運動路徑參考答案

1、運動路徑一填空題（共6小題）1（2010南京）如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG（1）設(shè)AE=x時，EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長考點：正方形的性質(zhì)；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）E、A重合時，三角形EFG的底和高都等于正方形的邊長，由此可得到其面積；E、A不重合時；易證得AEMFDM，則EM=

2、FM，由勾股定理易求得EM的長，即可得出EF的長；下面求MG的長，過M作MNBC于N，則AB=MN=2AM，由于AME和NMG同為EMN的余角，由此可證得AEMNGM，根據(jù)相似三角形得到的關(guān)于AM、MN、EM、MG的比例關(guān)系式，即可求得MG的表達(dá)式，進(jìn)而可由三角形的面積公式求出y、x的函數(shù)關(guān)系式；（2）可分別作出E、A重合和E、B重合時P點的位置（即P為A與E重合時得到的對應(yīng)點，P為E與B重合時的對應(yīng)點），此時可發(fā)現(xiàn)PP正好是EGG的中位線，則P點運動的距離為GG的一半；RtBMG中，MGBG，易證得MBG=GMG，根據(jù)MBG的正切值即可得到GG、GM（即正方形的邊長）的比例關(guān)系，由此得解解答

3、：解：（1）當(dāng)點E與點A重合時，x=0，y=×2×2=2當(dāng)點E與點A不重合時，0x2在正方形ABCD中，A=ADC=90°MDF=90°，A=MDF在AME和DMF中，AMEDMF（ASA）ME=MF在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=EF=2ME=2過M作MNBC，垂足為N（如圖）則MNG=90°，AMN=90°，MN=AB=AD=2AMAME+EMN=90°EMG=90°GMN+EMN=90°AME=GMNRtAMERtNMG=，即=MG=2ME=2y=EF×MG=×2

4、15;2=2x2+2y=2x2+2，其中0x2；（2）如圖，PP即為P點運動的距離；在RtBMG中，MGBG；MBG=GMG=90°BMG；tanMBG=2，tanGMG=tanMBG=2；GG=2MG=4；MGG中，P、P分別是MG、MG的中點，PP是MGG的中位線；PP=GG=2；即：點P運動路線的長為2點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識；綜合性強(qiáng)，難度較大2（2012福州）如圖1，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向

5、點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PDBC，交AB于點D，連接PQ分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=82t，PD=t（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)綜合題；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）根據(jù)題意得：CQ=2

6、t，PA=t，由RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，PDBC，即可得tanA=，則可求得QB與PD的值；（2）易得APDACB，即可求得AD與BD的長，由BQDP，可得當(dāng)BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DPBD，可判定PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）設(shè)E是AC的中點，連接ME當(dāng)t=4時，點Q與點B重合，運動停止設(shè)此時PQ的中點為F，連接EF，由PMNPQC利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案解答：解：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，P

7、A=t，QB=82t，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，PDBC，APD=90°，tanA=，PD=t故答案為：（1）82t，t（2）不存在在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，AB=10PDBC，APDACB，即，AD=t，BD=ABAD=10t，BQDP，當(dāng)BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即82t=，解得：t=當(dāng)t=時，PD=，BD=10×=6，DPBD，PDBQ不能為菱形設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度，則BQ=8vt，PD=t，BD=10t，要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，當(dāng)PD=BD時，即t=10t

8、，解得：t=當(dāng)PD=BQ，t=時，即=8，解得：v=當(dāng)點Q的速度為每秒個單位長度時，經(jīng)過秒，四邊形PDBQ是菱形（3）如圖2，以C為原點，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系依題意，可知0t4，當(dāng)t=0時，點M1的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)t=4時點M2的坐標(biāo)為（1，4）設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b，解得，直線M1M2的解析式為y=2x+6點Q（0，2t），P（6t，0）在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標(biāo)（，t）把x=代入y=2x+6得y=2×+6=t，點M3在直線M1M2上過點M2作M2Nx軸于點N，則M2N=4，M1N=2M1M2=2線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為2單位

9、長度點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)的應(yīng)用此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3（2010桂林）如圖：已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊AEP和等邊PFB，連接EF，設(shè)EF的中點為G；當(dāng)點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是3考點：梯形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：動點型分析：分別延長AE、BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN再求出CD的

10、長，運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可解答：解：如圖，分別延長AE、BF交于點HA=FPB=60°，AHPF，B=EPA=60°，BHPE，四邊形EPFH為平行四邊形，EF與HP互相平分G為EF的中點，G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MNCD=1022=6，MN=3，即G的移動路徑長為3點評：本題考查了等腰三角形及中位線的性質(zhì)，以及動點問題，是中考的熱點4（2013桂林）如圖，已知線段AB=10，AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，設(shè)正方形對角線的交點分

11、別為O1、O2，當(dāng)點P從點C運動到點D時，線段O1O2中點G的運動路徑的長是3考點：正方形的性質(zhì)；軌跡菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進(jìn)而得出線段O1O2中點G的運動路徑的長解答：解：如圖所示：當(dāng)P移動到C點以及D點時，得出G點移動路線是直線，利用正方形的性質(zhì)即線段O1O2中點G的運動路徑的長就是O2O的長，線段AB=10，AC=BD=2，當(dāng)P與C重合時，以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，AP=2，BP=8，則O1P=，O2P=4，O2P=O2B=4，當(dāng)P與D重合，則PB=2，則AP=8，OP=4，OP=，HO=BO=，

12、O2O=4=3故答案為：3點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出G點移動的路線是解題關(guān)鍵5（2014義烏市）等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點P（1）若AE=CF；求證：AF=BE，并求APB的度數(shù)；若AE=2，試求APAF的值；（2）若AF=BE，當(dāng)點E從點A運動到點C時，試求點P經(jīng)過的路徑長考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；壓軸題；動點型分析：（1）證明ABECAF，借用外角即可以得到答案；利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形

13、相似定理求得的比值，即可以得到答案（2）當(dāng)點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案點F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度；解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，AB=AC，C=CAB=60°，又AE=CF，在ABE和CAF中，ABECAF（SAS），AF=BE，ABE=CAF又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60°APB=180°APE=120°C=APE=60°，PAE=CAF

14、，APEACF，即，所以APAF=12 （2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況當(dāng)AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時ABP為等腰三角形，且ABP=BAP=30°，AOB=120°，又AB=6，OA=，點P的路徑是當(dāng)AE=BF時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度；因為等邊三角形ABC的邊長為6，所以點P的路徑為：所以，點P經(jīng)過的路徑長為或3點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運用6（2014連云港）某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動

15、點問題進(jìn)行探究，已知AB=8問題思考：如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF（1）當(dāng)點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當(dāng)點P運動時，在APK、ADK、DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由問題拓展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8若點P從點A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長（4）如圖3，在“問題思考

16、”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值考點：四邊形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）設(shè)AP=x，則PB=8x，根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個正方形面積之和=x2+（8x）2，配方得到2（x4）2+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解（2）根據(jù)PEBF求得PK=，進(jìn)而求得DK=PDPK=a=，然后根據(jù)面積公式即可求得（3）本問涉及點的運動軌跡PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示；（4）本問涉及點

17、的運動軌跡GH中點O的運動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖41所示；然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值，如答圖42所示解答：解：（1）當(dāng)點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值設(shè)AP=x，則PB=8x，根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=x2+（8x）2=2x216x+64=2（x4）2+32，所以當(dāng)x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32（2）存在兩個面積始終相等的三角形，它們是APK與DFK依題意畫出圖形，如答圖2所示設(shè)AP=a，則PB=BF=8aPEBF，即，PK=，DK=PDPK=a=，SAPK=PKPA=a=，SDFK=DKEF=（8a）=，SAPK

18、=SDFK（3）當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點D運動時，不妨設(shè)點Q在DA邊上，若點P在點A，點Q在點D，此時PQ的中點O即為DA邊的中點；若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A此時在RtAPQ中，O為PQ的中點，所以AO=PQ=4所以點O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：所以PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為：×2×4=6（4）點O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為如答圖41，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形點O為中點，OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS為定值點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上MN=6，點P在線段