曲線積分與曲面積分解題方法歸納

1、第十一章解題方法歸納一、曲線積分與曲面積分的計算方法1.曲線積分與曲面積分的計算方法歸納如下：(1) 利用性質(zhì)計算曲線積分和曲面積分.(2) 直接化為定積分或二重積分計算曲線或曲面積分(3) 利用積分與路徑無關(guān)計算對坐標(biāo)的曲線積分.(4) 利用格林公式計算平面閉曲線上的曲線積分.(5) 利用斯托克斯公式計算空間閉曲線上的曲線積分.(6) 利用高斯公式計算閉曲面上的曲面積分.2. 在具體計算時，常用到如下一些結(jié)論：（1）若積分曲線關(guān)于軸對稱，則其中是在右半平面部分.若積分曲線關(guān)于軸對稱，則其中是在上半平面部分.（2）若空間積分曲線關(guān)于平面對稱，則 .（3）若積分曲面關(guān)于面對稱，則其中是在面上方部

2、分.若積分曲面關(guān)于面對稱，則其中是在面前方部分.若積分曲面關(guān)于面對稱，則其中是在面右方部分.（4）若曲線弧，則若曲線?。O坐標(biāo)），則若空間曲線弧，則（5）若有向曲線弧，則若空間有向曲線弧，則（6）若曲面，則 其中為曲面在面上的投影域.若曲面，則其中為曲面在面上的投影域.若曲面，則其中為曲面在面上的投影域.（7）若有向曲面，則（上“+”下“-”）其中為在面上的投影區(qū)域.若有向曲面，則（前“+”后“-”）其中為在面上的投影區(qū)域.若有向曲面，則（右“+”左“-”）其中為在面上的投影區(qū)域. （8）與路徑無關(guān)（為內(nèi)任一閉曲線）（存在）其中是單連通區(qū)域，在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（9）格林公式其中為有界閉區(qū)域

3、的邊界曲線的正向，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（10）高斯公式或 其中為空間有界閉區(qū)域的邊界曲面的外側(cè)，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為曲面在點處的法向量的方向余弦. （11）斯托克斯公式其中為曲面的邊界曲線，且的方向與的側(cè)（法向量的指向）符合右手螺旋法則，在包含在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).1. 計算曲線積分或曲面積分的步驟：（1）計算曲線積分的步驟： 1）判定所求曲線積分的類型（對弧長的曲線積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分）； 2）對弧長的曲線積分，一般將其化為定積分直接計算；對坐標(biāo)的曲線積分： 判斷積分是否與路徑無關(guān)，若積分與路徑無關(guān)，重新選取特殊路徑積分； 判斷是否滿足或添加輔助線后滿足格林公式的條件

4、，若滿足條件，利用格林公式計算（添加的輔助線要減掉）； 將其化為定積分直接計算. 對空間曲線上的曲線積分，判斷是否滿足斯托克斯公式的條件，若滿足條件，利用斯托克斯公式計算；若不滿足，將其化為定積分直接計算.（2）計算曲面積分的步驟：1）判定所求曲線積分的類型（對面積的曲面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分）； 2）對面積的曲面積分，一般將其化為二重積分直接計算；對坐標(biāo)的曲面積分： 判斷是否滿足或添加輔助面后滿足高斯公式的條件，若滿足條件，利用高斯公式計算（添加的輔助面要減掉）； 將其投影到相應(yīng)的坐標(biāo)面上，化為二重積分直接計算.例1 計算曲線積分，其中為取逆時針方向. 解 由于積分曲線關(guān)于軸、軸均對稱，被積

5、函數(shù)對、均為偶函數(shù)，因此故 方法技巧 對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性與對弧長的曲線積分對稱性不同，記清楚后再使用.事實上，本題還可應(yīng)用格林公式計算.例2 計算曲面積分，其中為球面. 解 由積分曲面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性知又由輪換對稱性知故 方法技巧 對面積的曲面積分的對稱性與對坐標(biāo)的曲面積分的對稱性不同，理解起來更容易些.若碰到積分曲面是對稱曲面，做題時可先考慮一下對稱性.例3 計算曲面積分，其中為球面.解 方法技巧 積分曲面是關(guān)于對稱的，被積函數(shù)是的奇函數(shù)，因此例4 計算曲線積分，其中為圓周的逆時針方向. 解法1 直接計算. 將積分曲線表示為參數(shù)方程形式代入被積函數(shù)中得 解法2 利用格林公式其

6、中，故方法技巧 本題解法1用到了定積分的積分公式： 解法2中，一定要先將積分曲線代入被積函數(shù)的分母中，才能應(yīng)用格林公式，否則不滿足在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件.例5 計算曲線積分，其中為沿由點到點的曲線弧. 解 直接計算比較困難.由于 ，因此在不包含原點的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān).取圓周上從到點的弧段代替原弧段，其參數(shù)方程為：，代入被積函數(shù)中得 方法技巧 本題的關(guān)鍵是選取積分弧段，既要保證簡單，又要保證不經(jīng)過坐標(biāo)原點.例6 計算曲面積分，其中為的法向量與各坐標(biāo)軸正向夾銳角的側(cè)面.解 由于曲面具有輪換對稱性，投影到面的區(qū)域，故方法技巧 由于積分曲面具有輪換對稱性，因此可以將直接轉(zhuǎn)換為，只要投影

7、到面即可.例7 計算曲面積分，其中為錐面在部分的上側(cè). 解 利用高斯公式. 添加輔助面，取下側(cè)，則 其中為和圍成的空間圓錐區(qū)域，為投影到面的區(qū)域，即，由的輪換對稱性，有故 方法技巧 添加輔助面時，既要滿足封閉性，又要滿足對側(cè)的要求.本題由于積分錐面取上側(cè)（內(nèi)側(cè)），因此添加的平面要取下側(cè)，這樣才能保證封閉曲面取內(nèi)側(cè)，使用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分時，前面要添加負(fù)號.例8 計算曲線積分，其中從軸的正向往負(fù)向看，的方向是順時針方向. 解 應(yīng)用斯托克斯公式計算. 令取下側(cè)，在面的投影區(qū)域為，則方法技巧 本題用斯托克斯公式計算比直接寫出曲線的參數(shù)方程代入要簡單，所有應(yīng)用斯托克斯公式的題目，曲面的選取都是關(guān)鍵

8、，既要簡單，又要滿足斯托克斯的條件，需要大家多加練習(xí).二、曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用1.曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用歸納如下：(1) 曲線或曲面形物體的質(zhì)量.(2) 曲線或曲面的質(zhì)心（形心）.(3) 曲線或曲面的轉(zhuǎn)動慣量.(4) 變力沿曲線所作的功.(5) 矢量場沿有向曲面的通量.(6) 散度和旋度.2. 在具體計算時，常用到如下一些結(jié)論：（1）平面曲線形物體 空間曲線形物體 曲面形構(gòu)件 （2） 質(zhì)心坐標(biāo)平面曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo)： 空間曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo)： 曲面形物體的質(zhì)心坐標(biāo)：當(dāng)密度均勻時，質(zhì)心也稱為形心.（3） 轉(zhuǎn)動慣量平面曲線形物體的轉(zhuǎn)動慣量： 空間曲線形物體的轉(zhuǎn)動慣量： 曲面形物體

9、的轉(zhuǎn)動慣量：其中和分別為平面物體的密度和空間物體的密度.（4） 變力沿曲線所作的功 平面上質(zhì)點在力+作用下，沿有向曲線弧從點運動到點，所做的功空間質(zhì)點在力+作用下，沿有向曲線弧從點運動到點，所做的功（2） 矢量場沿有向曲面的通量矢量場+通過有向曲面指定側(cè)的通量（3） 散度和旋度 矢量場+的散度矢量場+的旋度+1. 曲線積分或曲面積分應(yīng)用題的計算步驟： （1）根據(jù)所求物理量，代入相應(yīng)的公式中； （2）計算曲線積分或曲面積分.例9 設(shè)質(zhì)點在場力的作用下，沿曲線由圖11.7移動到，求場力所做的功.（其中為常數(shù)）解 積分曲線如圖11.7所示. 場力所做的功為令，則即在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān). 另取由到的路徑：方法技巧 本題的關(guān)鍵是另取路徑，一般而言，最簡單的路徑為折線路徑，比如，但不可以選取此路徑，因為在原點處不連續(xù). 換句話說，所取路徑不能經(jīng)過坐標(biāo)原點，當(dāng)然路徑的取法不是唯一的.例10 設(shè)密度為1的流體的流速，曲面是由曲線饒軸旋轉(zhuǎn)而成的