考研數(shù)學(xué)高數(shù)5定積分

1、第五講：定積分定積分的概念：設(shè)上有界1） 任意分割：2） 作乘積：任取，作乘積3） 作和式：4） 取極限：若不管如何分割，如何選取，當(dāng)時(shí)，上述極限如果存在，則稱在上是可積的，并稱此極限值為上的定積分，記為 我們規(guī)定：函數(shù)可積的條件：充分條件：若滿足下列條件之一，則上可積：1、上連續(xù)；2、只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)3、單調(diào)函數(shù)必要條件：若上可積，則在上一定有界。定積分的幾何意義：設(shè)上可積（1） 若，則1 / 7（2） 若，則（3） 若有正有負(fù)，則例：1、用定義計(jì)算積分;2、利用定積分表示下列和式的極限：（1） （2）3、利用幾何意義求積分4、比較大?。憾ǚe分的性質(zhì)：設(shè)在所討論的區(qū)間上都是可積的，

2、則有性質(zhì)1 （線性性）推論：性質(zhì)2 （區(qū)間可加性）性質(zhì)3 （保號(hào)性）若性質(zhì)4 （保不等式性）若 性質(zhì)5 （絕對可積性及絕對值不等式）性質(zhì)6 （估值不等式） 積分中值定理： 若 (x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)a,b，使微積分基本定理：變上限積分函數(shù)：設(shè) (x)在a，b上可積，則對于每一個(gè)a，b， 定積分都有唯一確定的值與之對應(yīng)，由此可以定義函數(shù)：這是一個(gè)定義在a，b上的函數(shù)，稱為積分變上限函數(shù)。 注:中x是積分上限變量,在a，b上變化;t是積分變量,在a，x上變化。變上限積分函數(shù)求導(dǎo)定理：若 (x)在a,b上連續(xù)，則F(x)在a,b上一定可導(dǎo)，且有 注 1. F(x)也一定連續(xù). 2. F

3、(x)是 (x)在上的一個(gè)原函數(shù). 3. 此定理也證明了連續(xù)的原函數(shù)一定存在.例：求牛頓-萊布尼茲公式：若 (x)在a,b上連續(xù)，（x）是 (x)的任意一個(gè)原函數(shù)，則有說明： 等于 (x)的任一個(gè)原函數(shù)在a，b上的增量例： 定積分的換元積分法與分部積分法第一類換元積分法（湊微分法）：（不定積分）（定積分）例： 第二類還原積分：（不定積分）其中：具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)（定積分）其中：（1），（2）具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且與不定積分類似，常用：例：計(jì)算下列定積分： 換元積分法：（不定積分）（定積分）條件：在a，b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)例：計(jì)算： 其他結(jié)論：一、設(shè)在上可積，則有：二、設(shè)是一個(gè)以為周期的可積函數(shù)，則有例： 函數(shù)在上有定義，且單調(diào)不增，證明：對于任何有.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)可微，證明：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)且單增，求證： 友情提