高中數(shù)學(xué)“四維定位”突破直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、高中數(shù)學(xué)位”突破直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)試題的熱點之一；我們對它的認(rèn)識是：高中數(shù)學(xué)教材在第八童第三單元拋物線部分用兩道例題引入直線與拋物線的位置關(guān)系，在本童小結(jié)部分有一道直線與拋物線關(guān)系的例題，在復(fù)習(xí)參考題八列出了直線與橢圓、雙曲線、拋物線的練習(xí)題若干，結(jié)論是課文將該部分內(nèi)容只在例題和復(fù)習(xí)題中體現(xiàn)；高考大綱沒有單列對該項的要求，但是直線與圓錐曲線的關(guān)系每年的出題率是。一、目標(biāo)測試：1、雙曲線的半焦距為, 直線與雙曲線的一個交點的橫坐標(biāo)恰為，則該雙曲線的離心率為 答： +1解析：直線與雙曲線的一個交點的橫坐標(biāo)恰為，則縱坐標(biāo)為，于是由點在橢

2、圓上有：，整理得得評注：直線與曲線相交，則交點坐標(biāo)同時適合直線方程和曲線方程?？疾閷W(xué)生曲線與直線關(guān)系和運算的基本功2、已知直線與拋物線相切，則 ，答：解析：對二次函數(shù)求導(dǎo)， ，則，切點為，代入直線方程得：評注：二次曲線的切線問題，注意與函數(shù)的求導(dǎo)相結(jié)合。二、能力指標(biāo)：1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系確定途徑：一是聯(lián)立方程組，消元，用二次方程判別式的正負來確定，二是通過直線恒過某定點，該定點與圓錐曲線的關(guān)系來確定。如：直線與的位置關(guān)系是（ ）A、相離B、相交C、相切D、不確定 。解析：看準(zhǔn)直線恒過定點，圓心到點的距離2小于半徑3，則點在圓內(nèi)，直線恒于圓相交。選B。2、直線與圓錐曲線只有一個交點的問題

3、，應(yīng)全面考慮，如與圓或橢圓只有一個交點，可以從相切角度入手，計算斜率的方法注意用判別式為零或?qū)ζ淝髮?dǎo)數(shù)兩種方法；直線與雙曲線只有一個交點有兩種可能，即直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行，而直線與拋物線只有一個交點的兩種可能，分別是相切和直線平行拋物線的對稱軸。3、圓錐曲線的弦的有關(guān)問題是高考命題的熱點之一，主要涉及兩大類題型：弦長問題和弦的中點問題。如橢圓的弦長公式，中點弦問題常用的“點差法”等，都要求學(xué)生熟練掌握。4、直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，要學(xué)會運用發(fā)散式思維，挖掘題目的潛能，掌握一般性規(guī)律，練習(xí)做到“以一當(dāng)十”，提高復(fù)習(xí)效率。如已知拋物線 ，過，作直線交拋物線于兩點，連結(jié)，我們

4、利用對數(shù)量積的結(jié)果影響可以討論的情況。分析：設(shè)直線與拋物線交于兩點，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組：消x得: ,由于,二次方程的判別式大于零,方程有二異根, 則,=,所以有: 于是有結(jié)論: 結(jié)論1：當(dāng)時,即直線過點時, 則，則為直角.以弦為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點 ：當(dāng)軸時，最小：過O點作 ，垂足為M，則M點必在某一圓周上結(jié)論2: 當(dāng),則為銳角.結(jié)論3:當(dāng)則為鈍角.三、典型題例：例1、如圖, 直線與雙曲線C:的左右兩支分別交于、兩點, 與雙曲線C的右準(zhǔn)線相交于點,為右焦點,若,又, 則實數(shù)的值為( A ) A. B. C. D.解析：設(shè)，則，由得，即，則。（1） 又，而P點橫坐標(biāo)為，則；（2）比較（1）

5、（2）可知評注：本題以直線與雙曲線相交為背景，考查雙曲線的焦半徑、有向線段的定比分點等概念，同時考查運算能力。例2、設(shè)橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，點N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：（1）動點P的軌跡方程； （2）的最小值與最大值. 解析：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力. （1）解法一：直線l過點M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為記、由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)、是方程組 的解. 將代入并化簡得，所以于是設(shè)點P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k

6、得 當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點（0，0），也滿足方程，所以點P的軌跡方程為：解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以 得，所以當(dāng)時，有 并且 將代入并整理得 當(dāng)時，點A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，2），這時點P的坐標(biāo)為（0，0）也滿足，所以點P的軌跡方程為（2）解：由點P的軌跡方程知所以故當(dāng)，取得最小值，最小值為時，取得最大值，最大值為評注：二次方程的根與系數(shù)關(guān)系和“點差法”解直線與二次曲線位置關(guān)系相關(guān)題目是最常用的方法之一，屬“通法”，要求學(xué)生熟練掌握。同時注意曲線上一點與某定點間距離最小值的求法的二次函數(shù)法。四、考題回放(2008全國21）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點（）若，求的值； （）求四邊形面積的最大值DFByxAOE（）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或（）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為，又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為解法