有限元基礎(chǔ)理論教程_lecture06

1、根據(jù)力的平衡，結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)載荷或約束反力平衡。列出全部結(jié)點(diǎn)的平衡方程，并按照結(jié)點(diǎn)編號(hào)順序排列，就得到了以全部結(jié)點(diǎn)位移分量為未知量的方程組，對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣K就是整體剛度矩陣， P為載荷列陣。 PK(2-29)2.7約束條件的處理由于整體剛度矩陣K是奇異的，在解方程組之前，要根據(jù)約束條件修改整體剛度矩陣。先考慮結(jié)點(diǎn)n有水平方向位移約束，與n結(jié)點(diǎn)水平方向?qū)?yīng)的平衡方程為：nxnnnnnnnnPvKuKvKuK.2, 1212, 1212, 1211 , 120nu在K矩陣中，第2n-1行的對(duì)角線元素改為1，該行中全部非對(duì)角線元素改為0；在P中，第2n-1個(gè)元素改為0。為了保持K矩陣的對(duì)稱性，

2、將第2n-1列的全部非對(duì)角元素也改為0。應(yīng)該換成下面的方程：如果結(jié)點(diǎn)n在垂直方向有位移約束，則（2-29）中的第2n個(gè)方程修改為，0nv在K矩陣中，第2n行的對(duì)角線元素改為1，該行中全部非對(duì)角線元素改為0；在P中，第2n個(gè)元素改為0。為了保持K矩陣的對(duì)稱性，將第2n列的全部非對(duì)角元素也改為0。yyxyxxPPPPPPvuvuvuvuvuvu644331665544222211000000*00*0000*00*0000*00*0000*00*0000*00*00*00*00*00*00*000000*000000*例2.9、結(jié)構(gòu)的位移約束條件如圖所示，結(jié)構(gòu)平衡的方程組如下。修改整體剛度矩陣。根

3、據(jù)結(jié)點(diǎn)4的位移約束，修改該整體剛度矩陣的系數(shù)。yyxxPPPPvuvuvuvuvuvu633166554422221100000000*00*0000*00*0000*00*00*00*00000010000000000001000000*00*00*00*00*00*00*000000*000000*000000000010*0*0*000010000010*00*0*00*00*00*00*00*000000*00000000000133665544332211yxPPvuvuvuvuvuvu稱對(duì)根據(jù)結(jié)點(diǎn)1和結(jié)點(diǎn)6的位移約束條件繼續(xù)修改整體剛度矩陣可以得到以下的形式，如果結(jié)點(diǎn)n處存在一個(gè)已

4、知非零的水平方向位移，這時(shí)的約束條件為，*nnuu *12, 122, 1212, 1212, 1211 , 12.nnnnnnnnnnnuAKvKuAKvKuK在K矩陣中，第2n-1行的對(duì)角線元素乘上一個(gè)大數(shù)A，將方程修改為， 處理約束條件的意義在于，強(qiáng)迫單元內(nèi)部的分片近似位移場(chǎng)滿足整體結(jié)構(gòu)的位移邊界條件，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的近似解。 在定義位移約束時(shí)，要消除結(jié)構(gòu)的剛體位移。1）用相關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算結(jié)點(diǎn)力，再由力的平衡關(guān)系得到約束反力。與位移約束對(duì)應(yīng)的約束反力如何計(jì)算？2）給矩陣相應(yīng)的對(duì)角元素加上一個(gè)大數(shù)，將載荷列陣的對(duì)應(yīng)元素置為零。相當(dāng)于用一個(gè)剛度很大的彈簧代替位移約束。nnnnnnnn

5、nAuvKuKvKuK.2, 1212, 1212, 1211 , 12n結(jié)點(diǎn)在x方向位移為零，用剛度系數(shù)為A的彈簧代替，由于剛度很大，un是一個(gè)很小的值。方程修改為，0.)(.2, 1212, 1212, 1211 , 12nnnnnnnnvKuAKvKuK2.8整體剛度矩陣的特點(diǎn)與存儲(chǔ)方法整體剛度矩陣具有以下幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：對(duì)稱性，稀疏性，非零系數(shù)帶形分布。1）對(duì)稱性由單元?jiǎng)偠染仃嚨膶?duì)稱性和整體剛度矩陣的集成規(guī)則，可知整體剛度矩陣必為對(duì)稱矩陣。利用對(duì)稱性，只保存整體矩陣上三角部分的系數(shù)即可。2）稀疏性單元?jiǎng)偠染仃嚨亩鄶?shù)元素為零，非零元素的個(gè)數(shù)只占較小的部分。3）非零元素帶形分布整體剛度矩陣

6、的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，這種矩陣稱為帶形矩陣。在包括對(duì)角線元素的半個(gè)帶形區(qū)域內(nèi)，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬。最大半帶寬用d表示，2) 1(最大植相鄰結(jié)點(diǎn)編碼的差值的d例2.9所示結(jié)構(gòu)的最大半帶寬為，82) 13(d二維等帶寬存儲(chǔ)設(shè)整體剛度矩陣K為一個(gè)n行、n列的矩陣，最大半帶寬為d。利用帶形矩陣的特點(diǎn)和對(duì)稱性，只需要保存以d為固定帶寬的上半帶的元素，稱為二維等帶寬存儲(chǔ)。整體剛度矩陣K每行中的上半帶元素取出，保存在另一個(gè)矩陣K*的對(duì)應(yīng)行中，得到一個(gè)n行、d列矩陣K*。把元素在K矩陣中的行、列編碼記為r、s，在矩陣K*中的行、列編碼記為r*、s*，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下： r*=rs*

7、=s-r+1K矩陣中的對(duì)角線元素保存在新矩陣中的第1列中，K矩陣中的r行元素仍然保存在新矩陣的r行中，K矩陣中的s列元素則按照新的列編碼保存在新矩陣的不同列中。仍然會(huì)保存一些零元素，但是元素尋址很方便。10*0*0*000010000010*00*0*00*00*00*00*00*000000*000000000001稱對(duì)整體剛度矩陣K10*0*0*000010000010*00*0*00*0*00*00*000*00000001等帶寬矩陣K*二維等帶寬存儲(chǔ)所存儲(chǔ)的元素?cái)?shù)量取決于最大半帶寬d的值，d的值則由單元結(jié)點(diǎn)的編碼方式?jīng)Q定。相同的有限單元網(wǎng)格按照?qǐng)D2.13(a)的結(jié)點(diǎn)編碼，最大的半帶寬為

8、14；按照?qǐng)D2.13(b)的結(jié)點(diǎn)編碼，最大的半帶寬為18。圖2.13(a)圖2.13(b)一維變帶寬存儲(chǔ) 按行的一維變帶寬存儲(chǔ)，按照每一行的半帶寬把半帶寬內(nèi)的元素保存到一維數(shù)組中。 使用輔助數(shù)組定義對(duì)角元素在一維數(shù)組中的位置。 需要存儲(chǔ)的矩陣元素最少。 解方程時(shí)的地址計(jì)算比較復(fù)雜，會(huì)帶來(lái)一些額外的計(jì)算量。2.9 線性方程組解法線性方程組的解法： 直接解法包括高斯消去法、等帶寬高斯消去法、三角分解法，以及適用于大型方程組求解的分塊算法和波前法等。 迭代解法雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、超松弛迭代法和共軛梯度法等。利用矩陣的對(duì)稱、稀疏、帶狀分布等特點(diǎn)提高方程求解效率是關(guān)鍵。在方程組的階數(shù)不是特

9、別高時(shí)，通常采用直接解法。當(dāng)方程組的階數(shù)過(guò)高時(shí)，為避免舍入誤差和消元時(shí)有效數(shù)損失等對(duì)計(jì)算精度的影響，可以選擇迭代方法。利用矩陣的對(duì)稱、稀疏、帶狀分布等特點(diǎn)提高方程求解效率是關(guān)鍵。在方程組的階數(shù)不是特別高時(shí)，通常采用直接解法。當(dāng)方程組的階數(shù)過(guò)高時(shí)，為避免舍入誤差和消元時(shí)有效數(shù)損失等對(duì)計(jì)算精度的影響，可以選擇迭代方法。高斯消去法的一般公式第m次消元時(shí)，以第m-1次消元后的第m行元素為主元行，對(duì)第i行元素(im)的消元公式為，)1()1()1()1()(mmjmmmmimmijmijKKKKK)1()1()1()1()(mmmmmmimmimiPKKPP),.,2, 1,(),.,3 , 2 , 1

10、(nmmjinm若原系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣，則在消元過(guò)程中的待消矩陣仍然保持對(duì)稱。 )1()1(mijmjiKK)()1()1()1()1()(mijmmimmmmjmmjimjiKKKKKK如果雅可比迭代的原理bAx 0ADA)(11jijnijjiiiixabaxbxAxbxAxkk1A為非奇異矩陣，主元非零D為對(duì)角矩陣)(111kjijnjiiikikixabaxxADIA1bDb1通過(guò)迭代逐步逼近方程組的解， 波前法的特點(diǎn)剛度矩陣K和載荷列陣P不按照自然編號(hào)進(jìn)入內(nèi)存，而按照參加運(yùn)算的順序排列；以集成完畢的自由度作為主元對(duì)其它列的元素進(jìn)行消元修正。不形成整體剛度矩陣。 共軛梯度法求解最優(yōu)化問(wèn)

11、題的搜索算法。nRxxf),(min迭代公式為，kkkkdxx111)(kkkkdxfd搜索方向，線性方程組，Axbxf)(ANSYS提供了多種求解器供選擇，分為直接解法和迭代解法。直接解法包括： 波前法（Frontal Solver） 稀疏法（Sparse Direct Sovler）迭代解法包括：雅可比共軛梯度法（Jacobi Conjugate Gradient Solver， JCG），不完全共軛梯度法（Incomplete Cholesky Conjugate Gradient Solver， ICCG）預(yù)處理共軛梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient Solver， PCG）代數(shù)多格法（Algebraic Multigrid Solver，AMG）區(qū)域分割法（Distributed Domain Solver， DDS）3 彈性力學(xué)軸對(duì)稱問(wèn)題的有限元法3.1 用虛功方程建立有限元方程3.2 三結(jié)點(diǎn)單元位移