課題：§與三角形的角平分線有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、課題:§與三角形的角平分線有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 1、三角形任意兩個(gè)內(nèi)角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系例 1. 已知如圖 1, B P 平分 A B C, C P 平分 A C B,求 P與 A的數(shù)量關(guān)系 . 解法一:如圖 1, 在 B P C中, 012180P+=(三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于 0180180(12P=-+B P平分 A B C, C P 平分 A C B(已知12P B C A B C=,12P C B A C B=(角平分線的定義11180(22P A B C A C B=-+01180(2A B C A C B=-+在 A B C中, 0180A ABC ACB+=(

2、三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于 0180180ABC ACB A+=-00011180(180 9022P A A=-=+解法二:如圖 2,延長(zhǎng) B P 交 A C 于 E4是 ABE的外角, B P C是 P E C的外角43A=+, 45B P C=+(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 35B P C A=+(等量代換B P平分 A B C, C P 平分 A C B(已知132A B C=,152A C B=(角平分線的定義1122B P C A A B C A C B=+1(2A A B C A C B=+圖 1 圖 2 圖 3在 A B C 中, 0180A ABC ACB +=

3、(三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于 0180180ABC ACB A +=-0011(180 9022BPC A A A =+-=+解法三:如圖 3,連接 A P 并延長(zhǎng) A P 于 F1 是 A B P 的外角, 4是 A P C 的外角,123=+, 456=+(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 142356+=+即 (35 (26 (26 BPC BAC =+=+B P 平分 A B C , C P 平分 A C B (已知122A B C =, 162A C B =(角平分線的定義1122B P C B A C A B C A C B =+1( 2B A C A B C A C B

4、=+在 A B C 中, 0180BAC ABC ACB +=(三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于 0180180ABC ACB BAC +=-0011(180 9022B P C B A C B A C B A C =+-=+結(jié)論:三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角 P 與第三個(gè)角 A 的關(guān)系是:01902P A =+問(wèn)題:P 與 A B C 和 A C B 之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系?(01180( 2P A B C A C B =-+2、三角形中任意一個(gè)內(nèi)角平分線與另一個(gè)角外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系例 2. 已知如圖 4, B P 平分 A B C , C P 平分外角 A C D , 求 P 與

5、A 的數(shù)量關(guān)系 .解: B P 平分 A B C , C P 平分 A C D (已知 112A B C =, 122A C D =(角平分線的定義2 是 P B C 的外角(已知21P =+(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和21P =-111( 222A C D A B C A C D A B C =-=-A C D 是 A B C 的外角(已知AC D A ABC =+(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和11( 22BPC A ABC ABC A =+-=結(jié)論:三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角 P 與第三個(gè)角 A 的關(guān)系是:12P A =3、三角形任意兩個(gè)

6、內(nèi)角相鄰的外角的平分線說(shuō)夾角與第三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系.例 3. 已知如圖 5, B P 平分外角 C B E , C P 平分外角 B C F ,求 P 與 A 的數(shù)量關(guān)系 .解: 在 B P C 中, 012180P +=(三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于 0180 180(12 P =-+B P 平分 E B C , C P 平分 B C F (已知112E B C =, 122B C F =(角平分線的定義111180(180( 222P EBC BC F EBC BC F =-+=-+(等量代換E B C 是 A B P 的外角, B C F 是 A B C 的外角E B C A A C B =+,

7、BC F A ABC =+(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和11180( 180( 22P A A C B A A B C A A C B A B C =-+=-+在 A B C 中, 0180A ABC ACB +=(三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于 01800180ABC ACB A +=- 00011180(180 9022P A A A =-=-P圖 5探究 1:(利用例題 1中的結(jié)論作 ACB 的平分線交 BP 于 Q.由結(jié)論可知, BQC=90°+21 A.由于鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直,所以 QCP=90°.又 BQC= QCP + P ,故 P= BQC - QCP=(90°+21 A -90°=21 A.結(jié)論:三角形的兩條外角平分線的夾角 P 與第三個(gè)角 A 的數(shù)量關(guān)系是:01902P A =-探究 2(利用例題 1中的結(jié)論 :作 ABC , ACB 的平分線相交于點(diǎn) Q , 則顯然有 BQC=90°+21 A. 由于鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直,所以, QBP= QCP =90&

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