或(1,1)D無數(shù)多個3.若平面向量b與向量a(1,2)的夾角是180°,且|b|35,則b()A(3,6)B(3,6)C(6,3)D(6,3)4.向量a(2,3),b(1,2)，若mab與a2b平行，則m等于A2B2C1D1225若a,b是非零向量且滿足(a2b)a,(b2a)b，則a與b的夾角是(AB36設(shè)a(,sin2C2D53361)，b(cos,)，且a/b，則銳角3為(A300B600C750D4507.若|a|1,|b|2,cab,且ca,則向量a與b的夾角為8已知向量a(1,2),b(2,3),c(4,1),若用a和b表示c,則c=9.若a1,b2,a與b的夾角為600,若(3a5b)(mab),則m的值為10.若菱形ABCD的邊長為2,則ABCBCD11 .若a=(2,