灰色模型介紹及應(yīng)用

1、第十章 灰色模型介紹及應(yīng)用 （徐利艷 天津農(nóng)學(xué)院 2.4萬字） 10.1灰色理論基本知識 10.1.1概言 10.1.2有關(guān)名詞概念 10.1.3GM建模機理 10.2灰色理論模型應(yīng)用 10.2.1GM（1，1）模型的應(yīng)用污染物濃度問題 GM（1，1）殘差模型的應(yīng)用油菜發(fā)病率問題 GM模型在復(fù)雜問題中的應(yīng)用SARS 疫情問題 10.2.4 GM（1，n）模型的應(yīng)用因素相關(guān)問題 本章小結(jié)思考題 推薦閱讀書目第十章 灰色模型介紹及應(yīng)用10.1灰色理論基本知識10.1.1概言客觀世界的很多實際問題，其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未全部被人們了解，人們不可能象研究白箱問題那樣將其內(nèi)部機理研究清楚，只能依

2、據(jù)某種思維邏輯與推斷來構(gòu)造模型。對這類部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)。本章介紹的方法是從灰色系統(tǒng)的本征灰色出發(fā)，研究在信息大量缺乏或紊亂的情況下，如何對實際問題進行分析和解決?；疑到y(tǒng)的研究對象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)，它通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)實現(xiàn)對現(xiàn)實世界的確切描述和認識。信息不完全是“灰”的基本含義?；疑到y(tǒng)理論建模的主要任務(wù)是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，充分開發(fā)并利用不多的數(shù)據(jù)中的顯信息和隱信息，尋找因素間或因素本身的數(shù)學(xué)關(guān)系。通常的辦法是采用離散模型，建立一個按時間作逐段分析的模型。但是，離散模型只能對客

3、觀系統(tǒng)的發(fā)展做短期分析，適應(yīng)不了從現(xiàn)在起做較長遠的分析、規(guī)劃、決策的要求。盡管連續(xù)系統(tǒng)的離散近似模型對許多工程應(yīng)用來講是有用的，但在某些研究領(lǐng)域中，人們卻常常希望使用微分方程模型。事實上，微分方程的系統(tǒng)描述了我們所希望辨識的系統(tǒng)內(nèi)部的物理或化學(xué)過程的本質(zhì)。目前，灰色系統(tǒng)理論已成功地應(yīng)用于工程控制、經(jīng)濟管理、未來學(xué)研究、生態(tài)系統(tǒng)及復(fù)雜多變的農(nóng)業(yè)系統(tǒng)中，并取得了可喜的成就。灰色系統(tǒng)理論有可能對社會、經(jīng)濟等抽象系統(tǒng)進行分析、建模、預(yù)測、決策和控制，它有可能成為人們認識客觀系統(tǒng)改造客觀系統(tǒng)的一個新型的理論工具。10.1.2有關(guān)名詞概念灰數(shù)：一個信息不完全的數(shù)，稱為灰數(shù)?；以盒畔⒉煌耆騼?nèi)容難以窮盡的

4、元素，稱為灰元?；谊P(guān)系：信息不完全或機制不明確的關(guān)系，稱為灰關(guān)系。具有灰關(guān)系的因素是灰因素，灰因素之間的量化作用，稱為灰關(guān)聯(lián)?；疑到y(tǒng):含灰數(shù)、灰元或灰關(guān)系的系統(tǒng)稱為信息不完全系統(tǒng)。如果按照灰色理論去研究它。則稱此系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)。累加生成：由于灰系統(tǒng)對一切隨機量都可看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，因此，為適應(yīng)灰系統(tǒng)建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指對原始數(shù)據(jù)做累加（或累減）處理。累加生成一般可寫成AGO。若計為原始數(shù)列，為次累加生成后數(shù)列，即則次累加生成算式為 一般常用的是一次累加生成，即10.1.3GM建模機理建立GM模型，實際就是將原始數(shù)列經(jīng)過累加生成后，建立具有微分、差分近似指數(shù)

5、規(guī)律兼容的方程，成為灰色建模，所建模型稱為灰色模型，簡記為GM（Grey Model）。如GM（m,n）稱為m階n個變量的灰色模型，其中GM（1，1）模型是GM（1，n）模型的特例，是灰色系統(tǒng)最基本的模型，也是常用的預(yù)測模型，因此本章重點介紹幾種GM（1，1）模型的建模過程和計算方法，并簡單介紹GM（1，n）建模過程。GM（1，1）的建模機理GM（1，1）模型是GM（1，N）模型的特例，其簡單的微分方程形式（白化形式的微分方程）是利用常數(shù)變易法解得，通解為若初始條件為，則可得到微分方程的特解為或時間響應(yīng)函數(shù)其中白化微分方程中的項中的為的背景值，也稱為初始值; 為常數(shù)（有時也將寫成）。按白化導(dǎo)數(shù)

6、定義有差分形式的微分方程，即顯然，當(dāng)時間密化值定義為1，即當(dāng)時，上式可記為記為離散形式這顯然表明是一次累計生成，因此上述方程可改寫為這實際也表明，模型是以生成數(shù)（是以的一次累加）為基礎(chǔ)的。當(dāng)足夠小時，到不會發(fā)生突變，因此可取與的平均值作為時的背景值，因此，背景值便可記為或于是白化的微分方程可改寫為或即因此，上述方程可以改寫為矩陣方程形式，即引入下列符號，設(shè) 于是便有令 則解得將求解得到的代入微分方程的解式（也稱時間響應(yīng)函數(shù)），則由于，因此求導(dǎo)還原得上述兩式便為GM（1，1）的時間響應(yīng)式，及灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的基本算式，當(dāng)然上述兩式計算結(jié)果只是近似計算值。為簡記，一般可以將GM（1，1）的建模過程

7、記為10.2灰色理論模型應(yīng)用GM（1，1）模型的應(yīng)用污染物濃度問題GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)最基本的模型，下面以污染物濃度問題說明GM（1，1）模型的建立及求解過程。例10.1 某污染源中某種污染物質(zhì)量濃度測量值如表10.1，試建立GM（1，1）模型 表10.1 某污染物質(zhì)量濃度測量值 （mg/L） 年 份2001200220032004200520063.9364.5754.9685.0635.9685.507解：第一步，設(shè)原始數(shù)據(jù)為 第二步，對原始數(shù)據(jù)進行累加生成，即因此累加生成數(shù)據(jù)為第三步，構(gòu)造矩陣 第四步，計算。先求，即根據(jù)逆矩陣的求解方法，得再求的值，即進而求得的值為計算GM1_1

8、的程序如下function 10toliti01(X0)m,n=size(X0);X1=cumsum(X0); X2=;for i=1:n-1 X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1);endB=-0.5.*X2;t=ones(n-1,1);B=B,t; YN=X0(2:end);P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1)A=inv(B.'*B)*B.'*YN.'a=A(1) u=A(2) Bb1=B.'*Bb2=inv(B.'*B)b3=B.'*YN.'b4=u/ab5=X1(1)-b4b6=-a*b5第五步，將的值代入微

9、分方程的時間響應(yīng)函數(shù)，令，得第六步，求導(dǎo)還原得第七步，對上述模型進行精度檢驗。常用的方法是回代檢驗，即分別用模型求出各時刻值，然后求相對誤差。先利用時間響應(yīng)函數(shù)模型求各時刻值（），并計算相對誤差，結(jié)果如表10.2所示. 表10.2 精度檢驗實測值、殘差值表 GM計算值實測值殘差相對殘差8.605913.534418.735924.225430.01908.5110 13.4790 18.5420 24.5100 30.0170-0.0949 -0.0554 -0.1939 0.2846 -0.0020-0.0112-0.0041-0.01050.0116-0.0001再利用時間響應(yīng)函數(shù)模型求各

10、時刻值（），并計算相對誤差，結(jié)果如表10.3所示. 表10.3 計算值與實驗原始數(shù)據(jù)值對照表 GM計算值實測值殘差相對殘差4.79605.06165.34195.63775.94994.57504.96805.06305.96805.5070-0.2210-0.0936-0.27890.3303-0.4429-0.0483 -0.0188 -0.0551 0.0553-0.0804從殘差檢驗結(jié)果看，累計生成數(shù)列曲線擬合較好，相對誤差在0.01即1%左右；而還原數(shù)列的相對誤差較大，其原因是累加生成數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)的隨機性弱化，正負誤差有抵消的，當(dāng)數(shù)據(jù)再被還原回來時便表現(xiàn)出來。 GM（1，1）殘差模

11、型的應(yīng)用油菜發(fā)病率問題當(dāng)（，）模型的精度不符合要求時，可用殘差序列建立（，）模型，對原來的模型進行修正，以提高精度，即建立殘差（，）模型，步驟如下第一步，利用原始數(shù)據(jù)建立GM（1，1）模型，得時間響應(yīng)式其中第二個式子也成為導(dǎo)數(shù)還原值。鑒于導(dǎo)數(shù)還原值與原始數(shù)據(jù)（累減還原值）不一致，為減少往返運算造成的誤差，往往用原始數(shù)據(jù)與導(dǎo)數(shù)還原值的殘差修正的模擬值。第二步，利用殘差數(shù)列建立新的GM（1，1）模型。建立殘差模型的過程和計算方法同于GM（1，1）建模過程，只不過建立殘差模型所用的原始數(shù)列采用的是殘差數(shù)據(jù)。令為殘差，則即或利用殘差序列建立新的GM（1，1）模型，求解得時間響應(yīng)式第三步，結(jié)合上兩步的G

12、M（1，1）模型，建立殘差GM（1，1）模型結(jié)合上兩步的GM（1，1）模型，則相應(yīng)的殘差修正時間響應(yīng)式為稱為導(dǎo)數(shù)還原式的殘差修正模型。例10.2 某縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)如表10.4所示，試建立殘差GM模型并進行求解。 表10.4 某縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù) （%） 序 號12345678910111213620402540453521141815.51715解：第一步，建立原始數(shù)據(jù)的GM（1，1）模型設(shè)原始數(shù)據(jù)為建立GM（1，1）模型，利用GM（1，1）的求解程序得時間響應(yīng)式為第二步，誤差檢驗利用時間響應(yīng)函數(shù)模型計算各時刻值（），并計算相對誤差，程序如下function 10toliti02(X0)%fo

13、rmat long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=1:12 y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1;endy'X0'z'w'z*z'sum(abs(w)/12計算結(jié)果如表10.5所示 表10.5 計算值與實驗原始數(shù)據(jù)值對照表 GM計算值實測值殘差相對殘差0.34490.32320.30290.28390

14、.26610.24940.23370.21900.20530.19240.18030.16900.20.40.250.40.450.350.210.140.180.1550.170.15-0.14490.0768-0.05290.11610.18390.1006-0.0237-0.0790-0.0253-0.0374-0.0103-0.0190-0.72440.1919-0.21170.29020.40870.2875-0.1129-0.5645-0.1404-0.2412-0.0606-0.1265 由表可以看出，最大誤差高達72.44%，最低的也達到6.06%，模擬誤差較大，進一步計算平均

15、相對誤差 平均相對誤差很較大，相對精度約70%。因此為了提高遠原點（即現(xiàn)時）精度，即將最后一個誤差減小，需采用殘差模型進行修正。第三步，以部分殘差數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)建立新的GM（1，1）模型取得殘差尾端，即取最后5個數(shù)據(jù)的殘差：-0.0790,-0.0253,-0.0374,-0.0103,-0.0190,用此尾段可建立殘差尾段模型，取絕對值，得殘差數(shù)列以上述的殘差數(shù)列為原始數(shù)據(jù)建立新的GM（1，1）模型，得殘差的時間響應(yīng)式第四步，將原始數(shù)據(jù)和部分殘差數(shù)據(jù)的兩個GM（1，1）模型即和結(jié)合，得到修正后的殘差GM（1，1）模型第五步，用修正后的模型對的模擬值進行修正，結(jié)果為：第六步，精度檢驗建立如下程

16、序：function 10toliti021(X0)%format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=8:12 y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i)-0.0328*exp(-0.1894*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1;endy'X0'z'w'z*z'sum(abs(w)/5計算結(jié)果如表10.6所示 表10.6 修正后計

17、算值與實驗原始數(shù)據(jù)值檢驗結(jié)果 GM計算值實測值殘差相對殘差0.21180.19930.18740.17620.16560.140.180.1550.170.15-0.0718-0.0193-0.0324-0.0062-0.0156-0.5130-0.1073-0.2093-0.0366-0.1040按此模型，可對五個模擬值進行修正，修正后的平均相對誤差，精度有明顯的提高。尤其對于原點附近的兩個數(shù)據(jù)：0.17，0.15相對誤差分別降低為3.66%和10.4%，低于允許誤差要求。這說明，對原點數(shù)據(jù)GM（1，1）模型修正是有必要的。10.2.3GM模型在復(fù)雜問題中的應(yīng)用SARS 疫情問題例10.3

18、SARS 疫情問題2003年的SARS疫情對我國的發(fā)展產(chǎn)生了一定影響，尤其在經(jīng)濟發(fā)展方面產(chǎn)生了很大的影響，下面就SARS疫情對我國經(jīng)濟的影響問題建立GM模型并求解。.1 問題的提出 2003年的SARS 疫情對中國部分行業(yè)的經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生了一定影響，特別是對部分疫情較嚴(yán)重的省市的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是顯著的，經(jīng)濟影響主要分為直接經(jīng)濟影響和間接影響。直接經(jīng)濟影響涉及商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)等行業(yè)。很多方面難以進行定量地評估，現(xiàn)僅就SARS 疫情較重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響進行定量的評估分析。究竟 SARS 疫情對商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響有多大，已知某市從1997

19、年1 月到2003 年12 月的商品零售額、接待旅游人數(shù)和綜合服務(wù)收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表10.710.9所示 表10.7 商品的零售額 （億元） 月份年份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月199719981999200020012002200383.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.592.2 114.0 93.3 101.0 103

20、.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 1

21、62.6 171.8 180.7 173.5 176.5 表10.8 接待海外旅游人數(shù) （萬人）月份年份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6

22、16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 表10.9 綜合服務(wù)業(yè)累計數(shù)額 （億元）月份年份2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月

23、 11 月 12 月199719981999200020012002200396 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667216 361 504 642 818 979 1142 1305 1

24、479 1644 1920241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218 試根據(jù)這些歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測評估模型，評估 2003 年SARS 疫情給該市的商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)所造成的影響。.2模型的假設(shè)與分析模型假設(shè)：（1）假設(shè)該市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)都是可靠準(zhǔn)確的；（2）假設(shè)該市在SARS 疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化只與SARS 疫情的影響有關(guān)，不考慮其它隨機因素的影響。模型分析：根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的平均值較好地反映了相關(guān)指標(biāo)的變化規(guī)律，這樣可以把預(yù)測評估分成兩部分：（1）利用灰色理論建立GM(1,1)

25、模型，由19972002 年的平均值預(yù)測2003 年平均值；（2）通過歷史數(shù)據(jù)計算每個月的指標(biāo)值與全年總值的關(guān)系，從而可預(yù)測出正常情況下2003 年每個月的指標(biāo)值，再與實際值比較可以估算出SARS 疫情實際造成的影響。10.2.3.3建立灰色預(yù)測模型GM(1,1)第一步,數(shù)據(jù)處理（1）原始數(shù)據(jù)：根據(jù)表中的已知數(shù)據(jù)，計算19972002年某項指標(biāo)的年平均值，作為原始數(shù)據(jù)，記為并要求級比（2）數(shù)據(jù)的累加生成：對原始數(shù)據(jù)進行一次累加生成，因此累加生成數(shù)據(jù)記為（2）背景值的選擇：取累加生成數(shù)據(jù)的加權(quán)平均值為背景值，即其中為確定參數(shù)。背景值記為第二步，GM（1，1）模型的建立（1）建立GM（1，1）的白

26、化微分方程模型其中是a發(fā)展灰度，u是內(nèi)生控制灰度。（2）轉(zhuǎn)化為灰微分方程或即矩陣形式為其中(3)轉(zhuǎn)化為時間響應(yīng)函數(shù)利用最小二乘法得到參數(shù)的估計值，進而得到灰微分方程的解，對求導(dǎo)還原得。即參數(shù)的估計值為微分方程的解式（也稱時間響應(yīng)函數(shù)）為其中，稱為還原值。第三步，利用模型預(yù)測指標(biāo)值根據(jù)時間響應(yīng)函數(shù)可以預(yù)測出正常情況下2003年的平均值，則，則預(yù)測2003年的總值為。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，可以計算出2003 年第i個月的指標(biāo)值占全年總值的比例為，即記為，于是可以可到2003年每一個月的指標(biāo)值模型求解及結(jié)果分析（1）商品零售額根據(jù)商品零售額的數(shù)據(jù)表，計算得年平均值（即原始數(shù)據(jù)）和一次累加生成值，分別為顯然的

27、所有級比都在可容區(qū)域內(nèi)，這里取，計算可得背景值計算得參數(shù)的估計值為，進而得到時間響應(yīng)函數(shù)再根據(jù)時間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測可得，2003年的月平均值為億元；年總值為億元。又根據(jù)比例的表達式計算出每月的比例為 因此2003 年112 月的預(yù)測值(單位：億元)為將預(yù)測值與實際值進行比較，結(jié)果如表10.10所示 表10.10 2003年商品的零售額比較表 （億元） 月份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月實際值預(yù)測值163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 17

28、6.5152.9 155.3 144.2 151.2 157.7 157.4 162.6 161.3 168.0 170.5 166.7 177.1 圖形如圖10-1：（藍線為實際值，紅線為預(yù)測值）圖10-1 2003年商品的零售額實際值與預(yù)測值比較圖通過圖形可以直觀的看出：（1）預(yù)測值波動比較小，真實值波動比較劇烈；（2）5月份左右真實值遠遠低于預(yù)測值，年初和年末都高于預(yù)測值。這是由實際情況造成的，年初當(dāng)SARS 疫情剛剛開始的時候，人們儲備保健藥品和保健食物等，拉動了零售額的增長；5月份左右，SARS 疫情比較猖獗，此時好多學(xué)校和單位等實行封閉管理，大大限制了人們的消費，因此零售額明顯降低

29、；年末SARS 疫情慢慢遠去，此前被限制的消費得以充分實現(xiàn)，又促進了零售額的增長。當(dāng)然可以根據(jù)模型所得數(shù)據(jù)，對SARS 疫情給該市的商品零售業(yè)造成的影響進行定量分析，這里不再詳述。計算的MATLAB 程序如下：function 10toliti03clcclc,clearload shuju1.txt %把原始數(shù)據(jù)保存在純文本文件shuju1.txt中han1(end,:)=;x0=mean(han1,2)m=size(han1,2);n=size(x0,1);z1=;x1=cumsum(x0)alpha=0.5;for i=1:n-1z1(i,:)=(1-alpha)*x1(i)+alpha

30、*x1(i+1);endz1Y=x0(2:n);B=-z1,ones(n-1,1);A=inv(B'*B)*B'*Y;a=A(1)u=A(2)b4=u/ab5=x1(1)-b4b6=-a*b5k=6;x7hat=(x0(1)-u/a)*(exp(-a*k)-exp(-a*(k-1)z=m*x7hatu=sum(han1)/sum(sum(han1)v=z*u（2）接待海外旅游人數(shù)根據(jù)接待海外旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)表，計算得年平均值（即原始數(shù)據(jù)）和一次累加生成值，分別為顯然的所有級比都在可容區(qū)域內(nèi)，這里取，計算可得背景值計算得參數(shù)的估計值為，進而得到時間響應(yīng)函數(shù)再根據(jù)時間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測可得

31、，2003年的月平均值為萬人；年總值為萬人。又根據(jù)比例的表達式計算出每月的比例為 因此2003 年112 月的預(yù)測值(單位：萬人)為將預(yù)測值與實際值進行比較，結(jié)果如表10.11所示 表10.11 2003年接待海外旅游人數(shù) （萬人） 月份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月實際值預(yù)測值15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.814.8 26.6 25.5 31.9 33.0 30.8 30.4 37.1 36.7 37.8 33.2 25.5 圖形如圖10-2

32、：（藍線為實際值，紅線為預(yù)測值）圖10-2 2003年接待海外旅游人數(shù)實際值與預(yù)測值比較圖通過圖形可以直觀的看出：（1）預(yù)測值波動比較小，真實值波動比較劇烈；（2）真實值低于預(yù)測值，尤其5月份左右真實值遠遠低于預(yù)測值，年初和年末相差不太大。這是由實際情況造成的， 5月份左右SARS 疫情比較猖獗，此時好多學(xué)校和單位等實行封閉管理，大大限制了人們的出行，同時人們也基于自身安全的因素，能不出門就不出門，因此旅游人數(shù)大大降低，旅游業(yè)處于低谷；年初和年末SARS 疫情對人們出行的影響不大，因此年初和年末年末海外旅游人數(shù)的實值略低于預(yù)測值。（3）綜合服務(wù)業(yè)累計數(shù)據(jù)根據(jù)綜合服務(wù)業(yè)累計數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)表，計算得年

33、平均值（即原始數(shù)據(jù)）和一次累加生成值，分別為顯然的所有級比都在可容區(qū)域內(nèi)，這里取，計算可得背景值計算得參數(shù)的估計值為。進而得到時間響應(yīng)函數(shù)再根據(jù)時間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測可得，2003年的月平均值為億元；年總值為億元。又根據(jù)比例的表達式計算出每月的比例為 因此2003 年112 月的預(yù)測值(單位：億元)為將預(yù)測值與實際值進行比較，結(jié)果如表10.12所示 表10.12 2003年綜合服務(wù)業(yè)累計數(shù)據(jù)的比較表 （億元） 月份2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月實際值預(yù)測值241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 18

34、85 2218240 390 545 744 916 1101 1316 1517 1709 1907 2201圖形如圖10-3：（藍線為實際值，紅線為預(yù)測值）圖10-3 2003年綜合服務(wù)業(yè)累計數(shù)據(jù)實際值與預(yù)測值比較圖通過圖形可以直觀的看出：（1）預(yù)測值與真實值相差不大；（2）5月份左右真實值與預(yù)測值最接近。這是由實際情況造成的，SARS 疫情對于綜合服務(wù)業(yè)中的部分行業(yè)影響較大，如航空交通運輸、賓館餐飲等，但有些行業(yè)影響不大，如電信、通訊等，因此總平均來看，影響還不算太大。（4）模型的評價從三方面的結(jié)果分析，可以看出模型的結(jié)論與實際情況相符，這說明了模型的正確性和可靠性。雖然該模型是就某經(jīng)濟

35、指標(biāo)的發(fā)展規(guī)律進行評估預(yù)測而建立的，但類似地也適用于其它方面的一些數(shù)據(jù)規(guī)律的評估預(yù)測問題，即該模型具有很廣泛的應(yīng)用性。 GM（1，n）模型的應(yīng)用因素相關(guān)問題GM（1，n）模型表示一階的含有n個變量灰色模型，適合于建立系統(tǒng)的狀態(tài)模型與各變量的動態(tài)分析，與GM（1，1）模型不同，不適合預(yù)測用；但建模與計算過程與GM（1，1）模型類似。GM（1，2）模型是GM（1，n）模型的基礎(chǔ)，因此下面以GM（1，2）模型為例說明GM（1，n）模型的建模過程。GM（1，2）模型表示一階的含有兩個變量灰色模型，其相應(yīng)的白化微分方程模型為時間相應(yīng)函數(shù)(即解)為還原值為例10.4 某系統(tǒng)中兩因素和相互之間存在關(guān)系，其中

36、因素為系統(tǒng)特征因素，因素為相關(guān)因素，兩因素的關(guān)系如表10.13所示表10.13 兩因素的關(guān)系 序號1 2 3 4 5因素因素10.7 12.3 15.4 19.2 21.5 40.3 50.5 60.3 65.5 75.2解：第一步，數(shù)據(jù)處理取原始數(shù)據(jù)為對原始數(shù)據(jù)累加生成，得第二步，建立GM（1，2）模型白化的微分方程模型為轉(zhuǎn)化為灰微分方程或其中。即矩陣形式為其中(3)時間響應(yīng)函數(shù)利用最小二乘法得到參數(shù)的估計值，即進而得到微分方程的解即時間響應(yīng)函數(shù)及還原值，即 第三步，模型的求解建立M文件10toliti04.m如下：clc,clearx10=10.7,12.3,15.4,19.2,21.5;

37、x20=40.3,50.5,60.3,65.5,75.2;n=length(x10);x11=cumsum(x10)x21=cumsum(x20)for i=2:nz11(i)=0.5*(x11(i)+x11(i-1);endB=-z11(2:n)',x21(2:n)'Y=x10(2:n)'A=inv(B'*B)*B'*Yx=dsolve('Dx+a*x=b*x2','x(0)=x0');x=subs(x,'a','b','x0','x2',A(1),A(2),x10(1),'x21');digits(6),x=vpa(x);x=simple(x)x=subs(x,'t','x21',0:n-1,x21(1:n)xhat=x