解一元二次方程-教學設(shè)計

1、解一元二次方程 教學設(shè)計教學設(shè)計思想解一元二次方程有四種方法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，這四種方法各有千秋。為保證學生掌握基本的運算技能，教學中進行了一定量的訓練，但要避免學生簡單的模仿。我們在探究一元二次方程解法的過程中，要加強思想方法的滲透，發(fā)展學生的思維能力。在解一元二次方程的幾種方法中，均需要用到轉(zhuǎn)化的思想方法。如配方法需要將方程轉(zhuǎn)化為能直接開平方的形式，公式法能根據(jù)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，所有這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。在教學時老師引導學生在主動進行觀察、思考核探究的基礎(chǔ)上，體會數(shù)學思想方法在其中的作用，充分發(fā)展學生的思維能力。教學目標知識與技能：1會用配方法

2、、公式法、因式分解法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2能夠根據(jù)一元二次方程的特點，靈活選用解方程的方法，體會解決問題策略的多樣性。過程與方法：1參與對一元二次方程解法的探索，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，對結(jié)果比較、驗證、歸納、理清幾種解法之間的關(guān)系，并能根據(jù)方程的特點靈活選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?在探究一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學思想。情感態(tài)度價值觀：在解一元二次方程的實踐中，交流、總結(jié)經(jīng)驗和規(guī)律，體驗數(shù)學活動樂趣。教學重難點重點：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟，并熟練運用上述方法解題。難點：根據(jù)方程的特點靈活選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?。教學方法探索發(fā)現(xiàn)，講練結(jié)合

3、教學媒體多媒體課時安排4課時教學過程設(shè)計第一課時一、復習引入：1一元二次方程的一般形式是什么？其中a應具備什么條件？2是一元二次方程嗎？其中二次項的系數(shù)，一次項的系數(shù)，常數(shù)項各是什么？（是。二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是4）3解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=9學生依次回答上述問題。師總結(jié)強調(diào)：（1）象這種通過直接開平方求得x的值的方法，實際上就是求x2=a（a0）這種特殊形式的一元二次方程的解方法。（2）對于形如“(x+a) 2=b (b0)”型的方程，只要把x+a看作一個整體，就可以轉(zhuǎn)化為x 2=b (b0)型的方法去解決，這里滲透了“換元”的方法。（3）在對方程(x

4、+3) 2=9兩邊同時開平方后，原方程就轉(zhuǎn)化為兩個一次方程。要向?qū)W生指出，這種變形實質(zhì)上是將原方程“降次”?！敖荡巍币彩且环N數(shù)學方法二、試著做做1如果（x+2）2=9，那么x=_。2如果（x-3）2=7，那么x=_。3完全平方公式是什么？4如果x2+2x+1=4，那么x=_。學生獨立求解5對于x2+2x-3=0這樣的方程，該怎樣求解呢？能否經(jīng)過適當變形，將方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式，然后應用直接開平法求解呢？你能總結(jié)出你解這個方程的步驟嗎？學生活動：小組討論，利用完全平方公式及上述提示尋求解法，將x2+2x-3=0變形為x2+2x+1=4，即（x+1）2=4 。并總

5、結(jié)出解方程x2+2x-3=0的一種方法：三、做一做把下列方程化為（x+ m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式，并求出它們的解。（1）x2+2x=48；（2）x2-4x=12；（3）x2-6x+6=0；（4）。學生活動：初步體驗用配方法解一元二次方程 的步驟。例1 解方程 x2-10x-11=0該例題師生共同完成，學生通過此題明白每步變形的依據(jù)和目的。然后師生一起總結(jié)：通過配方，把方程的一邊化為完全平方式，另一邊化為非負數(shù)，然后利用開平方的方法求出一元二次方程的根，這種方法叫做解一元二次方程的配方法。四、練習：1配方：填上適當?shù)臄?shù)，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x21

6、2x+=(x )2（3）x2+8x+=(x+ )22解方程：課本P34 練習五、小結(jié)這節(jié)課你的收獲是什么？六、作業(yè)課本P34 1，2，3七、板書設(shè)計解一元二次方程配方法x2=a（a0） 試著做做 做一做 例1 練習直接開平方法x2+bx+c=0配方法第二課時一、復習引入上節(jié)課我們學習了解一元二次方程的什么方法？解下列方程：（1）x2-6x+4= 0 （2）x2+4x-16= 0今天我們一起來學習方程的二次項系數(shù)不是1的一元二次方程。二、做一做解方程3x2-32x-48= 0師：引導學生觀察，此方程和上節(jié)課方程進行比較有什么不同，能否轉(zhuǎn)化成二次項系數(shù)為1的形式。學生獨立思考，積極探究，解答題目。

7、解：略。見課本P35師：請同學們總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？學生小組討論，相互交流自己的想法。利用配方法解一元二次方程，其一般步驟為：A先把方程整理為一般形式B用二次項系數(shù)去除方程兩邊，把二次項系數(shù)化為1C把常數(shù)項移到方程的右邊（移項）D方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程化為（的形式（配方）E利用直接開方法求得方程的解（當右邊是負數(shù)時，方程無解）三、練一練解下列方程（1）x2-4x=12； （2）3x2+2x-5=0；（3）2y2+y-6=0； （4）2x2+5x+1=0四、實際應用例3 有一張長方形桌子，它的長為2m，寬為1m。有一塊長方形臺布，它的面積是桌面面積的2

8、倍，將臺布鋪在桌面上時，各邊垂下的長相等。求這塊臺布的長和寬（均精確到0.01m）。小組討論：（1）題目中有哪些等量關(guān)系？（2）如何設(shè)未知數(shù)？根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù)列出一元二次方程，并解答。（3）算出的x值都可取么？為什么老師引導學生注意驗證方程的解的合理性，并對學習困難的學生給予及時的點撥和引導。通過此題我們發(fā)現(xiàn)在解決實際問題時，設(shè)未知數(shù)要靈活選擇，同時注意檢驗方程的解是否符合題意，從而確定實際問題的答案。五、小結(jié)1配方法的基本步驟。2配方法是一種重要的數(shù)學方法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，在今后學習二次函數(shù)，到高中學習二次曲線時，還將經(jīng)常用到。3在解決實際問題時，要注意檢驗方

9、程的解是否符合題意。六、作業(yè)課本P37 1，2五、板書設(shè)計配方法（2）配方法的一般步驟 例2 例3 練習第三課時一、導入新課：1配方法的步驟是什么？學生回答：（1）將方程二次項系數(shù)化成1；（2）移項；（3）配方；（4）化為（x+m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式；（5）用直接開平方法求得方程的解。2用配方法解方程：2x2+7x=4解：系數(shù)化成1，得：x2+配方，得： （x+開平方，得： 學生活動：用配方法解一元二次方程。師：直接開平方法解一元二次方程有一定的局限性，必須符合直接開平方的條件才能利用直接開平方法；配方法雖然對任意一個一元一次方程都適用，但每做一題都要配方一次，顯得比較麻煩，所

10、以我們就產(chǎn)生了推導一個公式來求一元二次方程的解的想法。 二、一起探究用配方法解方程：ax2+bx+c=0(a學生活動：自主探究，按照配方法的步驟逐步求解。解：系數(shù)化成1，（兩邊同除以a）得： 移項（把常數(shù)項移到方程右邊），得： 配方（兩邊同時加上），得： 化為（x+m）2=n（m，n是常數(shù)，n0）的形式，得： 師：接著讓學生討論：此時可以用開平方法求解嗎？讓學生充分發(fā)表意見后，教師指出：因為，所以，當時，可以用開平方法得再讓學生討論嗎？(學生討論，教師講解：,但因為式子前面已有符號“±”，所以無論還是，最終結(jié)果總是)所以 ，這樣我們就得到了一元二次方程 ()的求根公式：用求根公式解一

11、元二次方程的方法叫做公式法。說明：(1)用公式法解一元二次方程，實際上就是給出、的數(shù)值，然后求代數(shù)式： 進行求值的運算。由于這樣的計算較復雜，所以要提醒學生計算時注意、的符號，講究計算的正確性。(2)在運用求根公式求解時，應先計算的值；當0時，可以用公式求出兩個不相等的實數(shù)根；當<0時，方程沒有實數(shù)根。三、知識應用例 解方程4x2+x-3=0解： 這里 a=4，b=1，c=-3 b2-4ac=12-4×4×（-3）=49>0, 即 說明：師生共同完成，教師規(guī)范格式并強調(diào)注意事項。注意:(1) 如果方程不是一般形式，要化為一般形式后，再確定a，b，c的值(2)對a

12、，b，c的值，要注意其正負符號，如此題中c=-3四、課堂訓練：P38 練習題（1）-（4）。找四名同學上黑板做。五、小結(jié)1本節(jié)課我們推導出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式，即求根公式的推導，實際上是“配方”與“開平方”的綜合運用，對于，0，以及由，知等條件在推導過程中的應用，亦要弄懂其道理。2應用求根公式解一元二次方程，通常應把方程寫成一般形式，并寫成、的數(shù)值以及計算的值，當熟練掌握求根公式后，可以簡化求解過程。六、作業(yè)：課本習題P38 1，2七、板書設(shè)計解一元二次方程公式法練習： 推導公式： 例 練習- - - - - - - - - - - - -第四課時一、復習引入1

13、一元二次方程的解法，已經(jīng)學過了哪幾種？(直接開平方法，配方法，求根公式法)2對于方程x2-9=0，上述三種解法是不是都可用？哪一種解法比較簡便？(直接開平方法)從上面的例子可見，同一個題目可以用多種方法來解，我們應該“因題而宜”，選取一種較好的解法，方法越多，我們選取的可能性就越大.今天我們再學一種方法，叫做一元二次方程的因式分解法二、一起探究我們以方程x2-9=0為例，這個方程的右邊是0，左邊可以分解成兩個一次因式的乘積即 (x+3)(x-3)=0我們知道a·b=0a=0或b=0。語言表述：如果兩個因式的積等于零，那么這兩個因式至少有一個等于零反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的

14、積也就等于零提問： 1什么叫方程的根？(使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值)2觀察什么數(shù)是方程的根？即什么數(shù)使方程的左邊乘積為零？(使x+3等于0或使x-3等于0).注意用或字，意思是兩個因式中有一個等于0就可使乘積為0，不必要兩個因式同時為0.因此我們可以得到x=-3或x=3，即x1=-3，x2=-3像這樣，把一元二次方程的一邊劃為0，另一邊分解成兩個一次因式的乘積，進而轉(zhuǎn)化為求兩個一元一次方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解。三、做一做用因式分解法解下列方程：學生獨立運用因式分解法完成求解過程，老師對學生困難的學生給與幫助。例 用因式分解法解下列方程：(1) 3(x-1)2=2(x-

15、1); (2) (x+5)2=49.分析：這兩個方程有什么特點？（可以把x-1和x+5分別看作整體）解：（1）原方程可化為 3(x-1)2-2(x-1)=0（x-1)（3x-5）=0得 x-1=0，或3x-5=0所以（2）原方程可化為(x+5)2-72=0(x+12)(x-2)=0.得 x+12=0,或x-2=0所以 四、大家談談1因式分解適當解什么樣的一元二次方程？2解一元二次方程的方法有哪幾種？根據(jù)你學習的體會，談談通常你是如何選擇解法的。學生小組交流。結(jié)論：（1）對于一元二次方程的一般形式，當方程左邊無常數(shù)項、一次項系數(shù)為0或是完全平方式時，方程均可使用因式分解法求解。（2）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法因式分解法對解某些一元二次方程是最簡單的方法在解一元二次方程時，應據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當?shù)姆椒ㄈソ猓?）直接開平方法與因式分解法中都蘊含著由二次方程向一次方程轉(zhuǎn)化的思想方法由高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化是解高次方程的思想方法請你用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1) (x+2)2=2x+4; (2) (3x+1)2-4=0;(3) 3x-2=9x2-4; (4) 4x2-12x+5=0.五、練習：課本P