四種線性代數(shù)模型

1、線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科和經(jīng)濟(jì)類學(xué)科相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它不僅是其他數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，也是物理、力學(xué)、電路等專業(yè)課程的基礎(chǔ)。作為處理離散問題工具的線性代數(shù)，也是從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科研人員必備的數(shù)學(xué)工具之一。實(shí)驗(yàn)一 生物遺傳模型1.工程背景設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為AA、Aa和aa。常染色體遺傳的規(guī)律是：后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ袀€(gè)繼承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)ΑＨ绻紤]的遺傳特征是由兩個(gè)基因A、a控制的，那末就有三種基因?qū)?，記為AA、Aa和aa。研究所計(jì)劃采用Aa(AA)型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布

2、如何?2.問題分析分析雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。表6-4基因型概率矩陣后代基因?qū)Ω阁w母體的基因?qū)AAAAAAaAAaaAaAaAaaaaaaaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/213.模型建立與求解設(shè)分別表示第n代植物中基因型AA、Aa、aa型的植物占植物總數(shù)的百分率。則第n代植物的基因型分布為，表示植物型的初始分布。依據(jù)上述基因型概率矩陣，有，表示為矩陣形式 記，則。于是問題歸結(jié)為如何計(jì)算，可將對(duì)角化。易于計(jì)算的特征值為1、1/2、0，其相應(yīng)的特征向量為，。令，則。于是 。當(dāng)，因此，可以認(rèn)為經(jīng)過若干年后，培育出的植物基本上呈現(xiàn)AA

3、型。實(shí)驗(yàn)二 員工培訓(xùn)問題 1.工程背景某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將1/6熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有2/5成為熟練工。若記第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占比例分別為。2.問題問題1：第n+1年熟練工與非熟練工所占比例與第n年熟練工與非熟練工所占比例的關(guān)系。問題2：若第1年熟練工與非熟練工所占比例為，求。3.模型建立與求解依據(jù)題意，有，。整理化簡(jiǎn)得，即，記，亦有。由問題1結(jié)果，有。問題歸結(jié)為求，可將A對(duì)角化。易于計(jì)算1、1/2是矩陣A的兩個(gè)特征值，且相應(yīng)的特征向量為。記，則。因此。實(shí)驗(yàn)三 多金

4、屬分選流程計(jì)算1. 工程背景設(shè)原礦產(chǎn)率及第種產(chǎn)品產(chǎn)率，%，；原礦中第種金屬品位，%；第種產(chǎn)品中第種金屬品位，%；第種產(chǎn)品中第種金屬的理論回收率，%；按照金屬平衡和產(chǎn)率平衡進(jìn)行計(jì)算。為了計(jì)算方便，尾礦視為產(chǎn)品。金屬平衡， 產(chǎn)品平衡， 其中，尾礦產(chǎn)率及金屬品位為 解次多元線性方程組求出產(chǎn)品產(chǎn)率。各產(chǎn)品任一金屬回收率。2. 問題某鉛鋅礦選礦廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為鉛、鋅、硫精礦和尾礦，已化驗(yàn)知各產(chǎn)品的金屬品位（見下表），試計(jì)算各產(chǎn)品產(chǎn)率和回收率。表6-5各產(chǎn)品的化驗(yàn)品位產(chǎn)品名稱品位鉛（金屬1）鋅（金屬2）硫（金屬3）原礦3.143.6315.41鉛71.043.7115.70鋅1.2051.5030.80硫0

5、.380.3542.38尾礦0.340.101.403. 模型建立與求解設(shè)鉛、鋅、硫和尾礦的產(chǎn)率為和，按照金屬平衡與產(chǎn)率平衡，可建立以下線性方程組：MATLAB源代碼：A=71.04 1.20 0.38 0.34;3.71 51.50 0.35 0.10;15.70 30.80 42.38 1.40;1 1 1 1 %創(chuàng)建系數(shù)矩陣b=314 363 1541 100; %常數(shù)列矩陣x=Ab %利用x=inv(A)*bx = 3.8659 6.4590 28.2046 61.4706又 x0=repmat(x,1,4); %創(chuàng)建多維數(shù)組B0=repmat(b,1 4);s=x0.*A./B0 %

6、計(jì)算各產(chǎn)品的理論回收率，最后一列為產(chǎn)率s=87.4623 3.9511 3.9386 3.86592.4684 91.6361 12.9096 6.45903.4133 2.7194 77.5671 28.20466.6560 1.6934 5.5846 61.4706將計(jì)算結(jié)果填入下表表6-6各產(chǎn)品產(chǎn)率及回收率計(jì)算結(jié)果產(chǎn)品名稱產(chǎn)率/%回收率/%鉛鋅硫原礦100100100100鉛3.865987.46233.95113.9386鋅6.45902.468491.63616.4590硫28.20463.41332.719428.2046尾礦61.47066.65601.693461.4706實(shí)驗(yàn)

7、四 交通流量模型1. 問題圖6-8給出了某城市部分單行街道的交通流量（每小時(shí)過車數(shù)），計(jì)算各線路上車輛數(shù). x3 100 x6 300 x4 400 200 x2 x5 x7 300 x1 600 x8 200 300 500 400 500 x9 x10600 700 圖6-8假設(shè)：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量（2）全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量2. 模型的建立與求解 由假設(shè)可知，所給問題滿足如下線性方程組:3. Matlab程序?qū)崿F(xiàn)A=0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0 % 矩陣A b=300;500,200;800;800;100;400;200;600,100 B=A,b % 增廣矩陣B Rank(A) % 計(jì)算矩陣A的秩 Rank(B) % 計(jì)算增廣矩陣B的秩，若秩相等，則有解 rref(B) %