環(huán)的定義與性質(zhì)

1、定義定義 8.1.1 設(shè)設(shè)(R, , )是是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，若一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，若（1）(R, )為交換群；為交換群；（2）(R, )為半群；為半群；（3）運(yùn)算）運(yùn)算 對(duì)對(duì) 滿足分配律，滿足分配律，則稱則稱(R, , )為為一個(gè)環(huán)。一個(gè)環(huán)。例例 8.1.1 全體整數(shù)關(guān)于數(shù)的加法和乘法運(yùn)算構(gòu)成全體整數(shù)關(guān)于數(shù)的加法和乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)一個(gè)環(huán)(Z,+,x x)，通常稱為，通常稱為整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)；全體偶數(shù)關(guān)于；全體偶數(shù)關(guān)于數(shù)的加法和乘法也構(gòu)成一個(gè)環(huán)數(shù)的加法和乘法也構(gòu)成一個(gè)環(huán)(E,+,x x)。 將交換群將交換群(R, )的二元運(yùn)算的二元運(yùn)算 叫做加法，記為叫做加法，記為+，并稱交換群為一個(gè)并稱交換群為一個(gè)加法

2、群加法群，記為，記為(R, +)， (R, +)的的單位元稱為環(huán)的零元，記為單位元稱為環(huán)的零元，記為0，而而(R, +)中元素中元素 a的逆元稱為的逆元稱為a的負(fù)元，記為的負(fù)元，記為-a 。 將半群將半群(R, )的二元運(yùn)算叫做乘法，記為的二元運(yùn)算叫做乘法，記為x x，半群，半群記為記為(R, x x)。 今后將環(huán)記為今后將環(huán)記為(R, +, x x)。環(huán)環(huán)(R, +, x x)有下面的基本公式：有下面的基本公式：（1）0 + a=a + 0=a （2）-(-a)=a（3）a+b=c a=c-b（4）-(a+b)=-a-b（5）-na =-(na)=n(-a)（6）ma+na=(m+n)a;

3、m(a+b)=ma+mb（7）-ab=(-a)b=a(-b)（8 8）0a=a0=0（9 9）(a-b)c=ac-bc; a(b-c)=ab-ac（1010）aman=am+n; (am)n=amn定義定義 8.1.2 環(huán)環(huán)(R, +, x x)稱為交換環(huán)，如果乘法稱為交換環(huán)，如果乘法 x x 適適合交換律；合交換律； 環(huán)環(huán)(R, +, x x)稱為含幺環(huán)，如果半群稱為含幺環(huán)，如果半群(R, x x)有單位元。有單位元。通常將半群的單位元記為通常將半群的單位元記為1，叫做含幺環(huán)的幺元，叫做含幺環(huán)的幺元或單位元?；騿挝辉?。例例 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)(Z,+,x x)既是既是交換環(huán)，也是含幺環(huán)；偶數(shù)構(gòu)交換

4、環(huán)，也是含幺環(huán)；偶數(shù)構(gòu)成的環(huán)成的環(huán)(E,+,x x)是是交換環(huán)，但不是含幺環(huán)。交換環(huán)，但不是含幺環(huán)。例例 8.1.3 所有所有n階實(shí)方陣階實(shí)方陣Mnxn(R)關(guān)于矩陣的加法關(guān)于矩陣的加法+和乘法和乘法x構(gòu)成一個(gè)環(huán)構(gòu)成一個(gè)環(huán)(Mnxn(R),+,x)，單位矩陣是該，單位矩陣是該環(huán)的單位元，但它不是交換環(huán)。環(huán)的單位元，但它不是交換環(huán)。 全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式Px關(guān)于數(shù)的加法和乘法運(yùn)算關(guān)于數(shù)的加法和乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)構(gòu)成一個(gè)環(huán)(Px,+,x x), 既是既是交換環(huán)，也是含幺環(huán)交換環(huán)，也是含幺環(huán) (Zn,+n,x xn)構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為模模 n的剩余類的剩余類環(huán)。環(huán)。既既是是

5、交換環(huán)，也是含幺環(huán)。交換環(huán)，也是含幺環(huán)。定義定義 8.1.3 設(shè)設(shè)a, b為環(huán)為環(huán)(R, +, x x)的非零元，若的非零元，若ab=0,則稱則稱a為為b的一個(gè)左零因子，而的一個(gè)左零因子，而b為為a的一個(gè)右零因的一個(gè)右零因子。一個(gè)沒(méi)有（左、右）零因子的環(huán)，稱為無(wú)零子。一個(gè)沒(méi)有（左、右）零因子的環(huán)，稱為無(wú)零因子環(huán)。因子環(huán)。例例. 在環(huán)在環(huán)(M2x2(R),+,x)中，中，OABBA 0000111111111111,1111則則設(shè)設(shè)定理定理 8.1.1 環(huán)環(huán)(R, +, x x)沒(méi)有零因子的充要條件是沒(méi)有零因子的充要條件是 (R, +, x x)滿足消去律。滿足消去律。證證. 充分性充分性 環(huán)環(huán)

6、(R, +, x x)滿足消去律，假如環(huán)有零因子。滿足消去律，假如環(huán)有零因子。 不妨設(shè)不妨設(shè)a, b為環(huán)的非零元，且為環(huán)的非零元，且ab=0，則，則ab=0b=0，由消去由消去律得律得a=0，與，與a為環(huán)的非零元矛盾，于是環(huán)沒(méi)有左零因子。為環(huán)的非零元矛盾，于是環(huán)沒(méi)有左零因子。類似地可以證明環(huán)也沒(méi)有右零因子。類似地可以證明環(huán)也沒(méi)有右零因子。 必要性必要性 環(huán)沒(méi)有零因子，環(huán)沒(méi)有零因子， 若若ax=ay，a為環(huán)的非零元，則為環(huán)的非零元，則a(x-y)=0，必有，必有x-y=0，即，即x=y，所以環(huán)滿足左消去律。類似地可以證明環(huán)也滿足右，所以環(huán)滿足左消去律。類似地可以證明環(huán)也滿足右消去律。消去律。推論

7、推論 8.1.1 在一個(gè)環(huán)在一個(gè)環(huán)(R, +, x x)中，若左（右）消去中，若左（右）消去律成立，則左（右）消去律也成立。律成立，則左（右）消去律也成立。定義定義 8.1.4 稱一個(gè)稱一個(gè)無(wú)無(wú)零因子的、含幺的、交換環(huán)零因子的、含幺的、交換環(huán)(R, +, x x)為為整環(huán)。整環(huán)。例例 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)(Z,+,x x)是是整環(huán)，多項(xiàng)式環(huán)整環(huán)，多項(xiàng)式環(huán)(Px,+,x x)是是整環(huán)整環(huán) 定理定理 8.1.2 整環(huán)整環(huán)(R, +, x x)中每一個(gè)非零元素對(duì)于加中每一個(gè)非零元素對(duì)于加法的階都是相同的。法的階都是相同的。證證. 如果整環(huán)如果整環(huán)(R, +, x x)中每一非零元素對(duì)于加法的階都是無(wú)中每一非

8、零元素對(duì)于加法的階都是無(wú)窮的，則定理顯然是對(duì)的。窮的，則定理顯然是對(duì)的。 如果存在一個(gè)非零元素如果存在一個(gè)非零元素 a的階是的階是 n，那么，那么 b R，b0，我們來(lái)證明我們來(lái)證明 b的階也是的階也是 n。由于。由于a(nb)=n(ab)=(na)b=0，因，因此此a(nb)=0。又因整環(huán)無(wú)零因子，及。又因整環(huán)無(wú)零因子，及a0 ，故，故nb=0，從而從而b的階不超過(guò)的階不超過(guò) n。不妨設(shè)不妨設(shè)b的階是的階是 m，則，則m n。另一方面，。另一方面， 由由b(ma)=m(ba)=(mb)a=0，則同，則同樣有樣有n m，于是，于是m=n，即，即元素元素b的階等于元素的階等于元素a的階。的階。

9、定義定義 8.1.5 稱整環(huán)稱整環(huán)(R, +, x x)中非零元素對(duì)于加法的中非零元素對(duì)于加法的階為階為(R, +, x x)的特征。的特征。例例 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)(Z,+,x x)的特征是的特征是無(wú)窮大，而無(wú)窮大，而模模3的剩余類的剩余類環(huán)環(huán)(Z3,+3,x x3)的特征是的特征是3 注意注意 在定理在定理8.1.2的證明中我們僅用到整環(huán)無(wú)零的證明中我們僅用到整環(huán)無(wú)零因子這一條件。因而定理因子這一條件。因而定理8.1.2對(duì)于任何無(wú)零因?qū)τ谌魏螣o(wú)零因子環(huán)來(lái)說(shuō)也是正確的。因此，對(duì)于無(wú)零因子環(huán)，子環(huán)來(lái)說(shuō)也是正確的。因此，對(duì)于無(wú)零因子環(huán)，我們也有特征的概念。我們也有特征的概念。 在實(shí)數(shù)域中，有二項(xiàng)式公式

10、：在實(shí)數(shù)域中，有二項(xiàng)式公式： 在特征在特征 p的整環(huán)中，有公式：的整環(huán)中，有公式：(a+b)p=ap+bp 原因在于當(dāng)原因在于當(dāng)0kp時(shí)，有時(shí)，有 nkkknknnbaCba0)(0)(,|1 kkpkpkkpkpkpbapCpabaCCp 從環(huán)從環(huán)R到到R自身的同態(tài)稱為自同態(tài)；從環(huán)自身的同態(tài)稱為自同態(tài)；從環(huán)R到到R自自身的同構(gòu)稱為自同構(gòu)。身的同構(gòu)稱為自同構(gòu)。 設(shè)整環(huán)設(shè)整環(huán)(R, +, x x)的特征為的特征為 p ( p0)，則，則 映射映射 : a ap是單射是單射自同態(tài)。自同態(tài)。定理定理 8.1.3 若一個(gè)無(wú)零因子環(huán)若一個(gè)無(wú)零因子環(huán)(R, +, x x)的特征是有的特征是有限的，則一定是素?cái)?shù)。限的，則一定是素?cái)?shù)。證證. 如果如果(R, +, x x)的特征的特征 n不是素?cái)?shù)，則存在