有限元基礎理論教程_lecture06

1、根據(jù)力的平衡，結點上的結點力與結點載荷或約束反力平衡。列出全部結點的平衡方程，并按照結點編號順序排列，就得到了以全部結點位移分量為未知量的方程組，對應的系數(shù)矩陣K就是整體剛度矩陣， P為載荷列陣。 PK(2-29)2.7約束條件的處理由于整體剛度矩陣K是奇異的，在解方程組之前，要根據(jù)約束條件修改整體剛度矩陣。先考慮結點n有水平方向位移約束，與n結點水平方向對應的平衡方程為：nxnnnnnnnnPvKuKvKuK.2, 1212, 1212, 1211 , 120nu在K矩陣中，第2n-1行的對角線元素改為1，該行中全部非對角線元素改為0；在P中，第2n-1個元素改為0。為了保持K矩陣的對稱性，

2、將第2n-1列的全部非對角元素也改為0。應該換成下面的方程：如果結點n在垂直方向有位移約束，則（2-29）中的第2n個方程修改為，0nv在K矩陣中，第2n行的對角線元素改為1，該行中全部非對角線元素改為0；在P中，第2n個元素改為0。為了保持K矩陣的對稱性，將第2n列的全部非對角元素也改為0。yyxyxxPPPPPPvuvuvuvuvuvu644331665544222211000000*00*0000*00*0000*00*0000*00*0000*00*00*00*00*00*00*000000*000000*例2.9、結構的位移約束條件如圖所示，結構平衡的方程組如下。修改整體剛度矩陣。根

3、據(jù)結點4的位移約束，修改該整體剛度矩陣的系數(shù)。yyxxPPPPvuvuvuvuvuvu633166554422221100000000*00*0000*00*0000*00*00*00*00000010000000000001000000*00*00*00*00*00*00*000000*000000*000000000010*0*0*000010000010*00*0*00*00*00*00*00*000000*00000000000133665544332211yxPPvuvuvuvuvuvu稱對根據(jù)結點1和結點6的位移約束條件繼續(xù)修改整體剛度矩陣可以得到以下的形式，如果結點n處存在一個已

4、知非零的水平方向位移，這時的約束條件為，*nnuu *12, 122, 1212, 1212, 1211 , 12.nnnnnnnnnnnuAKvKuAKvKuK在K矩陣中，第2n-1行的對角線元素乘上一個大數(shù)A，將方程修改為， 處理約束條件的意義在于，強迫單元內部的分片近似位移場滿足整體結構的位移邊界條件，得到整個結構的近似解。 在定義位移約束時，要消除結構的剛體位移。1）用相關單元的單元剛度矩陣計算結點力，再由力的平衡關系得到約束反力。與位移約束對應的約束反力如何計算？2）給矩陣相應的對角元素加上一個大數(shù)，將載荷列陣的對應元素置為零。相當于用一個剛度很大的彈簧代替位移約束。nnnnnnnn

5、nAuvKuKvKuK.2, 1212, 1212, 1211 , 12n結點在x方向位移為零，用剛度系數(shù)為A的彈簧代替，由于剛度很大，un是一個很小的值。方程修改為，0.)(.2, 1212, 1212, 1211 , 12nnnnnnnnvKuAKvKuK2.8整體剛度矩陣的特點與存儲方法整體剛度矩陣具有以下幾個顯著的特點：對稱性，稀疏性，非零系數(shù)帶形分布。1）對稱性由單元剛度矩陣的對稱性和整體剛度矩陣的集成規(guī)則，可知整體剛度矩陣必為對稱矩陣。利用對稱性，只保存整體矩陣上三角部分的系數(shù)即可。2）稀疏性單元剛度矩陣的多數(shù)元素為零，非零元素的個數(shù)只占較小的部分。3）非零元素帶形分布整體剛度矩陣

6、的非零元素分布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內，這種矩陣稱為帶形矩陣。在包括對角線元素的半個帶形區(qū)域內，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬。最大半帶寬用d表示，2) 1(最大植相鄰結點編碼的差值的d例2.9所示結構的最大半帶寬為，82) 13(d二維等帶寬存儲設整體剛度矩陣K為一個n行、n列的矩陣，最大半帶寬為d。利用帶形矩陣的特點和對稱性，只需要保存以d為固定帶寬的上半帶的元素，稱為二維等帶寬存儲。整體剛度矩陣K每行中的上半帶元素取出，保存在另一個矩陣K*的對應行中，得到一個n行、d列矩陣K*。把元素在K矩陣中的行、列編碼記為r、s，在矩陣K*中的行、列編碼記為r*、s*，對應關系如下： r*=rs*

7、=s-r+1K矩陣中的對角線元素保存在新矩陣中的第1列中，K矩陣中的r行元素仍然保存在新矩陣的r行中，K矩陣中的s列元素則按照新的列編碼保存在新矩陣的不同列中。仍然會保存一些零元素，但是元素尋址很方便。10*0*0*000010000010*00*0*00*00*00*00*00*000000*000000000001稱對整體剛度矩陣K10*0*0*000010000010*00*0*00*0*00*00*000*00000001等帶寬矩陣K*二維等帶寬存儲所存儲的元素數(shù)量取決于最大半帶寬d的值，d的值則由單元結點的編碼方式?jīng)Q定。相同的有限單元網(wǎng)格按照圖2.13(a)的結點編碼，最大的半帶寬為

8、14；按照圖2.13(b)的結點編碼，最大的半帶寬為18。圖2.13(a)圖2.13(b)一維變帶寬存儲 按行的一維變帶寬存儲，按照每一行的半帶寬把半帶寬內的元素保存到一維數(shù)組中。 使用輔助數(shù)組定義對角元素在一維數(shù)組中的位置。 需要存儲的矩陣元素最少。 解方程時的地址計算比較復雜，會帶來一些額外的計算量。2.9 線性方程組解法線性方程組的解法： 直接解法包括高斯消去法、等帶寬高斯消去法、三角分解法，以及適用于大型方程組求解的分塊算法和波前法等。 迭代解法雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、超松弛迭代法和共軛梯度法等。利用矩陣的對稱、稀疏、帶狀分布等特點提高方程求解效率是關鍵。在方程組的階數(shù)不是特

9、別高時，通常采用直接解法。當方程組的階數(shù)過高時，為避免舍入誤差和消元時有效數(shù)損失等對計算精度的影響，可以選擇迭代方法。利用矩陣的對稱、稀疏、帶狀分布等特點提高方程求解效率是關鍵。在方程組的階數(shù)不是特別高時，通常采用直接解法。當方程組的階數(shù)過高時，為避免舍入誤差和消元時有效數(shù)損失等對計算精度的影響，可以選擇迭代方法。高斯消去法的一般公式第m次消元時，以第m-1次消元后的第m行元素為主元行，對第i行元素(im)的消元公式為，)1()1()1()1()(mmjmmmmimmijmijKKKKK)1()1()1()1()(mmmmmmimmimiPKKPP),.,2, 1,(),.,3 , 2 , 1

10、(nmmjinm若原系數(shù)矩陣是對稱矩陣，則在消元過程中的待消矩陣仍然保持對稱。 )1()1(mijmjiKK)()1()1()1()1()(mijmmimmmmjmmjimjiKKKKKK如果雅可比迭代的原理bAx 0ADA)(11jijnijjiiiixabaxbxAxbxAxkk1A為非奇異矩陣，主元非零D為對角矩陣)(111kjijnjiiikikixabaxxADIA1bDb1通過迭代逐步逼近方程組的解， 波前法的特點剛度矩陣K和載荷列陣P不按照自然編號進入內存，而按照參加運算的順序排列；以集成完畢的自由度作為主元對其它列的元素進行消元修正。不形成整體剛度矩陣。 共軛梯度法求解最優(yōu)化問

11、題的搜索算法。nRxxf),(min迭代公式為，kkkkdxx111)(kkkkdxfd搜索方向，線性方程組，Axbxf)(ANSYS提供了多種求解器供選擇，分為直接解法和迭代解法。直接解法包括： 波前法（Frontal Solver） 稀疏法（Sparse Direct Sovler）迭代解法包括：雅可比共軛梯度法（Jacobi Conjugate Gradient Solver， JCG），不完全共軛梯度法（Incomplete Cholesky Conjugate Gradient Solver， ICCG）預處理共軛梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient Solver， PCG）代數(shù)多格法（Algebraic Multigrid Solver，AMG）區(qū)域分割法（Distributed Domain Solver， DDS）3 彈性力學軸對稱問題的有限元法3.1 用虛功方程建立有限元方程3.2 三結點單元位移