羅爾定理的研究及推廣論文

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題 目 羅爾定理應(yīng)用和推廣研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級 2009級 學(xué) 號 222009314012019 姓 名 鄭世鳳 指 導(dǎo) 教 師 杜文久 成 績 中 2013年 5月 12日目錄1 羅爾定理的基本性質(zhì)及應(yīng)用21.1 羅爾(Rolle)中值定理21.2幾何意義21.3 羅爾定理證明31.4 在簡單函數(shù)中討論羅爾定理條件41.5 利用羅爾定理證明Lagrange、Cauchy中值定理51.6 利用羅爾定理解決零點問題72 關(guān)于羅爾定理的進一步討論112.1 多元函數(shù)的的羅爾中值定理112.2 任意區(qū)間和端點值上的羅爾定理122.4 廣義

2、羅爾在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用16結(jié)語18參考文獻：19致謝19羅爾定理應(yīng)用和推廣研究鄭世鳳數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715摘要：本論文探討了羅爾定理的基本性質(zhì)，并應(yīng)用羅爾定理解決實際問題。同時近一步討論羅爾定理，將其推廣到更廣泛的適用范圍，并證明其可行性，最后運用推廣的羅爾定理解決問題。關(guān)鍵詞：羅爾定理；性質(zhì)；應(yīng)用；廣義羅爾定理；Rolle theorem and its application researchShifengZhengSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, Chin

3、aAbstract: This paper discusses the basic properties of Rolle's theorem,then use Rolle's theorem to solve practical problems and applications. Rolle's theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using

4、the promotion of Rolle's theorem to solve the problem.Keywords: Rolle's theorem; Properties; Applications; Generalized rolle's theorem;引言 微分中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在許多方面它都有重要的作用，在進行一些公式推導(dǎo)與定理證明中都有很多應(yīng)用。如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是起這種作用的。三大微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中

5、值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。 爾定理是微分中值定理中的基礎(chǔ)定理，以羅爾定理為基礎(chǔ)可推導(dǎo)拉格朗日中值定理及柯西中值定理。羅爾定理本身不僅僅局限于討論有限區(qū)間，在給出其他更弱條件下，我們將羅爾定理推廣到更廣泛的適應(yīng)范圍，幫助我們在中學(xué)微分學(xué)教學(xué)中理解和解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題。1 羅爾定理的基本性質(zhì)及應(yīng)用1.1 羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)滿足如下條件:在閉區(qū)間上連續(xù);在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);,則內(nèi)至少存在一點,使得.1.2幾何意義在上連續(xù)表明曲線連同端點在內(nèi)是無

6、縫隙的;在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)表明曲線在每一點處有切線存在;表明曲線的割線直線平行于軸.羅爾定理的結(jié)論的直觀意義是:在內(nèi)至少能找到一點,.表明曲線上至少有一點的切線斜率為,也就平行于軸符合羅爾定理條件的曲線至少有一條水平切線.圖1 1.3 羅爾定理證明方法一:根據(jù)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),由極值定理得在上有最大值和最小值.如果,此時在上恒為常數(shù),結(jié)論顯然成立.如果,由條件知,兩個數(shù)中至少有一個不等于端點的函數(shù)值，不妨設(shè),證法類似,那么必定在開區(qū)間內(nèi)有一點使.因此,有,由費馬引理可知.方法二:由于在處最大,故不論是正或負,總有,因此，當時,故由極限的保號性有而當時，.故.綜上所述及存在知，必有 證明完畢

7、.1.4 在簡單函數(shù)中討論羅爾定理條件了解了羅爾中值定理，我們便可以合理利用它的判定條件快速的判別一些中學(xué)遇到的簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點問題。但是要滿足羅爾定理，羅爾定理的三個條件缺一不可。例1.1 解:由題知:在上不連續(xù);在內(nèi)可導(dǎo); 不存在，使得.中不滿足羅爾定理在閉區(qū)間連續(xù)的條件，其結(jié)果也不服從羅爾定理。例1.2 解:由題知:(1);(2)在上不可導(dǎo);(3),則不存在,使得.題中不滿足羅爾定理的條件(2),其結(jié)果也不服從羅爾定理. 例1.3 .解:由題知:(1);(2);(3), 則不存在,使得.為此題中不滿足羅爾定理的條件(3),其結(jié)果也不服從羅爾定理. 面的例子說明如果函數(shù)要滿足羅爾定理,那

8、么它們需要滿足羅爾中值定理的三個條件,但在一些特殊情況下,羅爾定理的條件之一不滿足其結(jié)論仍然成立.(1)在x=0處不可導(dǎo).(2)在端點處的函數(shù)值不相等.(3) 在閉區(qū)間上不連續(xù).雖然三個函數(shù)都不完全滿足羅爾定理的三個條件，但其結(jié)果滿足羅爾定理的結(jié)果1.5 利用羅爾定理證明Lagrange、Cauchy中值定理中值定理:若函數(shù)滿足如下條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);則在內(nèi)至少存在一點,使得.證明:做輔助函數(shù).顯然,且在上滿足羅爾定理的另兩個條件.故存在,使 證畢完畢.柯西中值定理:設(shè)函數(shù)和滿足 在上連續(xù);在內(nèi)都可導(dǎo);和不同時為零;,則存在,使得.證明:作輔助函數(shù),易見在上滿足羅

9、爾定理條件,故存在,使得,因為,所以,證明完畢.1.6 利用羅爾定理解決零點問題零點問題就是指零點的存在性、唯一性和零點的個數(shù)問題，這一問題可以采用高等數(shù)學(xué)中的零點定理、費馬定理、拉格朗日中值定理以及羅爾定理，不同的方法有不同的解題思路，現(xiàn)在我們著重討論羅爾定理。羅爾定理在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用十分廣泛，它能夠很好地解決函數(shù)零點的存在性、唯一性和零點個數(shù)等問題。下面我們舉例看一看怎樣運用羅爾定理解決零點問題。例1.4 不求導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個零點及這些零點所在的范圍.解: 因為,所以在閉區(qū)間、上滿足羅爾定理的三個條件，從而，在內(nèi)至少存在一點,使,即是的一個零點；又在內(nèi)至少存在一點,使,即也

10、是的一個零點,又因為為二次多項式,最多只能有兩個零點,故恰好有兩個零分別在區(qū)間和內(nèi).例1.5 求證:方程的根不超過三個(不記根的重數(shù)).證明:令在連續(xù)可導(dǎo);至少有四個不等的根,不妨設(shè),則分別在上.用羅爾定理得在內(nèi)至少有三個不等根,而在,上連續(xù)可導(dǎo),分別在,上用羅爾定理,得至少有兩個不等根,與題設(shè)矛盾,故的根不超過三個,即原方程的根不超過三個.證明完畢.例1.6 設(shè)在上連續(xù),在可導(dǎo),且,求證在內(nèi)至少存在一點,使.證明:令,則在上連續(xù),在可導(dǎo),且因為,所以, ,即在上滿足羅爾定理的條件,則至少存在使.而即在內(nèi)至少存在一點,使.例1.7 討論方程討論方程的零點個數(shù).解: 設(shè)函數(shù),顯然在定義域內(nèi)是連續(xù)

11、函數(shù).分別令得,所以在區(qū)間內(nèi)個至少有一個零點,即方程至少有三個實根.令,這個函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)遞增.又，,所以在有唯一的零點,所以有羅爾定理可知在至多有兩個零點.同理可知在至多三個零點.綜上所述,原方程在恰好有三個零點.例1.8 已知函數(shù)在上二階可微,則在內(nèi)只有一個實根.證明: 首先證明存在性.過定點做曲線的切線：,則切線與軸的交點,由，顯然有.若存在使得,則由羅定理可知，存在使得這與矛盾,所以只有一個點,使得.證明完畢.由上面這些例子可以看出,羅爾定理在討論一般方程和導(dǎo)數(shù)方程上都是很有用的,合理運用羅爾定理的條件進行判定篩選,即可判斷或證明方程根的存在性，即零點的存在性,個數(shù)和唯一性。2

12、 關(guān)于羅爾定理的進一步討論羅爾定理是微分學(xué)中的重要定理,它不僅溝通函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系,還是微積分學(xué)中許多定理的基礎(chǔ),對羅爾定理進行深入系統(tǒng)的探討和研究,在多元函數(shù)中的性質(zhì)和給出在更弱條件下的各種區(qū)間類型（包括有限區(qū)間和無限區(qū)間）的羅爾定理的推廣形式2.1 多元函數(shù)的的羅爾中值定理二元函數(shù)的羅爾中值定理:設(shè)二元函數(shù)(1)在有界閉區(qū)域連續(xù);(2)在的每一點存在偏導(dǎo);(3)當時，,則至少存在一點,使,其中,分別表示的內(nèi)部和邊界,常數(shù).證明:根據(jù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，在區(qū)域上必有最大值和最小值.(1)若則當時,于是，對內(nèi)任意一點,都有,及結(jié)論成立.(2)若,則最大值與最小值至少有一個不在上取到

13、，即與有一個與不相等.不妨設(shè),則內(nèi)必有一點,使.下證,在該點處,函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)為零.因,故一元函數(shù)在內(nèi)點取得最大值,據(jù)費馬定理知,同理可證,.于是，定理得證.證明完畢.二元函數(shù)的羅爾定理的幾何意義是:如果曲線在平面上，則在曲面上必有一點,使在該點的切平面平行于平面.其中.2.2 任意區(qū)間和端點值上的羅爾定理在函數(shù)中是用羅爾定理，其必須滿足的條件是相當苛刻的，我們希望能夠得到一個更為寬泛的結(jié)論，因此有必要對其條件進行放寬，放寬條件后的羅爾定理不妨將其稱之為廣義羅爾定理。定理2.1 設(shè)函數(shù)滿足條件:(1)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(2) 則至少存在一點,使得.證明:不妨設(shè),做輔助函數(shù).則在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)

14、可導(dǎo),且,故由羅爾中值定理知,在內(nèi)至少存在一點,使得.證明完畢.定理2.2 設(shè)函數(shù)滿足條件:(1)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(2)則至少存在一點,使得.證明:在內(nèi)任取一點,使.令顯然,當時,;時,且函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)所以復(fù)合函數(shù)在可導(dǎo).又因為,由條件(2),有,所以,函數(shù)在內(nèi),滿足2.2.1的條件.于是,存在,使得,即.由于,當時,所以,必有,令,即此.證明完畢.定理2.3 函數(shù)滿足條件:在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);,則至少存在一點,使得.證明類似定理2.2,固從略.定理2.4 設(shè)函數(shù)滿足條件:在開區(qū)間內(nèi)科導(dǎo);,則至少存在一點,使得.證明:令,顯然,當時,;當時,且函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),又由于函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，固有復(fù)合函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo).

15、且有,.由條件(2)得,則函數(shù)在上滿足2.2.1的條件.所以,至少存在一點,使得.即，,因為當時,所以.令,即得.證明完畢.2.4 廣義羅爾在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例2.1 求證函數(shù)在內(nèi)至少存在一點,使得.證明:由于在內(nèi)可導(dǎo),且,由定理2.2.2得,在內(nèi)至少存在一點,使得,.事實上，.證明完畢.例2.2 求證函數(shù)在內(nèi)至少存在一點,使得.證明:由于在內(nèi)可導(dǎo),且,由定理2.3得，在內(nèi)至少存在一點,使得.事實上，.證明完畢.例2.3 求證函數(shù)在內(nèi)至少存在一點,使得.證明:因為在內(nèi)可導(dǎo),且,由定理2.1得,內(nèi)至少存在一點,使得.事實上,.證明完畢.結(jié)語羅爾定理是一個基于費馬定理的微分學(xué)基本定理。由羅爾定理可

16、導(dǎo)出著名的拉格朗日中值定理、柯西中值定理.本文將羅爾定理推廣到任意區(qū)間及端值上 ,并利用羅爾定理的推廣形式解決我們在高中數(shù)學(xué)中遇到的導(dǎo)數(shù)難題。羅爾定理作為數(shù)學(xué)分析基本理論中的重要內(nèi)容，它起著奠基、核心的作用。理解羅爾定理的條件，結(jié)論和幾何意義，結(jié)合對羅爾定理的具體應(yīng)用，反復(fù)體會其在大學(xué)以及高中微積分課程中的重要地位和作用，從而達到準確理解并應(yīng)用的目的。在掌握這一定理的條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，提出一系列更具拓展和創(chuàng)新的問題，從而達到深化理解、積極思考的創(chuàng)新的目的。參考文獻：1 北京大學(xué).數(shù)學(xué)分析M.北京：人民教育出版社，1961.2 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，1983.3 菲

17、赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程M.北京：人民教育出版社，1956.4 廣西民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），Dec.2002:23-255 郭玉立.微分中值定理的幾種新證明6 盛云秋 上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報 1992 第4期 - 維普資訊網(wǎng) 7 吳從炘 高等數(shù)學(xué)研究 2004 第5期 - 維普資訊網(wǎng)8 王子興.數(shù)學(xué)方法論-問題解決的理論M.長沙：中南大學(xué)出版社，2002.9 吳炯圻，林培榮.數(shù)學(xué)思想方法M. 北京：高等教育出版社，2005.致謝：衷心感謝帶本次畢業(yè)設(shè)計的周老師，這次的畢業(yè)設(shè)計是在杜老師的悉心指導(dǎo)下完成的，從論文的選題、開題報告，論文初稿到最終論文的完成，各方面都離不開杜老師的熱情耐心的幫助和指導(dǎo)。在這幾個月的學(xué)習(xí)中，周老師認真嚴謹?shù)墓ぷ鲬B(tài)度和誠信寬厚的處事態(tài)度，都給我留下了難以磨滅的印象，也為今后走向工作崗位樹立了榜樣。大學(xué)的學(xué)習(xí)生涯即將結(jié)束了，回顧這過去的幾年，充滿了歡笑與艱辛，這段記憶也將在我的人生中留下重重的一筆。在這短短