經(jīng)濟學中的函數(shù)的凹凸性擬凹擬凸

1、經(jīng)濟學中函數(shù)的凸凹性質(zhì)問題在現(xiàn)代經(jīng)濟學的討論中，我們經(jīng)常遇到凸函數(shù)、凹函數(shù)以及擬凹函數(shù)、擬凸函數(shù)等概念，例如生產(chǎn)可能性邊界曲線是凹函數(shù)，無差異曲線是凸函數(shù)等等，但是這些數(shù)學名詞對于非專業(yè)人員來說比較抽象，有的文章或教材采取形象的說法，比如說曲線凸向原點或凹向原點、圖形是凸的、上凸函數(shù)、下凸函數(shù)等等，這樣一來，就將嚴謹?shù)臄?shù)學概念搞的不倫不類，有的教科書甚至錯誤地定義了凸性和凹性。一、關(guān)于凸函數(shù)與凹函數(shù)凹性，凸性，它們都是在凸集范圍內(nèi)定義的，是關(guān)于凸集的性質(zhì)，一個集合中任意兩點之間的連線也在該集合中，這樣的集合稱為凸集合，常用D來表示。 凸和凹具有如下性質(zhì)：凸性： f（tx+（1-t）y）<

2、= tf(x) +(1-t)f(y) 標準的凸函數(shù)是開口向上的。凹性 f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函數(shù)是開口向下的D是f(.)的定義域的一個凸子集。若任意的x, yD, 0, 1：f(x+(1-)y)f(x)+(1-)f(y)，則稱f(.)在D上是凹函數(shù)（“凸組合的函數(shù)值不小于函數(shù)值的凸組合”）在n 維空間的凸區(qū)域內(nèi)，(x1, x2,. Xn)中的兩點X=(x1，x2, .xn ),Y=(y1, y2,.yn ),設(shè)0<<1，如果：f x1+(1-)y1, x2+(1-)y2,.xn+(1-)yn <= f (x1, x2,.xn)

3、 + (1-) f (y1, y2, .yn )則稱函數(shù)f(X)在n維區(qū)域內(nèi)是凸函數(shù)；同理，如果：f x1+(1-)y1, x2+(1-)y2,.xn+(1-)yn >= f (x1, x2,.2 / 6xn) + (1-) f (y1, y2, .yn )則稱函數(shù)f(X)在n維區(qū)域內(nèi)是凹函數(shù)；n維空間不易理解，舉個簡單例子：若f(x)在(a,b)有定義，在定義域內(nèi)取x1,x2，非負數(shù)q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)則f(x)在(a,b)內(nèi)為凸函數(shù)。二、關(guān)于擬凹性和擬凸性同樣可以定義，在n維區(qū)域內(nèi)的任何兩個點X，Y ，X=(

4、x1，x2, .xn ),Y=(y1, y2,.yn ),對所有的 0<=<=1，如果：fX + (1-)Y >= min f(X) , f(Y)則稱f(X)是擬凹函數(shù)。同理，如果：fX + (1-)Y <= max f(X) , f(Y)則稱f(X)是擬凸函數(shù)?？梢宰C明，廣義上講，凹函數(shù)都是擬凹函數(shù)，凸函數(shù)都是擬凸函數(shù)。（不失一般性的假設(shè)f(X) > f(Y)，代入凹函數(shù)的定義，即可證明）設(shè)曲線的方程為F（x），如果在一個區(qū)間上，F(xiàn)''（x）>0，則F（x）在區(qū)間內(nèi)是嚴格凸的；如果F（x）<0，即二階導數(shù)為負，則F（x）在區(qū)間內(nèi)為嚴格

5、凹函數(shù)。這個定理提供了檢查具體函數(shù)的凸性和凹性的簡易方法。例如，考慮函數(shù)f（x）=x3-3x2+3x，它的二階導數(shù)是f''=6x-6，當x<1時，二階導數(shù)是負數(shù)，f（x）是嚴格凹的；當x>1時，f（x）是嚴格凸的。下圖中的表述是不準確的，圖形是凹的，而函數(shù)恰恰是凸函數(shù)，圖形是凸的，函數(shù)卻是凹函數(shù)。在n個變量的情況下，海賽行列式提供了檢查具體函數(shù)凸性或凹性的方法。多元函數(shù)的二階偏導數(shù)的海賽行列式的各階主子式，在符號上交叉，則對應(yīng)的函數(shù)在整個區(qū)間是嚴格凹的，如果各階主子式都是正的，則函數(shù)為嚴格凸的。對于擬凹性和擬凸性的討論就要用到海賽加邊行列式。三、用效用函數(shù)和無差異曲

6、線來說明擬凹函數(shù)和凸函數(shù)的關(guān)系 二維平面上，很容易通過圖形來直觀地理解凹函數(shù)和凸函數(shù)，超過三維空間，凸性和凹性以及擬凹函數(shù)就難以用圖形來表達，必須用數(shù)學來論證。經(jīng)濟學已經(jīng)給出了系統(tǒng)的數(shù)學方法，且還在向前發(fā)展。我們知道，效用函數(shù)是根據(jù)主觀的偏好來設(shè)計的一種規(guī)律性的傾向，對于所有消費者都適用的實值效用函數(shù)是不存在的。為討論問題方便，就要對構(gòu)建的函數(shù)給出一定的假設(shè)約束。設(shè)序數(shù)的效用函數(shù)為：U = f (q1 ，q2)其中，q1和q2 分別是消費的兩種商品Q1 和Q2 的數(shù)量。這里就假定，f (q1 ，q2)是連續(xù)的，具有連續(xù)的一階和二階偏導數(shù)，并且是一個嚴格的擬凹函數(shù)。而且還假定效用函數(shù)的偏導數(shù)是嚴

7、格的正數(shù)，以反映人們的需求，即不管對哪一種商品，消費者總是希望得到更多的。這里若證明效用函數(shù)是嚴格擬凹的，則需要滿足原來的式子沒有等于號就行。如果給定一個效用水平U0 ，U0 = f (q1，q2）就變成了同一效用下，兩種不同消費品的組合，即無差異曲線，我們可以想象和觀察到的是無差異曲線，而不是效用函數(shù)，其實觀察到的無差異曲線是q2 對q1 的函數(shù)，q2 = g（q1），可以證明無差異曲線是嚴格凸的，但效用函數(shù)卻是嚴格擬凹的，是觀察不到的，至少函數(shù)U = f (q1，q2）也是一個立體的圖形，而不是一條曲線那樣簡單。這就是為什么凸凹函數(shù)容易被人混淆的原因所在。同樣的道理，我們再來看生產(chǎn)可能性邊

8、界曲線，它類似于無差異曲線，是在一定技術(shù)水平和可投入要素的約束下，最大生產(chǎn)能力的不同產(chǎn)品的組合，僅從PPF圖形來看，它是一種產(chǎn)品Y對另一種產(chǎn)品X的函數(shù)，這個函數(shù)是關(guān)于X 的凹函數(shù)。在資源稀缺的假設(shè)下，機會成本是遞增的，這就意味著生產(chǎn)一單位的X商品，必須要越來越多的減少另一種商品Y的產(chǎn)量，以獲得生產(chǎn)商品X的足夠資源，生產(chǎn)可能性曲線的每點的斜率就代表了該點的邊際商品轉(zhuǎn)換率。隨著機會成本的遞增，邊際轉(zhuǎn)換率也越來越大，曲線PPF凹向原點，即Y是關(guān)于X的凹函數(shù)。而生產(chǎn)函數(shù)：q = f（x1，x2）則表明，產(chǎn)出數(shù)量q是投入要素x1和x2的函數(shù)，需要假定具有連續(xù)的一階和二階偏導數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)，通?？梢岳斫?/p>

9、為生產(chǎn)函數(shù)是遞增的。當產(chǎn)出最大化或成本最小化時，生產(chǎn)函數(shù)被假定為嚴格的正則擬凹函數(shù)；當利潤最大化時，生產(chǎn)函數(shù)被假定為嚴格的凹函數(shù)。后續(xù)我們可以證明柯布.道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，以及再廣義一點的CES生產(chǎn)函數(shù)，在約束下是嚴格的凹函數(shù)。函數(shù)f（x），對定義域S（凸集）上任意兩點x1，x2S，0，1，如果有fx1+（1-）x2maxf（x1），f（x2），則稱函數(shù)f（x）是擬凸的。直觀的看，函數(shù)f（x）是擬凸的表示曲線ACB之間的點都低于B點。顯然，如果函數(shù)f（x）是凸的，則圖形如一個正放的鍋，弦在曲線上面，而弦上的點本身滿足上述性質(zhì)，因而一定是擬凸的。代數(shù)的證明只要利用兩者的定義即得。但反向則不一定成立，如同是單調(diào)的函數(shù)的凹函數(shù)、線性函數(shù)、凸函數(shù)的圖形中，同樣滿足擬凸函數(shù)的定義，即擬凸函數(shù)可以是凹函數(shù)，也可以是凸函數(shù)。與擬凹函數(shù)相對，擬凸函數(shù)也有一個等價定義：如果函數(shù)f（x）是擬凸的，當且僅當集合S1=x|f（x）c是凸集，我們稱集合S1為函數(shù)f（x）的下等值集（Lower Contour Set）。性質(zhì)i）如果函數(shù)f（x）是凹（凸）的，則f（x）也一定是擬凹（凸）的；反之則不成立；ii）如果函數(shù)f（x）是擬凹（凸）的，則 -f（x）一定是擬凸（擬凹）的；i