論全等三角形判定與性質(zhì)及其技巧

1、論全等三角形判定與性質(zhì)及其技巧袁崧浩三角形是平面幾何中最重要也是最基礎(chǔ)的圖形之一，大部分的平面幾何都建立在三角形的基礎(chǔ)上，本文將論述全等三角形的基礎(chǔ)及其拓展。一、 全等三角形的判定公理1、 邊邊邊（SSS）三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2、 邊角邊（SAS）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等3、 角邊角（ASA）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等4、 角角邊（AAS）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等5、 斜邊、直角邊（HL）直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等二、 全等三角形的性質(zhì) 1全等三角形的對應(yīng)角相等。 2全等三角形的對應(yīng)邊相等。 3

2、全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。 4全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。 5全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。 6全等三角形面積相等。 7全等三角形周長相等。三、 全等三角形題型的解題技巧1、 制造全等三角形在一些題目中，你需要通過全等來解題但是在圖形中找不到全等三角形，這時(shí)就需要通過輔助線來制造全等三角形以解題，可利用等角和等邊來作輔助線，一下介紹兩種比較經(jīng)典的方法：（1） 倍長中線法：延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形,例題如下:如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，求證:2AD<AB+AC證明：延長AD至E，使

3、DE=AD，連結(jié)CE易證三角形ADBEDCAB=CE在三角形ACE中，2AD<AC+CE（三角形兩邊之和大于第三邊）故證畢（2） 角平分線作垂線：利用定理（角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等）來在角平分線上的特定點(diǎn)做邊的垂線，以構(gòu)造全等三角形。定理證明：證明：OP是MON的平分線，過P做PAOM與A，PBON于BOP平分MONMOP=NOP即AOP=BOPPAOM，PBONPAO=PBO=90°AOPBOPPA=PB故證畢（逆定理證明類似）例題如下：如圖，在ABC中，C=90°，AD平分CAB，BC=8，BD=5，DEAB，求DE解：BC=8，BD=5CD=3 DEAB2

4、、 特殊三角形的性質(zhì)與判定 等腰三角形：（1） 等腰三角形三線合一 等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線相互重合。 （在三角形中，只要有兩條線重合，那這個(gè)三角形一定是腰三角形） 三線合一的證明： 如圖，已知AB=AC，D為BC中點(diǎn)，求證：AD平分BAC，ADBC 證明： ABC為等腰三角形 AB=AC B=C AD為中線 BD=DC 易證ADBADC（SAS) 可得BAD=CAD，ADB=ADC ADB+ADC=BDC，且BDC=180度 ADB=ADC=90°故證畢 反之可證有兩條線重合的三角形是等腰三角形，由三線合一亦可得垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩邊的距離相等（2） 等腰

5、三角形底角相等（3） 兩條邊或兩個(gè)角相等的三角形為等腰三角形等邊三角形：（4） 等邊三角形三邊相等且三個(gè)角皆為60°（5） 含60°角的等腰三角形為等邊三角形（6） 三邊相等的三角形為等邊三角形解題技巧：利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)來解題，例題如下：如圖，直角三角形ABC中，BAC=90°，AC=AB，DAC=DCA=15°，求證，求證：AB=DB證明：以AD為邊，向右作等邊三角形ADE，連結(jié)EB 則易證AEBADC 則AEB=ADC=150° DEB=150° 易證AEBDEB 故證畢技巧，截長補(bǔ)短：當(dāng)遇到兩條不在一條直線上的線

6、段而要求讓這兩條線段長度和與另一個(gè)長度進(jìn)行對比時(shí)，需要用到截長補(bǔ)短的技巧：延長短的線段或切分長的線段，例題如下：1、 補(bǔ)短 如圖，已知ABC中，AD平分BAC，AMCM，AD=AB，求證2AM=AB+AC證明：延長AM至N使MN=AM，連接CNAMCMCM是AN的垂直平分線AC=CNCAM=NBAM=CAMBAM=NAB/CNB=NCDAB=ADB=ADBCDN=ADBNCD=CDNDN=CN=ACAN=2AM=AD+DN2AM=AB+AC2、 截長C=90°，AC=BC，AD是BAC的角平分線，求證AC+DC=AB證明：在AB上取點(diǎn)E，使AE=AC，連結(jié)DE 則易證AEDACD C

7、=90°，AC=BC ABD=45°，EDC=135° ABD=EDB EB=ED 故證畢 直角三角形（1） 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證明如下：已知2+3=90°，AD為BC邊上的中線，求證AD=BD=CD證明：延長AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE則易證ABEBACAE=BC又D為BC中點(diǎn)，D為AE中點(diǎn)故證畢例題如下：如圖，在ABC中，ADBC，E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，且DE=DF，求證AB=AC證明：ADBC DE=DF=CF=AF=AE=EB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 故證畢（2） 直角三角形中，30°角所對

8、的邊是斜邊的一半，證明如下：ABC，C=90°，B=30°，求證：2AC=AB證明：取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CDA=60°，且AD=CD=BD（斜邊中線定理）ACD為等邊三角形AC=AD=DB故證畢例題如下： 如圖，在ABC中，B=90°，AD平分BAC，DEAC且平分ADC，求證2BD=CD 證明： B=90°，且AED=90°，且AD平分BAC 易證ABDAED 又DE平分ADC 易證ADECDE且ADB=ADE=EDC=60°AB=2BD=CD故證畢（3） 勾股定理：設(shè)直角三角形三邊長為a、b、c，斜邊長c，則 a²+b²=c²，證明如下：如圖，四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形，設(shè)AD=c，AE=a，DE=b，求證a²+b²=c²證明：易證AEDBHACGBDFCEFGH和ABCD均為正方形AD=CD=CB=AB=c，EF=FG=HG=EH=a-b，AE=BH=GC=FD=a，ED=AH=BG=CF=b2b+(a-b)²=c²即a²