等差數列典型例題及詳細解答

1、1等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母_d_表示2等差數列的通項公式如果等差數列an的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是ana1(n1)d.3等差中項如果A，那么A叫做a與b的等差中項4等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數列，公差為d，則a2n也是等差數列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數列，則panqbn也是等差數列(5)若an是等差數

2、列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數列5等差數列的前n項和公式設等差數列an的公差為d，其前n項和Sn或Snna1d.6等差數列的前n項和公式與函數的關系Snn2n.數列an是等差數列SnAn2Bn(A、B為常數)7等差數列的前n項和的最值在等差數列an中，a1>0，d<0，則Sn存在最_大_值；若a1<0，d>0，則Sn存在最_小_值【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)若一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列(×)(2)數列an為等差數列的充要條件是

3、對任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差數列an的單調性是由公差d決定的()(4)數列an為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(×)(5)數列an滿足an1ann，則數列an是等差數列(×)(6)已知數列an的通項公式是anpnq(其中p，q為常數)，則數列an一定是等差數列()1(2015·重慶)在等差數列an中，若a24，a42，則a6等于()A1 B0 C1 D6答案B解析由等差數列的性質，得a62a4a22×240，選B.2(2014·福建)等差數列an的前n項和為Sn，若a12，S312，則a6等于()A8 B1

4、0 C12 D14答案C解析由題意知a12，由S33a1×d12，解得d2，所以a6a15d25×212，故選C.3在等差數列an中，已知a4a816，則該數列前11項和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4設數列an是等差數列，若a3a4a512，則a1a2a7等于()A14 B21 C28 D35答案C解析a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.5(2014·北京)若等差數列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當n_時，an的前n項和最大答案8解析因為數列an是等差數列，且a7a8a93a8

5、0，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故當n8時，其前n項和最大題型一等差數列基本量的運算例1(1)在數列an中，若a12，且對任意的nN*有2an112an，則數列an前10項的和為()A2 B10 C. D.(2)已知在等差數列an中，a27，a415，則前10項和S10等于()A100 B210C380 D400答案(1)C(2)B解析(1)由2an112an得an1an，所以數列an是首項為2，公差為的等差數列，所以S1010×(2)×.(2)因為a27，a415，所以d4，a13，故S1010×3×10×9×4

6、210.思維升華(1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解(2)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了方程的思想(1)(2015·課標全國)設Sn是等差數列an的前n項和，若a1a3a53，則S5等于()A5 B7 C9 D11(2)已知等差數列an的前n項和為Sn，且滿足1，則數列an的公差是()A. B1 C2 D3答案(1)A(2)C解析(1)an為等差數列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，S55a35.故選A.(2)Sn，又1，得1，

7、即a3a22，數列an的公差為2.題型二等差數列的判定與證明例2已知數列an中，a1，an2(n2，nN*)，數列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數列bn是等差數列；(2)求數列an中的最大項和最小項，并說明理由(1)證明因為an2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以數列bn是以為首項，1為公差的等差數列(2)解由(1)知bnn，則an11.設f(x)1，則f(x)在區(qū)間(，)和(，)上為減函數所以當n3時，an取得最小值1，當n4時，an取得最大值3.引申探究例2中，若條件變?yōu)閍1，nan1(n1)ann(n1)，探求數列an的通項公式解由已知可得1，即1，又a

8、1，是以為首項，1為公差的等差數列，(n1)·1n，ann2n.思維升華等差數列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整數n都有an1an等于同一個常數(2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an1anan2后，可遞推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根據定義得出數列an為等差數列(3)通項公式法：得出anpnq后，得an1anp對任意正整數n恒成立，根據定義判定數列an為等差數列(4)前n項和公式法：得出SnAn2Bn后，根據Sn，an的關系，得出an，再使用定義法證明數列an為等差數列(1)若an是公差為1的等差數列，則a2n12a2n是()A公差為3

9、的等差數列 B公差為4的等差數列C公差為6的等差數列 D公差為9的等差數列(2)在數列an中，若a11，a2，(nN*)，則該數列的通項為()Aan BanCan Dan答案(1)C(2)A解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)22×26，a2n12a2n是公差為6的等差數列(2)由已知式可得，知是首項為1，公差為211的等差數列，所以n，即an.題型三等差數列的性質及應用命題點1等差數列的性質例3(1)(2015·廣東)在等差數列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.(2)已知等差數列an的前n項和為Sn，且S

10、1010，S2030，則S30_.答案(1)10(2)60解析(1)因為an是等差數列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)S10，S20S10，S30S20成等差數列，且S1010，S2030，S20S1020，S3030102×1030，S3060.命題點2等差數列前n項和的最值例4在等差數列an中，已知a120，前n項和為Sn，且S10S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值解a120，S10S15，10×20d15×20d，d.方法一由an20(n1)×n.得a1

11、30.即當n12時，an0，當n14時，an0.當n12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S12S1312×20×130.方法二Sn20n·n2n2.nN*，當n12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法三由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當n12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.引申探究例4中，若條件“a120”改為a120，其他條件不變，求當n取何值時，Sn取得最小值，并求出最小值解由S10S15，得a11a12a13a14a150，a130.又a120，a12<0，a14

12、>0，當n12或13時，Sn取得最小值，最小值S12S13130.思維升華(1)等差數列的性質：項的性質：在等差數列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數列的公差和的性質：在等差數列an中，Sn為其前n項和，則aS2nn(a1a2n)n(anan1)；bS2n1(2n1)an.(2)求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法：函數法：利用等差數列前n項和的函數表達式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解鄰項變號法：a當a10，d0時，滿足的項數m使得Sn取得最大值Sm；b當a10，d0時，滿足的項數m使得Sn取

13、得最小值Sm.(1)等差數列an的前n項和為Sn，已知a5a74，a6a82，則當Sn取最大值時，n的值是()A5 B6 C7 D8(2)設數列an是公差d0的等差數列，Sn為前n項和，若S65a110d，則Sn取最大值時，n的值為()A5 B6C5或6 D11(3)已知等差數列an的首項a120，公差d2，則前n項和Sn的最大值為_答案(1)B(2)C(3)110解析(1)依題意得2a64,2a72，a620，a710；又數列an是等差數列，因此在該數列中，前6項均為正數，自第7項起以后各項均為負數，于是當Sn取最大值時，n6，選B.(2)由題意得S66a115d5a110d，所以a60，故

14、當n5或6時，Sn最大，選C.(3)因為等差數列an的首項a120，公差d2，代入求和公式得，Snna1d20n×2n221n22，又因為nN*，所以n10或n11時，Sn取得最大值，最大值為110.6等差數列的前n項和及其最值典例(1)在等差數列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，則此數列前10項的和S10等于()A45 B60C75 D90(2)在等差數列an中，S10100，S10010，則S110_.(3)等差數列an中，已知a5>0，a4a7<0，則an的前n項和Sn的最大值為()AS4 BS5 CS6 DS7思維點撥(1)求等差數列前n項和，可以通過

15、求解基本量a1，d，代入前n項和公式計算，也可以利用等差數列的性質：a1ana2an1；(2)求等差數列前n項和的最值，可以將Sn化為關于n的二次函數，求二次函數的最值，也可以觀察等差數列的符號變化趨勢，找最后的非負項或非正項解析(1)由題意得a3a89，所以S1045.(2)方法一設數列an的公差為d，首項為a1，則解得所以S110110a1d110.方法二因為S100S1090，所以a11a1002，所以S110110.(3)因為所以所以Sn的最大值為S5.答案(1)A(2)110(3)B溫馨提醒(1)利用函數思想求等差數列前n項和Sn的最值時，要注意到nN*；(2)利用等差數列的性質求S

16、n，突出了整體思想，減少了運算量方法與技巧1在解有關等差數列的基本量問題時，可通過列關于a1，d的方程組進行求解2證明等差數列要用定義；另外還可以用等差中項法，通項公式法，前n項和公式法判定一個數列是否為等差數列3等差數列性質靈活使用，可以大大減少運算量4在遇到三個數成等差數列問題時，可設三個數為(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可視具體情況而定失誤與防范1當公差d0時，等差數列的通項公式是n的一次函數，當公差d0時，an為常數2公差不為0的等差數列的前n項和公式是n的二次函數，且常數項為0.若某數列的前n項和公式是常數項不為0的二次函數，則該數列不是等

17、差數列，它從第二項起成等差數列A組專項基礎訓練(時間：35分鐘)1設等差數列an的前n項和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析由an是等差數列，得S3，S6S3，S9S6為等差數列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故選B.2(2015·北京)設an是等差數列，下列結論中正確的是()A若a1a20，則a2a30B若a1a30，則a1a20C若0a1a2，則a2D若a10，則(a2a1)(a2a3)0答案C解析設等差數列an的公差為d，若a1a2>0，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正負

18、不確定，因而a2a3符號不確定，故選項A錯；若a1a3<0，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正負不確定，因而a1a2符號不確定，故選項B錯；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，所以aa1a3(a1d)2a1(a12d)d2>0，所以a2>，故選項C正確；若a1<0，則(a2a1)·(a2a3)d·(d)d20，故選項D錯3設等差數列an的前n項和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m等于()A3 B4C5 D6答案C解析數列an為等差數列，且前n項和為Sn，數列也為等差數列，即0

19、，解得m5，經檢驗為原方程的解，故選C.4數列an的首項為3，bn為等差數列，且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8等于()A0 B3C8 D11答案B解析設bn的公差為d，b10b37d12(2)14，d2.b32，b1b32d246.b1b2b77b1d7×(6)21×20.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830，a83.故選B.5已知數列an滿足an1an，且a15，設an的前n項和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號n的值為()A7 B8C7或8 D8或9答案C解析由題意可知數列an是首項為5，公差為的等差數列，所以an5

20、(n1)，該數列前7項是正數項，第8項是0，從第9項開始是負數項，所以Sn取得最大值時，n7或8，故選C.6已知數列an中，a11且(nN*)，則a10_.答案解析由已知得(101)×134，故a10.7已知遞增的等差數列an滿足a11，a3a4，則an_.答案2n1解析設等差數列的公差為d，a3a4，12d(1d)24，解得d24，即d±2.由于該數列為遞增數列，故d2.an1(n1)×22n1.8設數列an的通項公式為an2n10(nN*)，則|a1|a2|a15|_.答案130解析由an2n10(nN*)知an是以8為首項，2為公差的等差數列，又由an2n1

21、00得n5，n5時，an0，當n5時，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9若數列an的前n項和為Sn，且滿足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求證：成等差數列；(2)求數列an的通項公式(1)證明當n2時，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首項為2，公差為2的等差數列(2)解由(1)可得2n，Sn.當n2時，anSnSn1.當n1時，a1不適合上式故an10等差數列an中，設Sn為其前n項和，且a10，S3S11，則當n為多少時，Sn最大？解方法一由S3S11得3a1d11a1d，則da1.從而Snn2n(n7)2a1，又a10，所以0.故當n7時，Sn最大方法二由于Snan2bn是關于n的二次函數，由S3S11，可知Snan2bn的圖象關于n7對稱由方法一可知a0，故當n7時，Sn最大方法三由方法一可知，da1.要使Sn最大，則有即解得6.5n7.5，故當n7時，Sn最大方法四由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以當n7時，Sn最大B組專項能力提升(時間：20分鐘)11設Sn為等差數列an的前n項和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，則()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn