圓中的比例線段

1、圓中的比例線段圓中的比例線段是由直線和圓的位置關(guān)系反映出線段間的數(shù)量關(guān)系所形成的一類幾何問題， 于直線和圓的多種不同位置關(guān)系，因此就導(dǎo)致了形式多樣的線段間數(shù)量關(guān)系。盡管如此，圓中比例 線段的證明問題仍是有規(guī)律可循的，只要掌握正確的解題方法，就可以化難為易，使問題迎刃而解。 一、利用相似三角形當(dāng)成比例的四條線段分別位于兩個三角形中時，可以從求證的比例式中去尋找相似三角形。利 用相似三角形證明線段成比例是解決這類問題的最基本的方法。例1、 已知如圖， ABC內(nèi)接于O O, AD是直徑，CF丄AD于E,交AB于F。 求證：AC2= AB ?AFA例2、 已知如圖，AB = AC , AB是OO的直徑

2、，DM是O O的切線，M是DM與AC的交點。 求證：DC:AC = CM:DC例3、求證:已知如圖， AB、CD是OO的直徑，且 AB丄CD于O,過C點作弦CF交AB于E。22CO2= CE?CFDA求證:EFCEDEGE、利用等積或等量代換當(dāng)不能從所求證的比例式中找到兩個相似三角形，可以根據(jù)已知條件或圖形性質(zhì)，尋求相等線 段，替換比例式中線段，也可以尋找等積線段替換乘積中的相應(yīng)線段，再利用相似三角形來證明。已知如圖， AB是O O的直徑，CD丄AB于G, P是CD延長線上一點，PE切O O于E,EB交CD于F。 求證：PF2= PD?PC例5、已知如圖， O O的弦AB / CD , P是C

3、d上一點，PA、PB交CD于E、F兩點，O 0的切線AG交DC延長線于 G。例6、已知如圖， AB是O 0的直徑，O C切O 0于F,切AB于D, DC交O 0于 E。求證：ED2 = AB?CD例7、已知如圖， 點A在O O上，O A交O O于E、F兩點，O O的弦AB交O A于C,交EF于Db求證：ac2= ab?ad三、利用恒等變形有的等積式形式比較復(fù)雜， 式子中出現(xiàn)和差問題， 我們可以將等積式變形， 再通過等量代換證明。 例&已知如圖，O O與O C2外切于點P, CD是O O的直徑，CR DP的延長線分別交O Q于F、E,過C作O O的切線 CH交O C2于A H,交PE于B

4、,交EF于G求證：(1)AC2= AB?ADf：(2) BG?BC = AG2 BG2例9、求證:已知如圖， ABC內(nèi)接于O O,Z BAC的平分線交 BC于 D,交O O于E。AD2= AB ?AC BD?CD例10、已知如圖，AB是O O的直徑，P為O O外一點,OO的割線，分別交O 0于C D兩點。求證：PC?PD+ MA ?MB = PM2PML AB, M為垂足，PM交O O于 N, PCD為例11、已知如圖，O 0與O Q相關(guān)于A、B兩點，過點CB交O Q于D , DA的延長線交O O于E,連結(jié)CE。 求證：(1) CAE是等腰三角形(2) DA ?DE = CD2 CE2例12、

5、已知如圖，過O O上一點A作O A交O O于B、C,D、G,交 BC 于 F。求證：EF?AF = AD2 AF2四、尋求隱含關(guān)系有些題目中所求證的比例線段（或等積線段）左右兩邊的方次不同，這往往是由于約去了相同 的線段所造成的，因此，應(yīng)該正確地尋找所約去的線段，才能進一步解決問題。例13、已知如圖，PA為O O的切線，A為切點，PCBD O的割線，與O 0交于B、C, M為AC的中點，PM的延長線交AB于D。PA2 _ BD2 PC AD例14、 已知如圖，AB、CD為O 0的兩條平行弦，過點 A作OO的切線交DC延長線于E。AE2 ED2BD AB例15、已知如圖， ABC內(nèi)接于O 0,過點A作O 0的切線交BC延長線于D。求證：DC:DB =