有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性的線性分析

1、有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性非線性近似分析摘 要本文利用微擾法研究質點在有心力作用下圓形軌道的穩(wěn)定性問題。通過對比分析了一階與二階兩種微擾近似條件下質點運動軌道的相圖。在引力與距離n次方成反比的有心力場中,影響圓形軌道穩(wěn)定性的因素有冪次n、軌道初始半徑及微擾強度。當n趨近于2時,圓形軌道抗擾動能力比較強; 當n確定時,軌道半徑越大的圓形軌道,所能承受的微擾越小。并從粒子的運動方程出發(fā),利用非線性動力學的方法分析了行星在有心力場中運行軌道的穩(wěn)定性。并指出，當粒子在與位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其運行軌道的穩(wěn)定條件是n小于三。關鍵詞：穩(wěn)定性；微擾法；相圖；運行軌道NONLINEAR ANAL

2、YSIS ON STABILITY OF A CIRCULAR ORBIT IN THE CENTRAL FORCE FIELDABSTRACTIn this paper，the perturbation method is used to study the stability problem of a mass particle forced by a central force in a circular orbit. By comparative analysis, phase diagram of the perturbation orbit of mass is performed

3、 under the conditions for the first-order and second-order perturbation approximations. In the central force field where the gravity is in inverse proportion to nth power of the modulus of situation vector, Influence factors on the stability of circular orbit are power index n，initial orbit radius a

4、nd the strength of the perturbation. When power index n tends to 2, the anti-disturbance capability of the circular orbit is strong. The larger the circular orbit radius is, for the same power index, the smaller perturbation the orbit can endure. Based on the basic motion equation, the stability of

5、the planet orbits in central force field is studied by using nonlinear dynamics method. It is indicated that the stability condition of planet orbits in the central force field is that n is smaller than three when particle is forced by the central force which is in inverse proportion to nth power of

6、 situation vector. Key words: stability; perturbation method; phase diagram; orbit stability目 錄1前言-12線性穩(wěn)定性分析和奇點的分類-221非線性方程的線性化和線性穩(wěn)定性定理-2 22線性方程的解及其穩(wěn)定性-3 23奇點（定點）的分類-43圓形軌道的穩(wěn)定性-5 31圓形軌道的微擾微分方程-5 311取一階微擾近似-5 312取二階微擾近似-6 32有心力場中圓形軌道的穩(wěn)定性分析-7 321當時的穩(wěn)定性分析-7 322當時的穩(wěn)定性分析-74行星軌道的穩(wěn)定性分析-125結論-15參考文獻-16致謝-17

7、1 前 言對于現(xiàn)行通用的理論力學教材中關于有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性的討論，方法一般分為兩類：第一類用有效勢能法；第二類用比耐公式，然后歸結為用線性近似方程判別穩(wěn)定性。不管方法如何，這些文獻都未涉及微擾大小對穩(wěn)定性的影響。一般認為，當初始擾動過大，軌道不可能保持穩(wěn)定。如果當圓形軌道取一階微擾近似時的穩(wěn)定性條件是什么？若當存在二階微擾時，情況又如何呢？有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性又與哪些因素有關呢？這些結論又是否適用于行星軌道呢？本文將利用微擾法研究有心力場中圓形軌道穩(wěn)定性的基礎上，采用非線性近似，結合微擾相圖，討論了微擾大小對穩(wěn)定性的影響，并從運動方程出發(fā)驗證了此結論適用于行星軌道。彌補了其他文獻討

8、論上的不足。2 線性穩(wěn)定性分析和奇點分類2.1 非線性方程的線性化和線性穩(wěn)定性定理設為非線性方程的一個解。為研究此解的穩(wěn)定性，令表示此解附近的另一解： （2.1） 稱為參考點或參考解，相應的狀態(tài)稱為參考態(tài)，就是狀態(tài)對參考態(tài)的偏離。為了分析定點（定態(tài)）的穩(wěn)定性及在其鄰域解的表現(xiàn)，通常都是取定點為參考點。 將式（2.1）代入方程 （2.2）并實行泰勒展開： （2.3）表示的二次和二次以上無窮小項，下標0表示在參考點處取值。由此得： （2.4）方程（2.4）也可寫成矢量形式： （2.5）式（2.4）中： （2.6）式（2.5）中的系數(shù)矩陣（雅克比矩陣）是： （2.7）方程（2.4）或（2.5）就是非

9、線性方程（2.2）在參考點鄰域的線性化方程。 線性穩(wěn)定性定：如果非線性方程（2.2）的線性化方程（2.4）的定點是漸進穩(wěn)定的，則參考點（態(tài))是非線性方程的漸進穩(wěn)定解；如果線性化方程的定點是不穩(wěn)定的，則參考態(tài)也是非線性方程的不穩(wěn)定解。2.2 線性方程的解及其穩(wěn)定性為求線性方程（2.4）并分析其解的穩(wěn)定性，先就簡單而形象的n=2情形進行研究其結果不能推廣到多變量的情形。當n=2時，方程（2.4）簡化為： （2.8）通常方程（2.8）有如下形式的解： （2.9）是下述特征值方程的解： = 0 （2.10）或 T + = 0 （2.11）用和T分別表示方程(2.8)系數(shù)矩陣的行列式和跡 （2.12）T

10、 = + （2.13）方程（2.10）有兩個解： = ， = （2.14）2.3 奇點（定點）的分類還可以根據(jù)和T取值不同從而特征跟取值也不同進一步對線性方程（2.4）的解和非線性方程的參考態(tài)定態(tài)或定點（奇點）進行分類：（1）情形 這時兩個特征根和都是實的，而且符號相同。這樣的定點（奇點）稱為結點。T>0時它是不穩(wěn)定結點，T<0時是穩(wěn)定結點。凡是和小于零的奇點，因為指數(shù)為負的，導致趨于零（t），都是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。（2） 情形 這時兩個特征根都是復數(shù)（），其虛部表示振蕩過程（），實部（）則表示振蕩的振幅。 時， ，振幅按指數(shù)形式增長，解或定點（奇點）便是不穩(wěn)定的； 時， ，

11、振幅按指數(shù)形式衰減，解或定點便是穩(wěn)定的。這樣的定點稱為焦點或螺線極點。因此焦點也有不穩(wěn)定焦點和穩(wěn)定焦點之分：（從而）時是不穩(wěn)定焦點，（從而 ）時是穩(wěn)定焦點.（3）情形 這時兩特征根都是虛的，從而解是振蕩的，其在相平面上的軌線是一些閉曲線，這時的定點（奇點）稱為中心。（4）情形 這時兩特征根都是實的，其中之一是正的，另一是負的，從而這種奇點在相平面上一個方向是不穩(wěn)定的，另一方向是穩(wěn)定的，相應的定點（奇點）稱為鞍點。3 圓軌道的穩(wěn)定性3.1 圓形軌道的微擾微分方程3.1.1 取一階微擾近似地球繞太陽運行的軌道是接近于圓形的橢圓。我們知道，對圓形軌道來講，r或為常數(shù)。由比耐公示可知，在有心力作用下，

12、對任何質點（或星體）來講，如投擲（起始）速度的方向垂直于位矢，且滿足 （3.1）的關系，則不論其半徑為何，都將作圓形軌道的運動，式中為單位質量上所受的吸引力?，F(xiàn)在我們要問，這種圓形軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的？這個問題在物理上是很重要的。因為自然界中微小擾動是經(jīng)常存在的，它將破壞不穩(wěn)定的圓形軌道，只有穩(wěn)定的圓形軌道，才有機會繼續(xù)下去。令及為某一圓形軌道的之值，顯然 （3.2）為了研究擾動，我們令，式中及其微商均認為是很小的微量，把代入比耐公示中，得+ = （3.3）即引入微擾后軌道偏差的微分方程把式（3.3）的右邊展為的冪級數(shù)，得= = = （3.4）又因為，即，則整理后為 （3.5）式中，下標0

13、表示當時所算出來的值。令，則 （3.6）取一階微擾近似決定穩(wěn)定性的方法，線性部分的特征方程 （3.7）當即時，解得為純虛數(shù)，這表明奇點為中心。所以取一階微擾近似可以得出時軌道是穩(wěn)定的。3.1.2 取二階微擾近似現(xiàn)對式（3.5）取二階微擾近似，考慮引力與距離次方成反比的情況，即，則。則式（3.3）變?yōu)?=0 （3.8）式中，3.2 有心力場中圓形軌道的穩(wěn)定性分析根據(jù)方程（3.8）進行如下兩種情況的分析討論.3.2.1 當時的穩(wěn)定性分析當時，或.方程（3.8）退化為一階微量下的方程.由第求解可知當時給出穩(wěn)定軌道，當時給出不穩(wěn)定軌道.若僅考慮在平方反比引力作用下，即，則時，微擾偏差的微分方程變?yōu)?+

14、=0 （3.9）做出此時的相圖，如圖1所示. 從相圖可以看到每條軌線都是封閉的，這表明相應的運動具有周而復始的周期性，即在平方反比引力作用下，圓形軌道具有很強的穩(wěn)定性.（圖1） 微擾相圖3.2.2 當時的穩(wěn)定性分析當時，令，式（3.8）可化為 （3.10）令，則有,代入上式，有 （3.11）其中. 對式（3.11）積分，得 （3.12）其中為積分常數(shù). 對式（3.12）分離變量，可得到通積分 （3.13）原則上通過對式（3.13）的分析可以得到軌道穩(wěn)定性條件. 考慮引力與距離次方成反比的情況，即. 令 （3.14）則由 （3.15）得的駐點為，由 （3.16）得，. （1）當2時的微擾相圖分析

15、當2時，0，0，根據(jù)極值的判定法則知在處取得極大值，在處取得極小值. 作出此時式（3.12）的相圖如圖2所示. （圖2） 的相圖圖中A點所在的臨界封閉軌道滿足，則；由得A點坐標. 可以看到，在該軌線內部的軌線是封閉的，對應穩(wěn)定軌道；而該軌線以外的軌線都是開放的，對應不穩(wěn)定軌道. 即只有當時軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到.（2） 當23時的微擾相圖分析當23時，0，0，根據(jù)極值的判定法則知在處取得極大值，在處取得極小值.作出此時式（3.12）的相圖如圖3所示 （圖3）時的相圖圖中點所在的臨界封閉軌道滿足，;由得點坐標. 可以看到，在該封閉軌線內部，軌道一直是穩(wěn)定的，而該封閉軌線以外的軌道都不再穩(wěn)定

16、. 即只有當時軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到.（3）當3時的微擾相圖分析當3時，0，0，根據(jù)極值的判定法則知在處取得極小值，在處取得極大值.作出式（3.12）的相圖如圖4所示. （圖4）的相圖圖中點所在的臨界封閉軌線滿足，則；由得點坐標. 可以看到，在該封閉軌線內部，軌道一直是穩(wěn)定的，而該封閉軌線以外的軌道都不再穩(wěn)定. 即只有當時軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到0綜合考慮時的情況，可以定量的得出微擾大小對圓形軌道穩(wěn)定性的影響. 即當 （3.19）時軌道才可能是穩(wěn)定的.根據(jù)式(3.19)可以作出微擾臨界值與圓形軌道初始半徑和n的關系大致如圖5所示,圖中上下兩曲線間的微擾值范圍即是該圓形軌道穩(wěn)定的必要條

17、件. 從圖中可以很容易的看出,當n2時,圓形軌道抗擾動能力比較強;當n背離2時,圓形軌道抗擾動能力逐漸減弱,但在n = 3時軌道穩(wěn)定性存在突變;對一定的有心力場,即n確定時,一般軌道半徑越大的圓形軌道,所能承受的微擾越小. （圖5）微擾與值關系曲線4 行星軌道的穩(wěn)定性分析行星在有心力的作用下繞太陽作穩(wěn)定的軌道運動. 所謂軌道的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)的初始條件發(fā)生微小變化或系統(tǒng)受到一個短暫擾動時,使系統(tǒng)偏離原軌道 變?yōu)閞 ,如果r 始終保持在 附近作微小振動,則這種軌道是穩(wěn)定的.也可從數(shù)學上證明行星軌道的穩(wěn)定性。接著我們將從粒子的基本運動方程出發(fā),利用非線性動力學的方法,證明行星在有心力的作用下運行軌道

18、的穩(wěn)定性.設質量為m 的粒子,在有心力場中所受的力為F = F( r) ,其中F 的大小只依賴于r ,它的方向與矢徑 的方向一致或相反. 若取平面極坐標, 粒子的運動方程為 （4.1） （4.2）其中（4.2）式可以寫為 （4.3）因粒子的質量m 為常量,故上式積分得 （4.4）式中h 為積分常數(shù). 將式(4.4) 代入式(3.1) 得 （4.5）顯然, 式(4.5) 是一個二階非線性方程. 令, 則式(4.5) 可化為 ， （4.6）若令 ，則系統(tǒng)的平衡點為 ， （4.7）所謂系統(tǒng)的平衡點是相圖上的一些特殊點, 在數(shù)學上稱為奇點. 通過對奇點性質的討論,可以了解系統(tǒng)在奇點附近相軌線的結構.

19、在平衡點,系統(tǒng)方程的雅可比矩陣是 （4.8） 式中設雅可比矩陣的本征值和本征函數(shù)分別為和，則有 （4.9） 即 （4.10）由此可解得 （4.11）根據(jù)平衡點穩(wěn)定性的定義,只有當 時,與平衡點對應的相軌道才是結構穩(wěn)定的, 對應的運動才是實際可觀測的. 結構穩(wěn)定的相空間軌道對初值和參量的擾動是不敏感的. 這樣的平衡點稱為中心點,系統(tǒng)將繞中心點作周期運動。設，由此可得 （4.12）我們考慮引力與距離的次方成反比的情況，即設 （4.13）由式（4.12）得 （4.14）在平衡點處滿足，于是得 （4.15）將（4.15）代入（4.14）得時才是穩(wěn)定的。故粒子在引力式(4.13)的作用下作軌道運動,只有當n < 3 時才是穩(wěn)定的. 這與本文第二部分的結果是一致的.萬有引力是平方反比引力( n = 2) , 因此, 行星在萬有引力作用下的軌道運動是穩(wěn)定的. 5 結 論通過上述分析討論,可得出：(1) 在引力與距離n次方成反比的有心力場中,影響圓形軌道穩(wěn)定性的因素有n、軌道初始半徑及微擾大??；(2) 當n2時,圓形軌道抗擾動能力比較強; n確定時,一般軌道半徑越大的圓形軌道,所能承受的微擾越小；(3)有心力場中行星