高中數(shù)學(xué)不等式歸納講解

1、第三章 不等式 定義：用不等號將兩個(gè)解析式連結(jié)起來所成的式子。3-1 不等式的最基本性質(zhì)對稱性：如果xy，那么yx；如果yx，那么xy；傳遞性：如果xy，yz；那么xz；加法性質(zhì)；如果xy，而z為任意實(shí)數(shù)，那么xzyz；乘法性質(zhì)：如果xy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzyz;（符號法則）3-2 不等式的同解原理 不等式F（x） G（x）與不等式 G（x）F（x）同解。 如果不等式F（x） G（x）的定義域被解析式H（ x ）的定義域所包含，那么不等式 F（x）G（x）與不等式F（x）H（x）G（x）H（x）同解。如果不等式F（x）G（x） 的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，

2、并且H（x）0，那么不等式F(x)G（x）與不等式H（x）F（x）H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）0，那么不等式F（x）G（x）與不等式H (x)F（x）H（x）G（x）同解。 不等式F（x）G（x）0與不等式或同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集為x大于大的或x小于小的F(x)<0的解集為x大于小的或x小于大的3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、調(diào)和平均數(shù)： 2、幾何平均數(shù)： 3、算術(shù)平均數(shù)： 4、平方平均數(shù)： 這四種平均數(shù)滿足HnGnAnQna1、a2、 、anR +，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= =an時(shí)取“=”號 3-3-1-1均值不等式的變形(1)對正實(shí)數(shù)a,

3、b，有 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號) (2)對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有(6)對非負(fù)數(shù)a,b，有(7) 若，有（等號僅當(dāng)時(shí)成立）(8)對非負(fù)數(shù)a,b,c，有 (9)對非負(fù)數(shù)a,b， 3-3-1-1最值定理當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，其乘積有最大值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的乘積一定時(shí)，其和有最小值。 均值不等式求最值主要方法：常見構(gòu)造條件的變換：加項(xiàng)變換，系數(shù)變換，平方變換，拆項(xiàng)變換，常量代換，三角代換等.當(dāng)使用均值定理時(shí)等號不能成立時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性（例如“對號”函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法）.3-3-2 權(quán)方和不等式a,b,n為正整數(shù)。m為正數(shù)。3-4絕對值不等式|+|+| 3-5 不等式例題解析3-5-1 絕對值不等式1、求

4、的解2、右邊的常數(shù)變?yōu)榇鷶?shù)式(1)|+1|>2；(2)|26|<3形如|<，|>型不等式這類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即：|<<<|>>或<3、兩個(gè)絕對值不等式解不等式（1）|1|<|+|；（2）x-2+x+3>5.形如|<|型不等式1）此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：|<|<02）所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù)，分別使含有|，|，|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對值為零，稱，為相應(yīng)絕對值的零點(diǎn)，零點(diǎn)，將數(shù)軸分為+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數(shù)式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式

5、來解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。例題不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集為 。解： |x+3|-|2x-1|=4、含參數(shù)絕對值不等式解關(guān)于x的不等式 解題原不等式等價(jià)于 當(dāng)即時(shí)， 當(dāng)即時(shí)， x¹-6當(dāng)即時(shí)， xÎR方法歸納：形如|<，|>()型不等式此類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即： 當(dāng)>0時(shí)，|<<<；|>>或<

6、； 當(dāng)=0時(shí)，|<無解，|>0 當(dāng)<0時(shí)，|<無解，|>有意義。4、含參數(shù)絕對值不等式有解、解集為空和恒成立的問題若不等式|4|+|3|<的解集為空集，求的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個(gè)絕對值符號，可考慮采用零點(diǎn)分段法，即令每一項(xiàng)都等于0，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集，這是按常規(guī)去掉絕對值符號的方法求解，運(yùn)算量較大。若仔細(xì)觀察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對值不等式|+|+|，便把問題簡化。解題解法一 (1)當(dāng)0時(shí)，不等式的解集是空集。(2)當(dāng)>0時(shí)，先求不等式|4|+

7、|3|<有解時(shí)的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當(dāng)4時(shí)，原不等式化為4+3<，即27<解不等式組，>1 當(dāng)3<<4時(shí)，原不等式化為4+3<得>1 當(dāng)3時(shí)，原不等式化為4+3<即72<解不等式，>1綜合可知，當(dāng)>1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)0<1時(shí)，原不等式解集為空集。由(1)(2)知所求取值范圍是1解法二由|4|+|3|的最小值為1得當(dāng)>1時(shí)，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時(shí)，原不等式解集為空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1當(dāng)>1時(shí)，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時(shí)，原不等

8、式解集為空集。方法總結(jié)：1）一題有多法，解題時(shí)需學(xué)會(huì)尋找最優(yōu)解法。2）有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。6、絕對值三參數(shù)不等式問題已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：；，則當(dāng)時(shí)，求證：。思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)a,b,c的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 、來表示,。因?yàn)橛梢阎獥l件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得收獲1） 二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條

9、件“確定”這三個(gè)參數(shù). 2）本題變形技巧性強(qiáng)，同時(shí)運(yùn)用公式，及已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蟆Ｒ笸瑢W(xué)們做題時(shí)要有敏銳的數(shù)學(xué)觀察能力。例題2已知函數(shù)f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|<|a-b|。分析：要證，考察左邊，是否能產(chǎn)生|a-b|。證明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）回顧：1、證題時(shí)，應(yīng)注意式子兩邊代數(shù)式的聯(lián)系，找出它們的共同點(diǎn)是證題成功的第一步。此外，綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)是證題成功的關(guān)鍵。如在本例中，用到了不等式的傳遞性，倒數(shù)性質(zhì)，以及“三角形不等式”等等。2、本題的背景知識與解析幾何有關(guān)。函數(shù)是雙曲線，的上支，而（即），則表示該圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率的絕

10、對值。（學(xué)過有關(guān)知識后），很顯然這一斜率的范圍是在（-1，1）之間。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|<a，的解集為空集，求a的取值范圍；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|<a有解，求a的取值范圍。分析：“有解”即“解集非空”，可見（1）（2）兩小題的答案（集合）互為補(bǔ)集（全集為R）當(dāng)然可以用|x-3|+|x+1|=這種“去絕對值”的方法來解，但我們考慮到“三角形不等式”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4這樣|x-3|+|x+1|<a等價(jià)于若（*）解集為，則a4，若（*）有解，則a>4。解（略）回顧：本題是“絕對值不

11、等式性質(zhì)定理”（即“三角形不等式”）的一個(gè)應(yīng)用。發(fā)展題：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的取值范圍。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。3已知f(x)的定義域?yàn)?,1，且f(0)=f(1)，如果對于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求證：|f(x1)-f(x2)|<分析：題設(shè)中沒有給出f(x)的解析式，這給我們分析f(x)的結(jié)構(gòu)帶來困難，事實(shí)上，可用的條件只有f(0)=f(1) ，與|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|兩個(gè)。首先，若|x1-x2|，那么必有|f(x1

12、)-f(x2)|<|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|<成立。但若|x1-x2|>呢？考慮到0|x1-x2|1，則1-|x1-x2|<，看來要證明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|<成立！證明：不妨設(shè)x1x2，則0x1x21（1）當(dāng)|x1-x2|時(shí)，則有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|<成立。（2）當(dāng)|x1-x2|>時(shí)，即x2-x1>時(shí)，0x2-x11 必有1-|x1-x2|<即1- x2+x1< 也可寫成|1- x2|+|x1|< (*) 另一方面|f(x1)-f

13、(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|<|1- x2|+|x1-0| 則由（*）式知|f(x1)-f(x2)|<成立 綜上所述，當(dāng)x1,x20,1時(shí)都有|f(x1)-f(x2)|<成立。 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有.分析：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的. 要考慮在區(qū)間上函

14、數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值.證明：由題意知：， ， .由時(shí)，有，可得 . ,.（1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時(shí)， 此時(shí)問題獲證. （2）若，則當(dāng)時(shí)，又， 此時(shí)問題獲證. 綜上可知：當(dāng)時(shí)，有.評析：因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得. 7、 絕對值不等式與其它知識的橫向聯(lián)系已知.設(shè)函數(shù)在R上單調(diào)遞減.不等式的解集為R.如果和有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍.思路 此題雖是一道在老教材之下的高考試題，但揭示了“解不等式”一類高考試題的命題方向.在新教材中，

15、絕對值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運(yùn)算、命題判斷都有一定聯(lián)系，屬于對于學(xué)生提出的基本要求內(nèi)容的范疇，本題將這幾部分知識內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本方法掌握的同時(shí)，考查了學(xué)生命題轉(zhuǎn)換，分類討論等能力，在不同的方法下有不同的運(yùn)算量，較好地體現(xiàn)出了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的命題原則.解題:函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不等式的解集為R函數(shù)在R上恒大于1，函數(shù)在R上的最小值為，不等式的解集為R，即，若正確，且不正確，則；若正確，且不正確，則；所以的取值范圍為.收獲“解不等式”一類的命題可以有形式上的更新和內(nèi)容上的變化.結(jié)合簡易邏輯的概念和集合的語言來命題，借助集合的運(yùn)算性質(zhì)和四個(gè)命題

16、的關(guān)系來作答，是這個(gè)命題的基本特征，在求解時(shí)則主要以化歸思想為解題切入點(diǎn).復(fù)習(xí)中對于此類問題要引起足夠的重視.3-5-2 均值不等式1、 已知（為常數(shù)），求的最小值2已知，且，求 的最大值.3求最小值； 4設(shè)，且，則 已知，且，求證：若, 求的最小值3-5-3 分式不等式解分式不等式的基本思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）：（1）（2）解題方法 穿針引線法,又稱“數(shù)軸穿根法”或“數(shù)軸標(biāo)根法” 第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進(jìn)行移項(xiàng)，使得右側(cè)為0。（注意：一定要保證x前的系數(shù)為正數(shù)） 例如：將x3-2x2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：將不等號換成等號

17、解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標(biāo)出各根。 例如：-1 1 2 第三步：畫穿根線：以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn)，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后又穿過“次右跟”上去，一上一下依次穿過各根。 第四步：觀察不等號，如果不等號為“>”，則取數(shù)軸上方，穿跟線以內(nèi)的范圍；如果不等號為“<”則取數(shù)軸下方，穿跟線以內(nèi)的范圍。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在數(shù)軸上標(biāo)根得：-1 1 2 畫穿根線：由右上方開始穿根。 因?yàn)椴坏忍柾?gt;”則取數(shù)軸上方，穿跟線以內(nèi)的范圍。即：-1<x<1或x>2。 奇透偶不透即假如有兩個(gè)解都是同一個(gè)數(shù)字 這個(gè)數(shù)字要按照兩個(gè)數(shù)字穿如（x-1)=0 兩個(gè)解都是1 那么穿的時(shí)候不要透過1。解題步驟： （1）首項(xiàng)系數(shù)化為“正”（2）移項(xiàng)通分，不等號右側(cè)化為“0”（3）因式分解，化為幾個(gè)一次因式積的形式系數(shù)非正，小于等于（4）數(shù)軸標(biāo)根。例2、解不等式：解略點(diǎn)評：“或”標(biāo)根時(shí)，分子實(shí)心，分母空心。右側(cè)非0例3、解不等式：點(diǎn)評：1、不能隨便去分母2、移項(xiàng)通分，必須保證右側(cè)為“0”3、