考研高等數(shù)學部分綜合競賽試題

1、考研高等數(shù)學部分綜合競賽試題時間：240分 滿分：250分一、 選擇題（每題2分，共32分）1、設，則當時，是的 高階無窮小 低階無窮小 同階但不等價的無窮小 等價無窮小2、 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內有界 3、 曲線的漸近線有 4、設函數(shù)區(qū)間上連續(xù)，且,則方程，在開區(qū)間內的根有 5、設函數(shù)在區(qū)間內有定義，若當時，恒有，則必是的 間斷點 連續(xù)而不可導的點 可導的點，且 可導的點，且6、已知函數(shù)對一切非零滿足 （ ）（A）是的極大值（B）是的極小值（C）是曲線的拐點（D）不是的極值，但也不是曲線的拐點7、設函數(shù)連續(xù)，則在下列變上限的定積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是 8、下列廣義積分中發(fā)散的是 9、設

2、函數(shù)，其中函數(shù)具有二階導數(shù)，具有一階導數(shù)，則必有 10、設函數(shù)連續(xù)，則二次積分 11、設函數(shù)連續(xù)，區(qū)域，則 12、設區(qū)域，為上的正值連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)，則 13、設數(shù)列單調遞減，無界，則冪級數(shù)的收斂域為 （ ） 14、已知為常數(shù)，則 （ ） 15、設有兩個數(shù)列，若，則 （ ）（A）當收斂時，收斂. （B）當發(fā)散時，發(fā)散. （C）當收斂時，收斂.（D）當發(fā)散時，發(fā)散.16、設隨機變量與相互獨立，且是區(qū)間是的均勻分布，的概率分布為，記為隨機變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點個數(shù)為（ ） 二、填空題（每空1分，共49分）17、設在處連續(xù)，則；18、函數(shù)在區(qū)間內的間斷點為；其各個間斷點的類型為 ；19、設，

3、則（1）；（2）；20、函數(shù)在處的階導數(shù)；21、已知是周期為的連續(xù)函數(shù)，它在的某個領域內滿足關系式，其中是當時比高階的無窮小，且在處可導，則曲線在點處的切線方程是；22、設，則；23、設函數(shù)由方程所確定，則曲線在點處的法線方程為 ；24、曲線在處的曲率半徑25、設函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線向上凸的的取值范圍為；26、函數(shù)在區(qū)間上的平均值為；27、 ；28、設則函數(shù)的表達式是；29、設直線與拋物線所圍成圖形的面積為，它們與直線所圍成的圖形的面積為，并且，（1）若要使達到最小，則；其最小值為；（2）該最小值所對應的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為；30、設函數(shù)連續(xù)，且，已知，則；31、（1）

4、；（2）；32、設是區(qū)間上的單調、可導函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，則 ；33、已知，則；34、設有連續(xù)一階偏導數(shù)，又函數(shù)及分別由和兩式確定，則；35、已知，則；36、設，其中具有連續(xù)二階偏導數(shù)，則；37、設橢圓上存在一點，且該點到直線的距離最短，則該點的坐標為；38、已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且，其中，則二重積分39、已知是由直線及圍成的平面區(qū)域，則二重積分40、設二元函數(shù)，則二重積分41、已知，則二重積分42、設則的形心坐標；43、已知曲線，則；44、已知為正常數(shù)，為從點沿曲線到點的弧，則；45、已知是以點為中心，為半徑的圓周，取逆時針方向，則曲線積分46、已知存在一常數(shù)，使在右半平面上

5、的向量為某二元函數(shù)的梯度，則 ； ；47、設L是柱面方程為與平面的交線，從z軸正向往z軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分；48、設為橢球面的上半部分，點，為在點處的切平面，為點到平面的距離，則；49、設是錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側，則；50、設是錐面的下側，則；51、設對于半空間內任意的光滑有向封閉曲面，都有，其中函數(shù)在內具有連續(xù)的一階導數(shù)，且，則；52、設，則；53、冪級數(shù)的和函數(shù) ；且的極大值為54、從點作軸的垂線，交拋物線于點；再從作這條拋物線的切線與軸交于，然后又從作軸的垂線，交拋物線于點，依次重復上述過程得到一系列的點則（1）；（2）級數(shù)的和為；55、設則；56、

6、從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度（從海平面算起）與下沉速度之間的函數(shù)關系。設儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛垂下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設儀器的質量為，體積為，海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為，則與之間的函數(shù)關系是 ； 57、設二維隨機變量的密度函數(shù)為，則二次曲面為橢球面的概率為。三、 計算題（每題10分，共90分）58、作半徑為的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積最小，并求出該最小值。59、曲線與直線及圍成一曲邊梯形。該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體，其體積為，側面積為，在處的底面積為。（1）求的值；（2）計

7、算極限。60、求二元函數(shù)在由直線、軸和軸所圍成的閉區(qū)域上的極值、最大值與最小值。61、設為橢球面上的動點，若在點處的切平面與面垂直，求點的軌跡；并計算曲線積分，其中是橢球面位于曲線上方的部分。62、計算曲面積分，其中是曲面的外側。63、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。64、將展成的冪級數(shù)。65、設是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任一點處的曲率為，且此曲線上點處的切線方程為，求該曲線的方程，并求函數(shù)的極值。66、在坐標平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）（1）求的方程；（2）當與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值。四、證明題（每題10分，共20分）67、（1）證明：對任意正整數(shù)，都有成立，（2）設，證明數(shù)列收斂。68、證明：當時，。五、解答題（每題11分，共11分）69、將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求級數(shù)的和。六、論述題（每題12分，共48分）70、設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且，若極限存在，證明： （1）在內； （2）在內存在，使； （3）在內存在與（2）中相異的點，使71、設函數(shù)連續(xù)且恒大于零，其中。（1） 討論在區(qū)間內的單調性。（2） 證明：當時，。72、設函數(shù)在內具有二階導數(shù)，且，是的反函數(shù)。（1）試將