正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

1、正 交 試 驗(yàn) 設(shè) 計(jì)對(duì)于單因素或兩因素試驗(yàn)，因其因素少 ，試驗(yàn)的設(shè)計(jì) 、實(shí)施與分析都比較簡(jiǎn)單 。但在實(shí)際工作中 ，常常需要同時(shí)考察 3個(gè)或3個(gè)以上的試驗(yàn)因素 ，若進(jìn)行全面試驗(yàn) ，則試驗(yàn)的規(guī)模將很大 ，往往因試驗(yàn)條件的限制而難于實(shí)施 。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是安排多因素試驗(yàn) 、尋求最優(yōu)水平組合 的一種高效率試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的概念及原理1.1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是利用正交表來安排與分析多因素試驗(yàn)的一種設(shè)計(jì)方法。它是由試驗(yàn)因素的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進(jìn)行試驗(yàn)的，通過對(duì)這部分試驗(yàn)結(jié)果的分析了解全面試驗(yàn)的情況，找出最優(yōu)的水平組合。例如：設(shè)計(jì)一個(gè)三因素、3水平

2、的試驗(yàn) A因素，設(shè)A1、A2、A3 3個(gè)水平；B因素，設(shè)B1、B2、B3 3個(gè)水平；C因素，設(shè)C1、C2、C3 3個(gè)水平，各因素的水平之間全部可能組合有27種 。 全面試驗(yàn)：可以分析各因素的效應(yīng) ，交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合。但全面試驗(yàn)包含的水平組合數(shù)較多（圖示的27個(gè)節(jié)點(diǎn)），工作量大 ，在有些情況下無法完成 。 若試驗(yàn)的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交表來設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)。全 面 試 驗(yàn) 法 示 意 圖三因素、三水平全面試驗(yàn)方案正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本特點(diǎn)是：用部分試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)，通過對(duì)部分試驗(yàn)結(jié)果的分析，了解全面試驗(yàn)的情況。正因?yàn)檎辉囼?yàn)是用部分試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)的，它不可能像全面試

3、驗(yàn)?zāi)菢訉?duì)各因素效應(yīng)、交互作用一一分析；當(dāng)交互作用存在時(shí)，有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。雖然正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)有上述不足，但它能通過部分試驗(yàn)找到最優(yōu)水平組合 ，因而很受實(shí)際工作者青睞。如對(duì)于上述3因素3水平試驗(yàn)，若不考慮交互作用，可利用正交表L9(34)安排，試驗(yàn)方案僅包含9個(gè)水平組合，就能反映試驗(yàn)方案包含27個(gè)水平組合的全面試驗(yàn)的情況，找出最佳的生產(chǎn)條件。1.2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理 正交設(shè)計(jì)就是從選優(yōu)區(qū)全面試驗(yàn)點(diǎn)（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗(yàn)點(diǎn)（水平組合）來進(jìn)行試驗(yàn)。上圖中標(biāo)有試驗(yàn)號(hào)的九個(gè)“(·)”，就是利用正交表L9(34)從27個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)中挑選出來的9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。即：(1)A1B1

4、C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3(4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1(7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2以上選擇 ，保證了A因素的每個(gè)水平與B因素、C因素的各個(gè)水平在試驗(yàn)中各搭配一次 。對(duì)于A、B、C 3個(gè)因素來說， 是在27個(gè)全面試驗(yàn)點(diǎn)中選擇9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn) ，僅是全面試驗(yàn)的三分之一。 從上圖中可以看到，9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的，在立方體的每個(gè)平面上，都恰是3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)；在立方體的每條線上也恰有一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。 9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)均衡地分布于整個(gè)立方體內(nèi) ，有很強(qiáng)的代表性，能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內(nèi)的基本情況。 1.3 正交表及其基本性質(zhì)1.3.1

5、 正交表 由于正交設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)和分析試驗(yàn)結(jié)果都要用正交表，因此，我們先對(duì)正交表作一介紹。 下表是一張正交表，記號(hào)為L(zhǎng)8(27)，其中“L”代表正交表；L右下角的數(shù)字“8”表示有8行 ，用這張正交表安排試驗(yàn)包含8個(gè)處理(水平組合) ；括號(hào)內(nèi)的底數(shù)“2” 表示因素的水平數(shù)，括號(hào)內(nèi)2的指數(shù)“7”表示有7列 ，用這張正交表最多可以安排7個(gè)2水平因素。 L8(27) 正 交 表常用的正交表已由數(shù)學(xué)工作者制定出來，供進(jìn)行正交設(shè)計(jì)時(shí)選用。2水平正交表除L8(27)外，還有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)等。1.3.2 正交表的基本性質(zhì) 1.3.2.1 正交性 （

6、1）任一列中，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相等 例：L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、2和3，它們各出現(xiàn)3次 。（2）任兩列之間各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn)，且對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等 例： L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn)1次。即每個(gè)因素的一個(gè)水平與另一因素的各個(gè)水平所有可能組合次數(shù)相等，表明任意兩列各個(gè)數(shù)字之間的搭配是均勻的。 1.3.2

7、.2 代表性 一方面：（1）任一列的各水平都出現(xiàn)，使得部分試驗(yàn)中包括了所有因素的所有水平；（2）任兩列的所有水平組合都出現(xiàn)，使任意兩因素間的試驗(yàn)組合為全面試驗(yàn)。 另一方面： 由于正交表的正交性，正交試驗(yàn)的試驗(yàn)點(diǎn)必然均衡地分布在全面試驗(yàn)點(diǎn)中，具有很強(qiáng)的代表性。因此，部分試驗(yàn)尋找的最優(yōu)條件與全面試驗(yàn)所找的最優(yōu)條件，應(yīng)有一致的趨勢(shì)。1.3.2.3 綜合可比性 （1）任一列的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相等； （2）任兩列間所有水平組合出現(xiàn)次數(shù)相等，使得任一因素各水平的試驗(yàn)條件相同。這就保證了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干擾。從而可以綜合比較該因素不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況。 根據(jù)以上特

8、性，我們用正交表安排的試驗(yàn)，具有均衡分散和整齊可比的特點(diǎn)。 所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均勻的 。整齊可比是指每一個(gè)因素的各水平間具有可比性。因?yàn)檎槐碇忻恳灰蛩氐娜我凰较露季獾匕硗庖蛩氐母鱾€(gè)水平 ，當(dāng)比較某因素不同水平時(shí)，其它 因素的效應(yīng)都彼此抵消。如在A、B、C 3個(gè)因素中，A因素的3個(gè)水平 A1、A2、A3 條件下各有 B 、C 的 3個(gè)不同水平，即： 在這9個(gè)水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個(gè)水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當(dāng)比較A因素不同水平時(shí)，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng)也相

9、互抵消。所以A因素3個(gè)水平間具有綜合可比性。同樣，B、C因素3個(gè)水平間亦具有綜合可比性。 正交表的三個(gè)基本性質(zhì)中，正交性是核心，是基礎(chǔ)，代表性和綜合可比性是正交性的必然結(jié)果。1.4 正交表的類別 1、等水平正交表 各列水平數(shù)相同的正交表稱為等水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中的水平為2，稱為2水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列水平為3，稱為3水平正交表。 2、混合水平正交表 各列水平數(shù)不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L8(4×24)表中有一列的水平數(shù)為4，有4列水平數(shù)為2。也就是說該表可以安排一個(gè)4水平因素和4個(gè)2水平因素。再如L

10、16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。試驗(yàn)?zāi)康呐c要求試驗(yàn)指標(biāo)選因素、定水平因素、水平確定選擇合適正交表列試驗(yàn)方案2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本程序?qū)τ诙嘁蛩卦囼?yàn)，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是簡(jiǎn)單常用的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，其設(shè)計(jì)基本程序如圖所示。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本程序包括試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果分析兩部分。 2.1 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì) （1） 明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo) 試驗(yàn)設(shè)計(jì)前必須明確試驗(yàn)?zāi)康?，即本次試?yàn)要解決什么問題。試驗(yàn)?zāi)康拇_定后，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果如何衡量，即需要確定出試驗(yàn)指標(biāo)。試驗(yàn)指標(biāo)可為定量指標(biāo)，也可為定性指標(biāo)。試 驗(yàn) 方 案 設(shè) 計(jì) 流 程一般為了便于試驗(yàn)結(jié)果的分析，定性指標(biāo)可

11、按相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)打分或模糊數(shù)學(xué)處理進(jìn)行數(shù)量化，將定性指標(biāo)定量化。 （2） 選因素、定水平，列因素水平表 根據(jù)專業(yè)知識(shí)、以往的研究結(jié)論和經(jīng)驗(yàn)，從影響試驗(yàn)指標(biāo)的諸多因素中，通過因果分析篩選出需要考察的試驗(yàn)因素。一般確定試驗(yàn)因素時(shí)，應(yīng)以對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響大的因素、尚未考察過的因素、尚未完全掌握其規(guī)律的因素為先。試驗(yàn)因素選定后，根據(jù)所掌握的信息資料和相關(guān)知識(shí)，確定每個(gè)因素的水平，一般以2-4個(gè)水平為宜。對(duì)主要考察的試驗(yàn)因素，可以多取水平，但不宜過多（6），否則試驗(yàn)次數(shù)驟增。因素的水平間距，應(yīng)根據(jù)專業(yè)知識(shí)和已有的資料，盡可能把水平值取在理想?yún)^(qū)域。四因素、三水平的試驗(yàn)因素水平表水平試 驗(yàn) 因 素ABCD1 23（

12、3） 選擇合適的正交表正交表的選擇是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的首要問題。確定了因素及其水平后，根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。正交表的選擇原則是在能夠安排下試驗(yàn)因素和交互作用的前提下，盡可能選用較小的正交表，以減少試驗(yàn)次數(shù)。 一般情況下，試驗(yàn)因素的水平數(shù)應(yīng)等于正交表中的水平數(shù)；因素個(gè)數(shù)（包括交互作用）應(yīng)不大于正交表的列數(shù)；最低的試驗(yàn)次數(shù)(行數(shù))(每列水平數(shù)一1)+l 等 水 平 正 交 表 La（bc）試驗(yàn)結(jié)果分析例：選擇一4個(gè)3水平因素試驗(yàn)的正交表 可以選用L9(34)或L27(313) （A）不考察因素間的交互作用，宜選用L9（34）。 （B）考察交互作用，則應(yīng)選用L27(

13、313)。 課堂練習(xí)： 選擇一5個(gè)3水平因子及一個(gè)2水平因子試驗(yàn)的正交表 L12(2×35)（4） 表頭設(shè)計(jì) 表頭設(shè)計(jì)，就是把試驗(yàn)因素和要考察的交互作用分別安排到正交表的各列中去的過程。 在不考察交互作用時(shí)，各因素可隨機(jī)安排在各列上；若考察交互作用，就應(yīng)按所選正交表的交互作用列表安排各因素與交互作用，以防止設(shè)計(jì)“混雜” 。 例：不考察交互作用，可將因素(A)、(B)和(C)、（D）依次安排在L9(34)的第1、2、3、4列上，見下表所示。表 頭 設(shè) 計(jì)列號(hào)1234因素ABCD（5）編制試驗(yàn)方案，按方案進(jìn)行試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)結(jié)果。把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每個(gè)

14、水平數(shù)字換成該因素的實(shí)際水平值，便形成了下表中的正交試驗(yàn)方案。 下表說明：試驗(yàn)號(hào)并非試驗(yàn)順序，為了排除誤差干擾，試驗(yàn)中可隨機(jī)進(jìn)行； 安排試驗(yàn)方案時(shí)，部分因素的水平可采用隨機(jī)安排。試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果表試驗(yàn)號(hào)因 素試驗(yàn)結(jié)果ABCD111112122231333421235223162312731328321393321作 業(yè)1、正交表有哪些類型？它們的核心性質(zhì)是什么？2、寫出正交表的表達(dá)式，并簡(jiǎn)述正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本程序。3、不考慮交互作用，設(shè)計(jì)一個(gè)4水平的3因素正交試驗(yàn)方案極差分析方差分析2.2 試驗(yàn)結(jié)果分析§ 分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個(gè)是主要因素，哪個(gè)是次要因素；

15、67; 判斷因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的顯著程度；§ 找出試驗(yàn)因素的優(yōu)水平和試驗(yàn)范圍內(nèi)的最優(yōu)組合，即試驗(yàn)因素各取什么水平時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)最好；§ 分析因素與試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系，即當(dāng)因素變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)是如何變化的。找出指標(biāo)隨因素變化的規(guī)律和趨勢(shì)，為進(jìn)一步試驗(yàn)指明方向；§ 了解各因素之間的交互作用情況；§ 估計(jì)試驗(yàn)誤差的大小。§ 3 正交試驗(yàn)的結(jié)果分析3.1 直觀分析法極差分析法 計(jì)算簡(jiǎn)便，直觀，簡(jiǎn)單易懂，是正交試驗(yàn)結(jié)果分析最常用方法。以下說明極差分析過程。 Rj為第j列因素的極差，反映了第j列因素水平波動(dòng)時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)的變動(dòng)幅度。Rj越大，說明該因素對(duì)試驗(yàn)指

16、標(biāo)的影響越大。根據(jù)Rj大小，可以判斷因素的主次順序。Kjm為第j列因素m水平所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)指標(biāo)和，kjm為Kjm平均值。由kjm大小可以判斷第j列因素優(yōu)水平和優(yōu)組合。3.1.1 不考察交互作用的試驗(yàn)結(jié)果分析（1） 確定試驗(yàn)因素的優(yōu)水平和最優(yōu)水平組合分析A因素各水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。 根據(jù)正交設(shè)計(jì)的特性，對(duì)A1、A2、A3來說，三組試驗(yàn)的試驗(yàn)條件是完全一樣的（綜合可比性），可進(jìn)行直接比較。如果因素A對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)無影響時(shí)，那么kA1、kA2、kA3應(yīng)該相等，不相等時(shí)說明，A因素的水平變動(dòng)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有影響。根據(jù)kA1、kA2、kA3的大小可以判斷A1、A2、A3對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響大小。kA值愈接近要求值的

17、水平是A因素的優(yōu)水平。 同理，可以計(jì)算并確定B、C、D因素的優(yōu)水平。四個(gè)因素的優(yōu)水平組合為試驗(yàn)的最優(yōu)水平組合。 例1：分析下表中溫度、時(shí)間、加堿量對(duì)轉(zhuǎn)化率影響試驗(yàn)中各條件的最優(yōu)值和最佳的工藝條件。轉(zhuǎn) 化 率 試 驗(yàn) 數(shù) 據(jù) 表（2） 確定因素的主次順序 根據(jù)極差Rj的大小，可以判斷各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響主次。比較各R值大小，R值愈大的表示因素對(duì)指標(biāo)的影響大，因素越重要，R值愈小因素的影響較小。（3） 繪制因素與指標(biāo)趨勢(shì)圖 以各因素水平為橫坐標(biāo)，試驗(yàn)指標(biāo)的平均值（kjm）為縱坐標(biāo)，繪制因素與指標(biāo)趨勢(shì)圖。由因素與指標(biāo)趨勢(shì)圖可以更直觀地看出試驗(yàn)指標(biāo)隨著因素水平的變化而變化的趨勢(shì)，可為進(jìn)一步試驗(yàn)指明方

18、向。以上即為正交試驗(yàn)極差分析的基本程序與方法§ 極差R：表示該因素在其取值范圍內(nèi)試驗(yàn)指標(biāo)變化的幅度。 R = max（Ki）- min（Ki） 例2：根據(jù)轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算極差R，并分析影響轉(zhuǎn)化率因素的主次順序。 解例：計(jì)算的k值和R值如下表： 溫度 時(shí)間 加堿量以上計(jì)算后分析得到下面的試驗(yàn)結(jié)論 § 各條件的最優(yōu)值：溫度3（90），時(shí)間2（120分鐘），加堿量2（6%）。最佳工藝條件是以上三個(gè)最優(yōu)水平的組合。§ 對(duì)轉(zhuǎn)化率影響最大的因素是溫度，其次是加堿量，時(shí)間的影響最小。附1 多指標(biāo)正交試驗(yàn)極差分析對(duì)于多指標(biāo)試驗(yàn)，方案設(shè)計(jì)和實(shí)施與單指標(biāo)試驗(yàn)相同，不同在于每做一次試

19、驗(yàn)，都需要對(duì)考察指標(biāo)一一測(cè)試，分別記錄。試驗(yàn)結(jié)果分析時(shí)，也要對(duì)考察指標(biāo)一一分析，然后綜合評(píng)衡，確定出優(yōu)條件。（1）試驗(yàn)方案設(shè)計(jì) 確定試驗(yàn)指標(biāo)X、Y、Z 挑因素，選水平，列因素水平表（見下表） 選正交表、設(shè)計(jì)表頭、編制試驗(yàn)方案。下表為四因素三水平試驗(yàn)，不考慮交互作用，選L9（34）安排試驗(yàn)。試驗(yàn)號(hào)因 素試驗(yàn)結(jié)果ABCDXYZ111112122231333421235223162312731328321393321（2）試驗(yàn)結(jié)果分析 計(jì)算各因素各水平下每種試驗(yàn)指標(biāo)的數(shù)據(jù)和以及平均值，并計(jì)算極差R。 根據(jù)極差大小列出各指標(biāo)下的因素主次順序。 試驗(yàn)指標(biāo)： 主次順序 優(yōu)化水平組合 X ACDB A3B3

20、C1D2 Y CDAB A1B2C1D1 Z ADBC A2B2C2D3 初選優(yōu)化工藝條件：根據(jù)各指標(biāo)不同水平平均值確定各因素的優(yōu)化水平組合。綜合平衡確定最優(yōu)工藝條件。以上三指標(biāo)單獨(dú)分析出的優(yōu)化條件不一致，必須根據(jù)因素的影響主次，綜合考慮，確定最佳工藝條件。 例：如下表數(shù)據(jù)， 對(duì)于因素A，其對(duì)X影響大小排第一位，此時(shí)取A3；其對(duì)Z影響也排第一位，取A2；而其對(duì)Y影響排次要第三位，為次要因素，因此A可取A2或A3，但取A2時(shí)，Z比取A3減小了14.8%，而X增加了12%，且由Y指標(biāo)看，取A2比A3的Y值高，故A因素取A2。同理可分析B取B2，C取C1，D取D3。優(yōu)組合為A2B2C1D3.K1K2

21、K3X23.621.819.4Y2.62.42.3Z3.42.73.1附2 混合型正交表試驗(yàn)設(shè)計(jì)與極差分析試驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析同前，不同的是將極差R進(jìn)行調(diào)整，用調(diào)整后的R進(jìn)行比較。 r 為因素每個(gè)水平試驗(yàn)重復(fù)數(shù) d 折算系數(shù)，與因素水平有關(guān)。3.1.2 考察交互作用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)（1） 交互作用在多因素試驗(yàn)中，不僅因素對(duì)指標(biāo)有影響，而且因素之間的聯(lián)合搭配也對(duì)指標(biāo)產(chǎn)生影響。因素間的聯(lián)合搭配對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)生的影響作用稱為交互作用。因素之間的交互作用總是存在的，這是客觀存在的普遍現(xiàn)象，只不過交互作用的程度不同而異。一般地，當(dāng)交互作用很小時(shí)，就認(rèn)為因素間不存在交互作用。對(duì)于交互作用，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)引起高度重視。 在

22、試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，表示A、B間的交互作用記作A×B，稱為1級(jí)交互作用；表示因素A、B、C之間的交互作用記作A×B×C，稱為2級(jí)交互作用；依此類推，還有3級(jí)、4級(jí)交互作用等。（2）交互作用的處理原則試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，交互作用一律當(dāng)作因素看待，這是處理交互作用問題的總原則。作為因素，各級(jí)交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相應(yīng)列上，它們對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況都可以分析清楚，而且計(jì)算非常簡(jiǎn)單。但交互作用又與因素不同，表現(xiàn)在： 用于考察交互作用的列不影響試驗(yàn)方案及其實(shí)施； 一個(gè)交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1）p列。表頭設(shè)計(jì)時(shí)，交互作用所占列數(shù)與因素的水平m有

23、關(guān)，與交互作用級(jí)數(shù)p有關(guān)。2水平因素的各級(jí)交互作用均占1列；對(duì)于3水平因素，一級(jí)交互作用占兩列，二級(jí)交互作用占四列，可見，m和p越大，交互作用所占列數(shù)越多。例：對(duì)一個(gè)25因素試驗(yàn)，表頭設(shè)計(jì)時(shí)，如果考慮所有各級(jí)交互作用，那么連同因素本身，總計(jì)應(yīng)占列數(shù)為： C51 + C52 +C53 +C54 +C55 5+10+10+5+131， 那么此試驗(yàn)必選L32（25）正交表進(jìn)行設(shè)計(jì)。一般對(duì)于多因素試驗(yàn)，在滿足試驗(yàn)要求的條件下，要有選擇地、合理地考察某些交互作用。 綜合考慮試驗(yàn)?zāi)康?、專業(yè)知識(shí)、以往的經(jīng)驗(yàn)及現(xiàn)有試驗(yàn)條件等多方面情況進(jìn)行交互作用選擇。一般原則是： 忽略高級(jí)交互作用 有選擇地考察一級(jí)交互作用。

24、通常只考察那些作用效果較明顯的，或試驗(yàn)要求必須考察的。 試驗(yàn)允許的條件下，試驗(yàn)因素盡量取2水平。（3）有交互作用的試驗(yàn)表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì)時(shí)，各因素及其交互作用不能任意安排，必須嚴(yán)格按交互作用列表進(jìn)行安排。這是有交互作用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要特點(diǎn)，也是關(guān)鍵的一步。在表頭設(shè)計(jì)中，為了避免混雜，那些主要因素，重點(diǎn)要考察的因素，涉及交互作用較多的因素，應(yīng)該優(yōu)先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。所謂混雜，就是指在正交表的同列中，安排了兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素或交互作用，這樣，就無法區(qū)分同一列中這些不同因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響效果。（4）有交互作用的正交設(shè)計(jì)在實(shí)際研究中，有時(shí)試驗(yàn)因素之間存在交互

25、作用。對(duì)于既考察因素主效應(yīng)又考察因素間交互作用的正交設(shè)計(jì)，除表頭設(shè)計(jì)和結(jié)果分析與前面介紹略有不同外，其它基本相同。1、右表是一正交試驗(yàn)方案和結(jié)果表，請(qǐng)用極差分析法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，確定各因素對(duì)指標(biāo)Y的影響大小和優(yōu)水平，明確最優(yōu)的工藝組合。3.2 正交試驗(yàn)結(jié)果的方差分析極差分析法簡(jiǎn)單明了，通俗易懂，計(jì)算工作量少。但這種方法不能將試驗(yàn)中由于試驗(yàn)條件改變引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)同試驗(yàn)誤差引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)區(qū)分開來，也就是說，不能區(qū)分因素各水平間對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果的差異究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗(yàn)誤差引起的，無法估計(jì)試驗(yàn)誤差的大小。此外，各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響大小無法給以精確的數(shù)量估計(jì)，不能提出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

26、來判斷所考察因素作用是否顯著。為了彌補(bǔ)極差分析的缺陷，可采用方差分析。3.2.1 正交試驗(yàn)結(jié)果的方差分析 方差分析基本思想是將數(shù)據(jù)的總變異分解成因素引起的變異和誤差引起的變異兩部分，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，作F檢驗(yàn)，即可判斷因素作用是否顯著。（1）偏差平方和分解：總偏差平方和各列因素偏差平方和+誤差偏差平方和（2）自由度分解： 若計(jì)算出的F值F0>Fa，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若F0Fa，則認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響。（6）正交試驗(yàn)方差分析說明由于進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，要用誤差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，為進(jìn)行方差分析，所選正交表應(yīng)留出一定空列。當(dāng)

27、無空列時(shí)，應(yīng)進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，以估計(jì)試驗(yàn)誤差。 誤差自由度一般不應(yīng)小于2，dfe很小，F(xiàn)檢驗(yàn)靈敏度很低，有時(shí)即使因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響，用F檢驗(yàn)也判斷不出來。 為了增大dfe，提高F檢驗(yàn)的靈敏度，在進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之前，先將各因素和交互作用的方差與誤差方差比較，若MS因（MS交）<2MSe，可將這些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入誤差的偏差平方和、自由度，這樣使誤差的偏差平方和和自由度增大，提高了F檢驗(yàn)的靈敏度。L9(34) 正 交 表處理號(hào) 第1列（A） 第2列 第3列 第4列 試驗(yàn)結(jié)果yi11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y7

28、83213y893321y9分析第1列因素時(shí)，其它列暫不考慮，將其看做條件因素。單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料格式Ln（mk）正交表及計(jì)算表格表頭設(shè)計(jì)AB試驗(yàn)數(shù)據(jù)列號(hào)12kxixi2試驗(yàn)號(hào)11x1x1221x2x22nmxnxn2K1jK11K12K1kK2jK21K22K2kKmjKm1Km2KmkK1j2K112K122K1k2K2j2K212K222K2k2Kmj2Km12Km22Kmk2總偏差平方和：列偏差平方和： 試驗(yàn)總次數(shù)為n，每個(gè)因素水平數(shù)為m個(gè)，每個(gè)水平作r次重復(fù) rn/m。SSjSS1SS2SSk試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表處理號(hào)ABC空列試驗(yàn)結(jié)果1 1 1 116.252 1 2 224.97

29、3 1 3 334.544 2 1 237.535 2 2 315.546 2 3 125.57 3 1 3211.48 3 2 1310.99 3 3 218.95K1j15.76 25.18 22.65 20.74 K2j18.57 21.41 21.45 21.87 K3j31.25 18.99 21.48 22.97 K1j2248.38 634.03 513.02 430.15 K2j2344.84 458.39 460.10 478.30 K3j2976.56 360.62 461.39 527.62 （1）計(jì)算計(jì)算各列各水平的K值 計(jì)算各列各水平對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之和K1j、K2j、K3j

30、及其平方K1j2、K2j2、K3j2。自由度：dfAdfBdfCdfe3-1=2計(jì)算方差：（2）顯著性檢驗(yàn) 根據(jù)以上計(jì)算，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，列出方差分析表，結(jié)果見下表方 差 分 析 表變異來源 平方和 自由度 均方 F值 Fa顯著水平 A45.40222.7079.6F0.05(2,4) =6.94*B6.4923.2411.4F0.01(2,4)=18.0*C0.3120.16誤差e0.8320.41誤差e 1.1440.285總和 53.03結(jié) 論 因素A高度顯著，因素B顯著，因素C不顯著。因素主次順序A-B-C。（3）優(yōu)化工藝條件的確定 本試驗(yàn)指標(biāo)越大越好。對(duì)因素A、B分析，確定優(yōu)水平為A

31、3、B1；因素C的水平改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果幾乎無影響，可從經(jīng)濟(jì)、操作等角度考慮取值，選C1。優(yōu)水平組合為A3B1C1。3.2.3 考慮交互作用正交試驗(yàn)方差分析例： 用石墨爐原子吸收分光光度法測(cè)定鋅錠中的鉛，為了提高測(cè)定靈敏度，希望吸光度越大越好，現(xiàn)研究影響吸光度的因素，確定最佳測(cè)定條件（1） 計(jì)算計(jì)算各列各水平對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；計(jì)算各列偏差平方和及自由度（見吸光度測(cè)定試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表）。（2）顯著性檢驗(yàn)根據(jù)方差分析表，因素B高度顯著，因素A、C及交互作用A×B、A×C、B×C均不顯著。各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的主次順序?yàn)椋築、A、A×C、C、A×B、B×C。吸光度測(cè)定試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表試驗(yàn)號(hào)ABA×BCA×CB×C空列吸光度111111112.42211122222.24312211222.66412222112.58521212122.36621221212.4722112212.79822121122.76K1j9.99.4210.2110.2310.2410.1210.19K2j10.3110.79109.989.9710.0910.02K1j-K2j-0.41-1.370.210.250.270.030.17SSj0.0210.2350.00550.0