第三講 二維隨機(jī)變量及其分布

1、 第三講 二維隨機(jī)變量及其分布 一、基本概念如果隨機(jī)變量X，Y是定義在同一樣本空間上，那么其整體( X , Y )就稱為二維隨機(jī)變量。( X , Y )的分布函數(shù)：對(duì)任意x,y，R，例如，設(shè), 那么 分布函數(shù)的特點(diǎn)：對(duì)每個(gè)x,或y是單調(diào)不減的；。離散型二維隨機(jī)變量：若X和Y均取有限或可列值，其分布列離散型邊際分布列：連續(xù)型二維隨機(jī)變量：若存在二元非負(fù)實(shí)值函數(shù)f (x,y)，對(duì)任意x,yR， 就稱f (x,y)為(X, Y)的聯(lián)合分布密度(密度函數(shù)，概率函數(shù))，且在f的連續(xù)點(diǎn)處有： 邊際分布函數(shù)：其中和分別稱為X, Y的邊際（邊緣）密度且 條件分布： 連續(xù)型 離開型相互關(guān)系：稱隨機(jī)變量X, Y相

2、互獨(dú)立，如果對(duì)任意x,yR，均有協(xié)方差：度量隨機(jī)變量X, Y協(xié)同變換的量。 Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-E(X)E(Y)相關(guān)系數(shù)：度量隨機(jī)變量X, Y線性相關(guān)程度的量。 性質(zhì)：X, Y不相關(guān) 條件密度也是某r.v的密度且同分布 指對(duì) 注：它得不出，例如X, Y獨(dú)立同分布于U (0, 1)，則 例3.1 (971) X與Y獨(dú)立同分布，, 則( 0.5 ) 例3.2 (994) 已知隨機(jī)變量和的分布如下且1、 求和的聯(lián)合分布；2、 和是否相互獨(dú)立？解：這類題應(yīng)先列出聯(lián)立分布表，并將部分已知結(jié)果填入該表01-10.2500.25 000.50.510.2500.250.

3、50.5 1由可知從而 于是得到。再根據(jù)，可得，同理可得，進(jìn)而是可得聯(lián)立表的全部內(nèi)容。和是不獨(dú)立的，因?yàn)槔?.3 (974) 假設(shè)r.v YP(a)，a=1，定義隨機(jī)變量k = 1, 2求 和的聯(lián)合分布；解： 由此可得聯(lián)立分布表中所有結(jié)果，且 二、獨(dú)立與不相關(guān)例3.4 (954) r.v X與Y同分布，則U 與V 必然 (d)(a)不獨(dú)立 (b)獨(dú)立 (c)相關(guān)系數(shù)不為0 (d)相關(guān)系數(shù)為0證一： =cov (X,X+Y)-cov (Y,X+Y) =cov(X,X)+cov(X,Y)-cov(Y,X)-cov(Y,Y) =cov (X , X )-cov (Y , Y)=0證二： 其中，兩個(gè)證

4、明都用到X與Y同分布，其實(shí)條件還可削弱為 DX=DY例3.5 (931) 設(shè)r.v X的密度函數(shù)求1、EX,DX；2、；3、是否獨(dú)立？解：1、，被積函數(shù)是奇函數(shù)。2、，被積函數(shù)是奇函數(shù)，因此X與不相關(guān)。3、X與Y=不獨(dú)立。因?yàn)閅是X的函數(shù)，或者說X的取值影響Y的取值。也可如下證明：，這是因?yàn)?。例3.6 (931) 設(shè)二維r.v X與Y的密度函數(shù)為求系數(shù)k以及X與Y的邊際密度；試問X與Y是否獨(dú)立？解： ，所以X與Y不獨(dú)立。 三、條件分布例3. 7 (973) 假設(shè)r.v X的取值的絕對(duì)值不大于1，,在事件出現(xiàn)條件下，X在(-1,1)內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該區(qū)間長度成正比，試求X的分布函

5、數(shù)F(x)。解：X落在(-1,x)上，區(qū)間長度為x+1，總長度為2，故于是，當(dāng)x時(shí) 這是因?yàn)?，于是 故 例3.8 假設(shè)r.v X在(0,1)上隨機(jī)取值，當(dāng)觀察到X=x (0<x<1) 時(shí)，Y在(x,1)上隨機(jī)取值，求Y的概率密度。解：首先XR (0,1)，故，當(dāng) 0<x<1 時(shí)。又 ，故，于是 從而例.3.9 零件尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的隨機(jī)偏差XN ()，在范圍內(nèi)的零件認(rèn)為是合格的，而當(dāng)X>b時(shí)，這樣的零件需要返工。求1、屬于返工零件尺寸的隨機(jī)偏差Y的分布函數(shù), 2、合格零件尺寸的隨機(jī)偏差Z的分布函數(shù)解：由題意， = 同理同得：例.3.10設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參

6、數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨(dú)立，以表示在中途下車的人數(shù)，求：在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布。解：顯然給定X=n下Y b (n , p ), 故， ，四、二維r.v函數(shù)的分布 1. 一般問題定理3.1 設(shè)r.v (X,Y)的聯(lián)合密度為，存在唯一的反函數(shù)：，則隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為 其中J是變換的Jacobi行列式：例3.11 設(shè)r.v(X,Y)服從二維正態(tài)分布，概率密度為求隨機(jī)點(diǎn)(X,Y )到原點(diǎn)距離的概率密度 解：設(shè)隨機(jī)點(diǎn)(X,Y )到原點(diǎn)的距離為Z，則，時(shí)F (z)=0，z >0 則 故例3.12 設(shè)

7、r.v X , Y 相互獨(dú)立分別服從參數(shù)的泊松分布，試證Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布。證：顯然Z的取值為0，1，于是對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)k 例3.13 設(shè)二維r.v ( X , Y )在矩形 A上服從均勻分布 B試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度。 解： S=XY，如圖A (s,1) , B (2 , s/2 ) , 故 當(dāng)0< s <2 例3.14 (993) 設(shè)二維r.v(X,Y)在矩形上服從均勻分布，記 求a、U和V的聯(lián)合分布；b、U和V的相關(guān)系數(shù)。解： 由此可得U和V的聯(lián)立分布表,橫豎相加即得U和V的邊緣分布(均是(0-1)分布)即P(U=1)=0.75=EU , P(V

8、=1)=0.5=EV。 注意到UVb (0,1),而P (UV=1)=P (U=1,V=1)=P (X >2Y )=0.5=EUV于是 cov (U,V)=EUV-EU EV=0.5-0.50.75=1/8 U和V的相關(guān)系數(shù) 例3.15 (013) 設(shè)二維r.v ( X , Y )在正方形 上服從均勻分布 試求r.v的概率密度。 A (1+z , 1) 解：Z的取值范圍是,如圖對(duì)給定的z,；令y=1有x =1+ z , 于是兩等邊直角三角形的直角邊長3(1+z)=2z，總面積是，陰影部分面積是，從而時(shí)當(dāng)例3.1 (874) 與獨(dú)立，求 Z=2 X + Y 的密度函數(shù)。 解：當(dāng)z<2

9、 時(shí)（如左圖） 當(dāng)z 2 時(shí)（如右圖），以下略。 注：本例可令W=2X U(0,2), 用下面介紹的卷積公式求Z=W+Y的密度。2Z=X+Y的分布重要結(jié)論（卷積公式）：X與Y的聯(lián)合密度為，邊際密度分別為，則Z=X+Y的密度為（獨(dú)立時(shí)又稱卷積公式） 當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，例3.1 設(shè)與獨(dú)立，試求Z=X+Y的密度。解： 于是上式是均值為，方差為的隨機(jī)變量落在的概率，故 例3.1設(shè)二維r.v ( X , Y )在矩形上服從均勻分布，（這個(gè)條件等價(jià)于XU (0,2) 與YU (0,1) 獨(dú)立），求Z=X + Y的分布密度。解：由X、Y的支撐集知，于是 例3.1 設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布在以點(diǎn)(0,1)，(1,

10、0)，(1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量的方差。解：本例X , Y不獨(dú)立，U的支撐集為 (0,1) (1,1) EU= (1,0) 3二維正態(tài)分布的函數(shù) 定理3.3 如果X與Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，則Z=aX+bY服從正態(tài)分布;如果(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則Z=aX+bY服從正態(tài)分布；X與Y都服從正態(tài)分布則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。例3.0 設(shè)r.v X , Y相互獨(dú)立且均服從N (0,),求。解：令Z=X - Y，由X , Y相互獨(dú)立及定理3.3知Z服從正態(tài)分布。又EZ=0，DZ=D(X-Y)=1/2+1/2=1，故ZN (0,1)，于是 例3

11、.21 (991) XN (0,1)與YN (1,1)獨(dú)立，則(B) (A) (B) (C) (D) 解：X+YN (1,2)，于是 例3.22 (004) 設(shè)二維r.v ( X , Y )的密度函數(shù)為其中都是二維正態(tài)密度函數(shù)，且它們對(duì)應(yīng)的二維r.v的相關(guān)系數(shù)分別為 ，它們對(duì)應(yīng)的邊緣密度函數(shù)的r.v的數(shù)學(xué)期望都是0，方差都是1。（1）求r.v X , Y的密度函數(shù)和及X , Y的相關(guān)系數(shù)（可以直接利用二維正態(tài)密度的性質(zhì)）。 (2 ) X和Y是否獨(dú)立，為什么？解：設(shè)二維r.v （S , T ）,( U , V )的密度函數(shù)分別是，由題設(shè)S , T, U , V均是正態(tài)N (0,1)分布，于是 同

12、理，故 EX=EY=EU=EV=ES=ET=0 , DX=DY=DS=DT=DU=DV=1注意到二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度為 從而X和Y不獨(dú)立，因?yàn)椤?4極值分布定理3.2 (極值分布) (X,Y)，X(x)，Y，Z=maxX,Y，則W=min, 注：設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)，連接而成，連接方式有 1) 串聯(lián)) 并聯(lián)3 ) 備用X , Y分別表示，的壽命，則系統(tǒng)壽命Z的分布為 1) 串聯(lián) ) 并聯(lián) 3 ) 備用例3.23 (965, 串聯(lián)系統(tǒng)問題) 設(shè)一電路有種同種獨(dú)立工作元件構(gòu)成，元件壽命僅當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，求電路正常工作時(shí)間的分布。解：表示第k個(gè)元件壽命 例3.24 (9

13、73備用系統(tǒng)問題) 兩臺(tái)同樣 (獨(dú)立工作)的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間服從指數(shù)分布，先開動(dòng)一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)再啟動(dòng)另一臺(tái)，試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作總時(shí)間T的概率密度f ( t )、數(shù)學(xué)期望和方差。 解：設(shè)和分別是兩臺(tái)無故障的時(shí)間，且和相互獨(dú)立，都服從由卷積公式第四講 大數(shù)定律與中心極限定理 一、 基本概念1、切比雪夫不等式設(shè)有r.v, X，其EX，DX存在，則它是隨機(jī)變量偏離其均值的概率估算，較粗糙，卻是概率統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)之一。例4.1 (894) 設(shè)r.v X的數(shù)為期望EX=，方差DX=，則由切比雪夫不等式 或 但若XN ()，則此例子表明切比雪夫不等式是較粗糙的，當(dāng)知道r.v的分布

14、，知道信息更多了，計(jì)算的概率就更精確了。例4.2 設(shè)r.v, X的密度函數(shù)m是正整數(shù)。試?yán)们斜妊┓虿坏仁阶C明故例4.3 (014) 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都有是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式 解：E(XY)=0 , 關(guān)鍵要求XY的方差， D (XY)=1+，于是例4.4 設(shè)r.v X服從參數(shù)為3泊松分布，取，驗(yàn)證切比雪夫不等式。解： 而實(shí)際計(jì)算 =例4.5 在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為0.25，是否可用0.925的概率確信在1000次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)在于之間。解：設(shè)r.v X為次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，且p=P(A)=0.25，則b（1

15、000,p），E X250，DX =3000/16由切比雪夫不等式另解：由中心極限定理、大數(shù)定律處理樣本均值按概率收斂到其均值或涉及頻率的穩(wěn)定性，即事件頻率的概率極限是事件的概率。切比雪夫大數(shù)定律：簡記是相互獨(dú)立的r.v序列，數(shù)學(xué)期望有限，方差一致有界(獨(dú)立同分布是其特例)，則辛欽大數(shù)定律：是相互獨(dú)立同分布的，具有有限的數(shù)學(xué)期望，則泊松定理：a）如果在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列中事件在第j次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)為，則 b）設(shè)是n重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，且P(A)=，當(dāng)，記則 伯努利大數(shù)定律設(shè)是n重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，()p，則例4.6設(shè)一女工照顧個(gè)紡錠，設(shè)某

16、一時(shí)段r內(nèi)每一紡錠上斷頭的概率為0.005，求在時(shí)段r內(nèi)斷頭次數(shù)等于及不大于是的概率。解：設(shè)r.v X為個(gè)紡錠的時(shí)段r內(nèi)斷頭次數(shù)，p=0.005，則Xb (800 , p), np=4，、中心極限定理列維一林德伯格（獨(dú)立同分布的）中心極限定理序列獨(dú)立同分布且，則 隸莫費(fèi)一拉普拉斯（二項(xiàng)分布的）中心極限定理 若，則例4.7 假定對(duì)某物理量的測量誤差服從R(-0.5,0.5)，欲使測量誤差小于是1%的概率達(dá)到95%，問至少測量多少次？解：設(shè)物理量的真值為，第次測量為，假定次測量獨(dú)立同分布，且,由題意確定，使又即即至少測量3202次。例4.8 1)設(shè)系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，至少有85%的部

17、件完好時(shí)，系統(tǒng)才能正常工作。每個(gè)部件的損壞率為0.1，求系統(tǒng)正常工作的概率。2) 條件同上，假定系統(tǒng)由個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，至少有80%的部件完好時(shí)系統(tǒng)才能正常工作，問至少多大才能使系統(tǒng)正常工作的概率不小于95%。解：1) 設(shè)為運(yùn)行期間部件完好的個(gè)數(shù)，。由拉普拉斯中心極限定理，,或 2) 設(shè)為個(gè)部件中完好的個(gè)數(shù)，。故至少為25時(shí)才能使系統(tǒng)正常工作的概率不小于95%。例4.9 (884) 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以表示隨意抽查的確100個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)。1) 寫出的概率分布2) 利用隸莫費(fèi)一拉普拉斯中心極限定理求被盜索賠戶不少于14戶且不多30戶的概率的近似值。解：每抽查一索賠戶相當(dāng)于一次試驗(yàn)，且該戶是被盜戶的概率是20%，故Xb (100 , 0.2 )，于是1) 2) 于是如果用獨(dú)立同分布的中心極限定理，則可設(shè) 例4.10 (014) 一