正弦定理1教學(xué)設(shè)計(jì)

1、正弦定理(1) 教學(xué)設(shè)計(jì)【教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第一章第一節(jié) 【課時(shí)安排】第1課時(shí)【教學(xué)對象】 高一（下）學(xué)生【教材分析】正弦定理揭示了三角形的邊與角的數(shù)量關(guān)系，是計(jì)算斜三角形邊長或角度的重要工具之一。達(dá)到定理的言語連鎖水平并進(jìn)行簡單應(yīng)用并不難，但為了讓學(xué)生掌握定理探索的一般思路和定理的本質(zhì)，本節(jié)課的教學(xué)定位是：既教定理的理解運(yùn)用，又教定理發(fā)現(xiàn)的探索思路；既強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)該定理涉及的數(shù)學(xué)思想方法，又滲透定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)美?！緦W(xué)情分析】認(rèn)知基礎(chǔ)：已學(xué)過“大邊對大角，小邊對小角”的定性描述，具有尋找定量結(jié)論的心理期望； 已學(xué)過銳角三角函數(shù)及解直角三角形，利于接受由特殊到一般的過渡； 任意角的三角函數(shù)

2、、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式為定理的證明和應(yīng)用打下了基礎(chǔ)；認(rèn)知障礙：猜想的證明； 定理證明思路的切入點(diǎn)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能了解正弦定理的應(yīng)用背景，探索與證明正弦定理；理解正弦定理的“結(jié)構(gòu)不變性”和表達(dá)這一不變性的“字母可變性”。了解解三角形的概念，初步學(xué)會(huì)“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其他”和 “已知兩邊及其中一邊對角求其他”的問題。過程與方法經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并證明正弦定理的過程，領(lǐng)悟定理發(fā)現(xiàn)的探索思路，學(xué)習(xí)由特殊到一般 的思維方式；通過嘗試定理的證明，領(lǐng)悟分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度價(jià)值觀感受正弦定理的統(tǒng)一美、對稱美、簡潔美；體會(huì)正弦定理的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，形成崇尚數(shù)學(xué)的

3、精神?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及理解【教學(xué)難點(diǎn)】正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學(xué)關(guān)鍵】探索時(shí)由特殊延伸到一般尋找三角形的邊角數(shù)量關(guān)系；證明時(shí)將一般情形化歸為已得證的特殊情形考慮。【教學(xué)方法】以問題驅(qū)動(dòng)法為主 【教學(xué)手段】板書、計(jì)算機(jī)、PPT、幾何畫板設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生置于天文學(xué)應(yīng)用背景中，由“大邊對大角，小邊對小角”的定性結(jié)論已無法滿足量化需求來創(chuàng)設(shè)障礙，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)新知的動(dòng)力,亦反映了生活問題數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展軌跡?！窘虒W(xué)流程】背景引入設(shè)置障礙牛刀小試新知探究猜想證明設(shè)計(jì)意圖：從特殊入手，通過引導(dǎo)學(xué)生對“過去的經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行聯(lián)系整合發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦公式，從而搭建思維階梯，使學(xué)生能

4、順階而上，逐步擊破。設(shè)計(jì)意圖：通過解決開頭實(shí)際背景中的地月距離問題，利于學(xué)生初步體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，亦符合學(xué)生期望；再根據(jù)桑代克的練習(xí)律與效果律設(shè)計(jì)練習(xí)，初步嘗試定理的簡單應(yīng)用，達(dá)到鞏固新知的目的。應(yīng)用定理反饋鞏固設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)意在讓學(xué)生理清定理探索的一般思路及探索過程涉及到的思維方式、數(shù)學(xué)思想方法，并上升到理解定理本質(zhì)的層次；作業(yè)意在讓學(xué)生鞏固提高，拓寬思維和知識(shí)面，了解正弦定理更完整的結(jié)論。課堂小結(jié)布置作業(yè)牛刀小試【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】（一）背景引入，設(shè)置障礙 （1）趣味引入：u 問題1：月亮離地球有多遠(yuǎn)？由2015年12月初的“嫦娥四號(hào)將實(shí)現(xiàn)世界首次月球背面軟著陸”的新聞，以及嫦娥奔

5、月、“嫦娥一號(hào)”等探月的圖片吸引學(xué)生注意力，提出問題1，激發(fā)好奇心；并引出法國天文學(xué)家拉朗德和其學(xué)生拉卡伊在17世紀(jì)中下旬首次計(jì)算出了地月距離的背景：選取了幾乎位于同一子午線的柏林和好望角A、B和月球上的一地點(diǎn)C，當(dāng)時(shí)的技術(shù)手段只能測出AB兩地間的直線距離和A、B的大小，但他們使用了一個(gè)十分便捷的運(yùn)算工具，就分別把地球上這兩個(gè)地點(diǎn)到月球的距離求出來了。揭示本節(jié)課的任務(wù)就是要挖掘出這個(gè)“便捷的工具”。設(shè)計(jì)意圖：選取“計(jì)算地月距離”的天文學(xué)應(yīng)用背景引入，不僅因?yàn)楫?dāng)時(shí)兩位天文學(xué)家正是利用正弦定理代入數(shù)據(jù)求解的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的密切聯(lián)系；而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知以便解決這個(gè)看似困難的問題的內(nèi)部動(dòng)機(jī)

6、和興趣，讓學(xué)生初步感知新知所蘊(yùn)含的強(qiáng)大應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，還可引出探索三角形邊角關(guān)系的環(huán)節(jié)。但由于本課時(shí)定理的應(yīng)用不是重點(diǎn)，具體數(shù)據(jù)較復(fù)雜，故暫不提供數(shù)據(jù)，只在環(huán)節(jié)三讓學(xué)生們自行理清求解思路。（2）抽象問題：已知三角形中的兩個(gè)角（A、B）和一條邊（AB的長），求另外兩條邊（AC、BC的長）。 （3）創(chuàng)設(shè)障礙：已學(xué)過的“大邊對大角，小邊對小角”的三角形邊角關(guān)系已經(jīng)無法滿足具體量化需求，故引導(dǎo)學(xué)生由定性結(jié)論過渡到尋找定量結(jié)論，提出任務(wù)一：尋找三角形中的邊角數(shù)量關(guān)系。（二）新知探究，猜想證明 （1）特殊入手：讓學(xué)生回憶舊知中能描述直角三角形中邊角數(shù)量關(guān)系的定義或性質(zhì)。u 問題2：直角三角形中存在什么

7、邊角數(shù)量關(guān)系？【學(xué)情預(yù)設(shè)】生1：直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半。生2：三角函數(shù)。 （2）找直角三角形的邊角數(shù)量關(guān)系：出示RtABC，由學(xué)生上個(gè)問題的回答引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)RtABC中有等邊角數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)而先研究三角形中與正弦有關(guān)的邊角數(shù)量關(guān)系?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】生： （3）找直角三角形中邊角數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生得出sinC=1，尋找能夠溝通的中間量、共同的量，進(jìn)而表示出c，并將角C統(tǒng)一進(jìn)來，發(fā)現(xiàn)在RtABC中，有這一美妙的邊角數(shù)量關(guān)系；帶領(lǐng)學(xué)生共同感受所得關(guān)系的簡潔、對稱、統(tǒng)一之美。設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，便于學(xué)生完成對新知識(shí)的遷移

8、。而帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美是一項(xiàng)潛移默化的長期任務(wù)，應(yīng)借此培養(yǎng)他們主動(dòng)感受和挖掘更多數(shù)學(xué)美的習(xí)慣，并鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維、從而引入下一環(huán)節(jié)。 （4）推廣結(jié)論，實(shí)驗(yàn)探索：u 問題3：一般三角形中是否存在類似的美妙關(guān)系？ 將研究對象由特殊延伸到一般、由直角三角形推廣至一般三角形，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察幾何畫板所展示的任意構(gòu)造的形狀大小不一的銳角或鈍角三角形所對應(yīng)的每組比值的特點(diǎn)。 發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)：在許多銳角或鈍角三角形中三個(gè)比值都相等，似乎都存在著一致的邊角數(shù)量關(guān)系：，即各邊邊長與所對角的正弦之比相等。設(shè)計(jì)意圖：由三角形有成千上萬來初步凸現(xiàn)分類討論的必要性；并利用幾何畫板展示素材的直觀性、任意性、可測性等優(yōu)點(diǎn)，通過直

9、觀的“形變神不變”和分情況演示證實(shí)關(guān)系可能在一般三角形中成立，從而加強(qiáng)學(xué)生的猜想。 （5）提出猜想：在任意ABC中，是成立的。u 問題4：你能否根據(jù)演示結(jié)果大膽地作出合情的猜想？ （6）尋找證明思路：要確認(rèn)結(jié)論是否成立單靠猜想還不夠，應(yīng)該證明。u 問題5：如何證明？如何將銳角和鈍角三角形跟直角三角形聯(lián)系起來？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面的思路進(jìn)行探討：一開始從特殊的直角三角形入手，很容易地表示出了三角形的邊與對應(yīng)角的正弦的數(shù)量關(guān)系，并證明了等式在直角三角形中成立，要是銳角和鈍角三角形能跟直角三角形扯上關(guān)系，問題應(yīng)該就簡單一點(diǎn)。進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化歸結(jié)為考慮直角三角形的邊角數(shù)量關(guān)系。滲透化歸的數(shù)學(xué)思想。【學(xué)情預(yù)

10、設(shè)】作高。（提示：通過作高將銳角和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為考慮直角三角形，參考直角三角形的證明思路）設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能否準(zhǔn)確地判斷出需要“作高”，是衡量其能否將一般情形轉(zhuǎn)化為前面已得證的特殊情形的關(guān)鍵，亦可讓學(xué)生親自理解這一證明思路的切入點(diǎn)。（7）分組探究，證明猜想：1、2組嘗試銳角三角形的證明，3、4組嘗試鈍角三角形的證明，帶著提供的思考問題和提示，共同探討并證明銳角和鈍角三角形的情況。滲透分類討論的思想。 PPT出示探究任務(wù)和思考問題：作高后如何將高與三角形的邊和角聯(lián)系起來？需要作多少條高便可證明出結(jié)論？（教師巡視，必要時(shí)給予啟發(fā)指導(dǎo)，尋找能夠證明出來的同學(xué)，請兩位同學(xué)分別代表小組分享證明思路，由學(xué)

11、生展示證明情況，由教師詳細(xì)板演，強(qiáng)調(diào)思路的關(guān)鍵點(diǎn)）【學(xué)情預(yù)設(shè)】生1：在銳角ABC中，過A做BC邊上的高AD，則在RtADC中，有（），在RtADB中，有（），聯(lián)系兩式消去AD易得（教師強(qiáng)調(diào)是在直角三角形中，體現(xiàn)由一般轉(zhuǎn)化為特殊）過C做AB邊上的高CE，同理可證（或過B作AC邊上的高BF。在RtBFC中；在RtBFA中，兩式聯(lián)立變形得） 生2：在鈍角ABC中，過A作BC邊上的高AD,得到兩個(gè)直角三角形，有，兩式聯(lián)立變形得；過B作AC邊上的高BE，在RtAEB中，在RtBEC中，；兩式聯(lián)立變形得。（或過C作AB邊上的高CF。在RtBFC中；在RtAFC中，兩式聯(lián)立變形得）設(shè)計(jì)意圖：選用等高法，是由

12、于本節(jié)課是從直角三角形入手的，只要通過作高就可以把銳角或鈍角三角形和直角三角形聯(lián)系起來，因此，對于猜想的證明，該法應(yīng)該是學(xué)生從認(rèn)知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法，符合學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)展。分組讓學(xué)生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況，可提高學(xué)生課堂的參與度，確保學(xué)生的主體地位。由于此方法與教科書所涉及的方法大同小異，是面向全體學(xué)生的證明過程，且為了讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)證明的邏輯演繹過程，采用學(xué)生表述、教師板演，以更好地讓大多數(shù)學(xué)生理解掌握。l （8）得到定理:說明定理揭示了三角形中所蘊(yùn)含的十分巧妙的邊角數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生再次共同感受定理的數(shù)學(xué)美：如此獨(dú)特的美妙關(guān)系，也只有我們數(shù)學(xué)語言能如此簡練地描述

13、出來。（三）應(yīng)用定理，反饋鞏固（1）了解應(yīng)用：u 問題6：正弦定理能解決哪些數(shù)學(xué)問題？ 舉兩個(gè)簡單例子啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“知三求一”的特點(diǎn)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，便可初步得出定理的應(yīng)用范圍：（1）已知三角形兩個(gè)角和一條邊，求其它邊和角；（2）已知三角形兩條邊和其中一邊的對角，求其它邊和角。（2） 實(shí)際應(yīng)用：u 問題7：你能用正弦定理得到地月距離的求解思路了嗎？ 回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問題，教師與學(xué)生共同探討解題思路，尋找隱含條件，在定理表達(dá)式中標(biāo)記出已知條件和隱含條件，直觀體現(xiàn)“知三求一”：由三角形內(nèi)角和定理可求角C；由正弦定理可表示出AC、BC?！窘鉀Q思路】在ABC中，已知A和B的大小、AB的長，

14、 則由三角形內(nèi)角和定理可得C=180°-A-B， 故由正弦定理得，即，.只要代入具體數(shù)據(jù)，地月距離便迎刃而解，至于具體數(shù)據(jù)是多少、怎么測的，鼓勵(lì)學(xué)生課后上網(wǎng)查找資料拓展知識(shí)面。該距離問題的求解過程就是正弦定理的應(yīng)用；一個(gè)簡單的定理居然會(huì)在天文學(xué)中會(huì)被用到，其實(shí)它在許多領(lǐng)域測量距離或高度的問題中也很有幫助，下節(jié)課就可以見分曉。這節(jié)課先試著解決簡單的純數(shù)學(xué)問題。 （3）了解解三角形的概念：把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形。（4）練習(xí)解三角形：（學(xué)生先練習(xí)，后講解，檢驗(yàn)是否符合“大邊對大角”）根據(jù)已知條件求三

15、角形的其他邊和角。 在ABC中，已知A=60°，B=45°，c=20cm； 在ABC中，已知a=15cm，b=10cm，B=30°.【學(xué)情預(yù)設(shè)】， 由正弦定理得， 故，。 由正弦定理得，故,故，從而有，。設(shè)計(jì)意圖：由于本節(jié)課只是正弦定理的第一課時(shí)，定理的應(yīng)用還不是重點(diǎn)，所以該環(huán)節(jié)不做過多復(fù)雜的實(shí)際計(jì)算，只是讓學(xué)生解決開頭實(shí)際背景中的地月距離問題，既體現(xiàn)問題設(shè)置的有效性，又符合學(xué)生運(yùn)用新知解決問題的心理期望。由學(xué)生運(yùn)用所學(xué)新知識(shí)表述思路、解決問題，初步體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值，并簡單引入其他領(lǐng)域的應(yīng)用，為下節(jié)課的開展設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；而兩道帶有簡單數(shù)據(jù)的純數(shù)學(xué)解三角

16、形問題則可讓學(xué)生初步嘗試正弦定理的兩類簡單應(yīng)用。（四）課堂小結(jié)和作業(yè)布置（1）課堂小結(jié)：借助流程圖與學(xué)生共同總結(jié)梳理本節(jié)課的定理發(fā)現(xiàn)思路：為了探究三角形的邊角數(shù)量關(guān)系，從特殊的直角三角形入手，經(jīng)歷觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明得到正弦定理應(yīng)用定理；并引導(dǎo)學(xué)生上升到理解定理本質(zhì)的層次，即理解其“結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性”。同時(shí)揭示本節(jié)課涉及的特殊到一般的發(fā)現(xiàn)思路、分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想。并留下懸念：正弦定理還有更令人驚嘆的結(jié)論！即它的比值是一個(gè)可以由三角形自身確定的常量，是什么呢？結(jié)合課后題就會(huì)有重大發(fā)現(xiàn)。設(shè)計(jì)意圖：借助框圖梳理思路，包括定理的發(fā)現(xiàn)與探索過程、定理的證明、涉及的數(shù)學(xué)思想方法等，并讓學(xué)生掌握

17、定理學(xué)習(xí)的本質(zhì)，潛移默化地讓學(xué)生感受到有時(shí)過程比結(jié)果更重要。（2）作業(yè)布置：必做：習(xí)題1.1之A組第1、2題； 完成鈍角三角形中的正弦定理的證明過程； 平面向量是溝通角度和長度的重要工具，請嘗試平面向量的相關(guān)知識(shí)證明定理。思考：任意ABC中定理表達(dá)式的值會(huì)等于什么？結(jié)合習(xí)題1.1之B組第1題。設(shè)計(jì)意圖：必做作業(yè)是定理的簡單應(yīng)用，學(xué)生可能會(huì)碰到有兩解的問題，且在這一點(diǎn)上容易出錯(cuò)，為下節(jié)課學(xué)習(xí)定理應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)作鋪墊。而讓學(xué)生嘗試運(yùn)用平面向量再次證明定理，既可鞏固學(xué)生對平面向量的理解，又可拓寬學(xué)生的證明思路。思考作業(yè)是對定理比值問題的發(fā)現(xiàn)與解決，可讓學(xué)生進(jìn)一步了解正弦定理的完美，發(fā)現(xiàn)任意三角形與其外接圓直徑的數(shù)量關(guān)系?！景鍟O(shè)計(jì)】附： 本教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處 以7個(gè)問題為線索，問題驅(qū)動(dòng)，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入。讓學(xué)生通過經(jīng)歷定理探索的一般思路，學(xué)的不僅僅是正弦定理一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是日后學(xué)習(xí)千千萬萬個(gè)定理的一般思維方式，達(dá)到知一曉三，亦能提升“做數(shù)學(xué)”的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性。 讓學(xué)生了解正弦定理的真實(shí)應(yīng)用背景，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化