概率論答案詳解

1、第2章作業(yè)題解:2.1 擲一顆勻稱的骰子兩次, 以X 表示前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和, 求X 的概率分布, 并驗(yàn)證其滿足(2.2.2) 式.解：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知X的可能取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。并且，；。即 (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為試確定常數(shù).解：根據(jù)，得，即。 故 2.3 甲、乙兩人投籃時(shí), 命中率分別為0.7 和0.4 , 今甲、乙各投籃兩次, 求下列事件的概率：(1) 兩人投中的次數(shù)相同; (2)

2、 甲比乙投中的次數(shù)多.解：分別用表示甲乙第一、二次投中，則兩人兩次都未投中的概率為：，兩人各投中一次的概率為：兩人各投中兩次的概率為：。所以：（1）兩人投中次數(shù)相同的概率為(2) 甲比乙投中的次數(shù)多的概率為：2.4 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為，求 解：(1) (2) 2.5 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為，求 解： 2.6 設(shè)事件A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為0.4 , 當(dāng)A 發(fā)生3 次或3 次以上時(shí), 指示燈發(fā)出信號(hào), 求下列事件的概率：(1) 進(jìn)行4 次獨(dú)立試驗(yàn), 指示燈發(fā)出信號(hào); (2) 進(jìn)行5 次獨(dú)立試驗(yàn), 指示燈發(fā)出信號(hào).解：(1) (2) .2.7 某城市在長度為t (單位：小時(shí))

3、 的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X 服從參數(shù)為0.5t 的泊松分布, 且與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān), 求下列事件的概率：(1) 某天中午12 時(shí)至下午15 時(shí)未發(fā)生火災(zāi);(2) 某天中午12 時(shí)至下午16 時(shí)至少發(fā)生兩次火災(zāi).解：(1) ，由題意，所求事件的概率為.(2) , 由題意，所求事件的概率為.2.8 為保證設(shè)備的正常運(yùn)行, 必須配備一定數(shù)量的設(shè)備維修人員. 現(xiàn)有同類設(shè)備180 臺(tái), 且各臺(tái)設(shè)備工作相互獨(dú)立, 任一時(shí)刻發(fā)生故障的概率都是0.01，假設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障由一人進(jìn)行修理,問至少應(yīng)配備多少名修理人員, 才能保證設(shè)備發(fā)生故障后能得到及時(shí)修理的概率不小于0.99？解：設(shè)應(yīng)配備m名設(shè)備維修人員。

4、又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則。依題意，設(shè)備發(fā)生故障能及時(shí)維修的概率應(yīng)不小于0.99，即，也即因?yàn)閚=180較大，p=0.01較小，所以X近似服從參數(shù)為的泊松分布。查泊松分布表，得，當(dāng)m+1=7時(shí)上式成立，得m=6。故應(yīng)至少配備6名設(shè)備維修人員。2.9 某種元件的壽命X(單位：小時(shí)) 的概率密度函數(shù)為：求5 個(gè)元件在使用1500 小時(shí)后, 恰有2 個(gè)元件失效的概率。解：一個(gè)元件使用1500小時(shí)失效的概率為 設(shè)5個(gè)元件使用1500小時(shí)失效的元件數(shù)為Y，則。所求的概率為。2.10 設(shè)某地區(qū)每天的用電量X(單位：百萬千瓦時(shí)) 是一連續(xù)型隨機(jī)變量, 概率密度函數(shù)為：假設(shè)該地區(qū)每天的供電量僅有80萬千瓦時(shí)

5、, 求該地區(qū)每天供電量不足的概率. 若每天的供電量上升到90萬千瓦時(shí), 每天供電量不足的概率是多少?解：求每天的供電量僅有80萬千瓦時(shí), 該地區(qū)每天供電量不足的概率，只需要求出該地區(qū)用電量X超過80萬千瓦時(shí)（亦即X0.8百萬千瓦時(shí)）的概率：若每天的供電量上升到90萬千瓦時(shí), 每天供電量不足的概率為：2.11 設(shè)隨機(jī)變量求方程有實(shí)根的概率.解：方程有實(shí)根，亦即,顯然，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根；又由于所求概率為：。2.12 某型號(hào)的飛機(jī)雷達(dá)發(fā)射管的壽命X(單位：小時(shí)) 服從參數(shù)為0.005 的指數(shù)分布, 求下列事件的概率：(1) 發(fā)射管壽命不超過100 小時(shí);(2) 發(fā)射管的壽命超過300 小時(shí);(3)

6、一只發(fā)射管的壽命不超過100 小時(shí), 另一只發(fā)射管的壽命在100 至300 小時(shí)之間.解：(1) 發(fā)射管壽命不超過100 小時(shí)的概率：=0.39(2) 發(fā)射管的壽命超過300 小時(shí)的概率：(3) 一只發(fā)射管的壽命不超過100 小時(shí), 另一只發(fā)射管的壽命在100 至300 小時(shí)之間.。2.13 設(shè)每人每次打電話的時(shí)間(單位：分鐘) 服從參數(shù)為0.5 的指數(shù)分布. 求282 人次所打的電話中, 有兩次或兩次以上超過10 分鐘的概率.解：設(shè)每人每次打電話的時(shí)間為X，XE(0.5)，則一個(gè)人打電話超過10分鐘的概率為又設(shè)282人中打電話超過10分鐘的人數(shù)為Y，則。因?yàn)閚=282較大，p較小，所以Y近似

7、服從參數(shù)為的泊松分布。所求的概率為2.14 某高校女生的收縮壓X(單位：毫米汞柱) 服, 求該校某名女生：(1) 收縮壓不超過105 的概率;(2) 收縮壓在100 至120 之間的概率.解：(1)(2)。2.15 公共汽車門的高度是按成年男性與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過0.01 設(shè)計(jì)的, 設(shè)成年男性的身高X(單位：厘米) 服從正態(tài)分布N(170，), 問車門的最低高度應(yīng)為多少?解：設(shè)車門高度分別為。則：查表得，因此，由此求得車門的最低高度應(yīng)為184厘米。2.16 已知20 件同類型的產(chǎn)品中有2 件次品, 其余為正品. 今從這20 件產(chǎn)品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4

8、 次共取出次品的件數(shù), 求X 的概率分布與分布函數(shù).解：X的可能取值為0,1,2。因?yàn)椋?；所以X的分布律為X012PX的分布函數(shù)為2.17 袋中有同型號(hào)小球5 只, 編號(hào)分別為1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示取出的3只中的最小號(hào)碼, 求隨機(jī)變量X 的概率分布和分布函數(shù).解：X的可能取值為1,2,3。因?yàn)椋?；所以X的分布律為X123P0.60.30.1X的分布函數(shù)為2.18 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為： 求（1），（2）求的概率密度函數(shù)。解：(1) (2) 2.19 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為： （1）求常數(shù)（2）求的概率密度函數(shù)。（3）求解：(1)由及

9、，得，故a=1,b=-1.(2) (3) 。2.20設(shè)隨機(jī)變量X 的概率分布為：X00.30.20.40.1解：(1) Y的可能取值為0, 2, 42。因?yàn)椋?；所以Y的分布律為Y0242P0.20.70.1(2) Y的可能取值為-1,1。因?yàn)?；所以Y的分布律為Y-11P0.70.32.21 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為（1）求的概率分布； （2）求的概率分布。解：(1) X的可能取值為F(x)的分界點(diǎn)，即-1,1,2。因?yàn)?；所以X的分布律為X-112P0.30.50.2(2) Y的可能取值為1,2。因?yàn)?；所以Y的分布律為Y12P0.80.22.22 設(shè)隨機(jī)變量，求下列隨機(jī)變量概率密度函數(shù)：

10、（1） （2）； (3).解：(1) 已知因?yàn)榍髮?dǎo)得 所以Y參數(shù)分別為-1, 22服從正態(tài)分布。(2) 已知因?yàn)榍髮?dǎo)得 (3) 已知求導(dǎo)得 2.23解：(1)已知求導(dǎo)得 因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，；當(dāng)y取其他值時(shí)。所以 為所求的密度函數(shù)。二、第二章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存

11、在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1° 。2° 。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1° ；2° 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；3° ， ；4° ，即是右連續(xù)的；5° 。對(duì)于

12、離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)

13、隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即 axb 其他，則稱隨機(jī)變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為  axb 0， x<a，   1， x>b。 當(dāng)ax1<x2b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 , 0, ,   其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x<0。    記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關(guān)于對(duì)稱的；2° 當(dāng)時(shí)，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分