數(shù)的結(jié)構(gòu)分析

1、數(shù)的結(jié)構(gòu)分析單位量與單位數(shù)四則運(yùn)算中，不論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)，只有在單位量都相同之下，才對(duì)單位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。以下分別舉例說(shuō)明之。一、加法：所謂的加法，就是相同單位，兩數(shù)合併後重新點(diǎn)算。1. 整數(shù)加法：以7加8為例。7和8的單位量都是1, 7單位數(shù)為7個(gè)1組成, 8單位數(shù)為8個(gè)1組成。兩數(shù)的單位量都是1，因?yàn)閱挝涣肯嗤?，所以可以合?為15。1 12.分?jǐn)?shù)加法:是將1切成4份佔(zhàn)1份，即1個(gè)，所以一的442 1單位量為4，單位數(shù)為11點(diǎn)算得11個(gè)啟，寫(xiě)成秒。兩數(shù)的單位量並非只有一個(gè)共同單位，也可分為24、48等份，只要是兩數(shù)共同等份都可以。不過(guò)為了計(jì)算方便，我們習(xí)慣選擇最小 等份（即最小公倍數(shù)）。1

2、. 小數(shù)加法：以0.4加0.14為例。0.4的單位量0.1，單位數(shù)4; 0.14的單位量0.01，單位數(shù)14。兩數(shù)的單位量不同，所以必須重新等。找到共同的單位量。同樣的，3的單位量為3。單位數(shù)為3少？或它的-倍是多少？）。此時(shí)，先回到分?jǐn)?shù)的基本概念，是把1切成4份，兩數(shù)的單位量不同，無(wú)法進(jìn)行加法運(yùn)算，因此我們必須先將兩數(shù)重新等分（即通分），找到1 1 1共同的單位量。即將3和4通分，每個(gè)4分成4份，則原來(lái)的1就變成12等份,1 311原4佔(zhàn)12等份中的3等份，即12 （單位量12，單位數(shù)3）。同樣的，把每個(gè)32 8 1分成4份，則原來(lái)的1就變成12份，原3佔(zhàn)12份中的8份，即后（單位量擊，1單

3、位數(shù)8）。如此兩數(shù)的單位量都變成衫後，單位數(shù)3和8即可進(jìn)行合併，重新1 10.4的單位量為材，因此我們必須將其切成10份每份就變成云，如此原來(lái)的單位數(shù)4，在100份中，就變成佔(zhàn)40份；原來(lái)的單位數(shù)14，則佔(zhàn)14份。 兩數(shù)找到共同等份後，就可以合併為 0.54。二、減法：相同單位中，從某數(shù)中拿走某定量後，重新點(diǎn)算。1. 整數(shù)減法。以10減4為例。10的單位量1，單位數(shù)10 ； 4的單位量1，單位數(shù)4。兩數(shù)單位量相同，所以可直接進(jìn)行拿去的動(dòng)作，剩下6個(gè)單位數(shù)，單位量1。1111112. 分?jǐn)?shù)的減法：以-減-為例。單位量-，-的單位數(shù)1。單位量-，-的2 52255單位數(shù)1,0兩數(shù)的單位量不同，所以

4、要進(jìn)行減法運(yùn)算前，必須先將兩種單位量1 1化為相同單位量，即把每個(gè)2分為5份，原來(lái)的1變成就10等份，原2佔(zhàn)5份，5112即二；每個(gè)；分成2份，原來(lái)的1就變成10等份。原佔(zhàn)2等份，即石。單1055101 1位量10，單位數(shù)2o兩數(shù)的單位量都變成10後，就可針對(duì)單位數(shù)進(jìn)行減法動(dòng)作。被減數(shù)5,拿去2後，重新點(diǎn)算剩下3，即3. 小數(shù)減法：以0.9減0.5為例。0.9的單位量0.1,單位數(shù)9; 0.5的單位量0.1， 單位數(shù)5。兩數(shù)單位量相同，可以直接進(jìn)行運(yùn)算。從0.9直接拿走5個(gè)0.1，重新點(diǎn)算，剩下4個(gè)0.1。即0.4。三、乘法：相同單位中，一定量連加幾次後，重新點(diǎn)算。1. 整數(shù)乘法：以4乘以5為

5、例。定量4，連加5次（而非第1次加4，第2次加 0.4 ），或說(shuō)成4的5倍，也就是5個(gè)4堆，重新點(diǎn)算是20。3 232322. 分?jǐn)?shù)乘法：以乘以；為例。首先確定定量為，連加：次（或的：是多4 34343 2 313233佔(zhàn)413份，或3個(gè)4。4的3倍則是把4再切成3份後，得応，然後連加2次32因此4篤就成了3 2436123，也就是46七2 =123. 小數(shù)乘法：以0.3乘0.2為例。首先確定量為0.3，把1分成10等份，取其3 321中3份，再和10等份比較，即材。扁連加亦次，就是把每個(gè)石又分成10份，1就變成100份，再把原來(lái)三等份連加兩次，最後和100份比較，佔(zhàn)3 2=6 份，即6%，換

6、算成小數(shù)為0.06。四、除法：它含有倆個(gè)概念。第一，等分除：把被除數(shù)等分成幾份後，每份佔(zhàn)多少。第二，包含除：以除數(shù)為1，比被除數(shù)比了幾次。1. 整數(shù)除法：以8除2等於4為例。若把8個(gè)蘋(píng)果分給2個(gè)人，每人的到4個(gè) 蘋(píng)果。等分兩個(gè)4份，所以為等分除。我有8個(gè)蘋(píng)果，你有2個(gè)，我是你的幾倍。 以你為1,和8個(gè)蘋(píng)果比較，可比4次，所以為包含除。4 412. 分?jǐn)?shù)除法：以一除以3為例。的單位量為一，單位數(shù)4。將4份平均分成35 55111等份。將4 （；）先各分1,剩下1（；），再將1仃）平均切成3等份後，每5 551 1等份為：1個(gè)一，又分成3等份其中的一等份，但此等份在全部1中佔(zhàn)多少呢?5515因?yàn)樗?/p>

7、不容易命名。因此，一開(kāi)始要平均等分時(shí)，直接將每個(gè)切成3等份，一55151121就變成二 等份，題目上要求分4個(gè)：；也就是二o 12 （）平均分3等份後,15515154每等份為：4小等份，佔(zhàn)15份中的4份，即廠。此為等分除。15 1再以除以為例，說(shuō)明包含除。包含除是以除數(shù)為 1，比被除數(shù)比了 34 1幾次。換言之，也就是被除數(shù)為除數(shù)的幾倍。首先要先將 -和3找到共通的單位5 311141211（通分），和的共通單位為，為，單位量為，單位數(shù)為12。-通531551515351分後為廠，5為單位數(shù)。廠為單位量，單位相同後，即可比較單位數(shù)。以除數(shù)1515025為1，比被除數(shù)12，比了 2又一次，即5

8、1.小數(shù)除法：以1.5除0.2為例。兩數(shù)的單位都是0.1，1.5有15個(gè)0.1，0.2有2個(gè)0.1，單位相同，取2和15比較，比1 1了 7又次，即7?，即7.5。四則運(yùn)算中，以分?jǐn)?shù)的乘法和除法最難理解，學(xué)生常常搞錯(cuò)。分?jǐn)?shù)的乘法先用乘數(shù)的分母除，找到共同單位後，分子連加，再和原來(lái)的1比較。分?jǐn)?shù)的除法先弄清楚：包含除和等分除。等分除和分?jǐn)?shù)乘法的差別，就在等分除先用除數(shù)的分子除，找到小單位後，再乘1所包含幾個(gè)這個(gè)小單位，便可找2 33 23到1。例：一塊布的一是一公尺，這塊布是多少公尺？在中，一公尺佔(zhàn)3等3 55 353 3份中的2等份，因此先將；公尺分成兩等份，找到1等份為二公尺。1有3等份，5

9、1033再將公尺乘以3,就可找到1塊布的長(zhǎng)度。所以等分除的算式|-2 3先用除數(shù)103 - 必須及；。等單位都是；後，以除數(shù)的單位數(shù)4為1,比3,比了次。所以, 6 664的分子除，和分?jǐn)?shù)的乘法先用乘數(shù)的分母除不同。（回到分?jǐn)?shù)*整數(shù)）1包含除就必須先分分母，找出相同的單位量。例：一條紅色緞帶長(zhǎng) 公尺,2 分?jǐn)?shù)包含除先通分找出相同的單位量後，再算整數(shù)的除法。2綠色緞帶是3公尺，紅色緞帶是綠色的幾倍？此時(shí)1 22耳單位數(shù)不同，先通分為乘、除法若無(wú)具體操作的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)於問(wèn)題情境將很難掌握。一般學(xué)生對(duì)於 乘除符號(hào)難以掌握，其關(guān)鍵就在此。四則運(yùn)算之間的概念是相當(dāng)密切。在教學(xué)過(guò)程中，教師若對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)的觀念不

10、清楚，就很難引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用以前學(xué)過(guò)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。目前課本中的教材並 無(wú)特別強(qiáng)調(diào)縱的聯(lián)結(jié)，故造成學(xué)生無(wú)法獲得有意義的學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)到的概念往往前 後的呈現(xiàn)不一致，致新舊概念無(wú)法同化，而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生錯(cuò)亂的感覺(jué)，當(dāng)然他們就不 可能喜歡數(shù)學(xué)了。例如：分?jǐn)?shù)除法為什麼要顛倒相乘。原先所學(xué)到除法的觀念，如 果老師在教學(xué)中，無(wú)法讓學(xué)生得到前後一致性的理解，就會(huì)帶給學(xué)生太多的不確定 感 這就好像對(duì)空畫(huà)餅一般，學(xué)生吃不到卻又強(qiáng)迫他們瞞騙自己說(shuō)，餅又香又好吃 任何數(shù)學(xué)工具的起源，都起自於處理生活情境問(wèn)題。所以，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題， 也必定看的到摸的到，也就是說(shuō)它們必定可以操作的。但是一般數(shù)學(xué)教學(xué)，卻硬生 生的將數(shù)學(xué)與問(wèn)

11、題情境分離，學(xué)生被拖出原有的問(wèn)題情境，不能體驗(yàn)到問(wèn)題，又如 何談數(shù)學(xué)敏感度呢！學(xué)生連問(wèn)題都摸不清頭緒，又如何採(cǎi)取解決方式呢？不幸的目 前數(shù)學(xué)教學(xué)，一再?gòu)?qiáng)調(diào)不斷的練習(xí)計(jì)算，結(jié)果學(xué)生熟練了算式，卻失去解決問(wèn)題的 樂(lè)趣。另一方面，當(dāng)我們?cè)诮淌艺勛鹬貙W(xué)生，是不是應(yīng)該就實(shí)質(zhì)的層面來(lái)考慮，以 學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，不就是維護(hù)學(xué)生受教權(quán)的尊重嗎？而要解決學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的厭 煩，就必須將問(wèn)題的回復(fù)到現(xiàn)實(shí)情境，也就是教材有現(xiàn)場(chǎng)感，讓學(xué)生切身的體驗(yàn)問(wèn) 題，並造成衝突。對(duì)教師來(lái)說(shuō)，除非他願(yuàn)意花費(fèi)時(shí)間等待學(xué)生，讓學(xué)生身歷其境， 活在當(dāng)下，否則，一味追逐速度的快感，只會(huì)付出更大的代價(jià)。再者，回到教室現(xiàn) 場(chǎng)感時(shí)，學(xué)生所面臨的各

12、種問(wèn)題，非常需要教師有意識(shí)引導(dǎo)。在無(wú)安排的情況下， 那會(huì)造成學(xué)生更多的挫折感。因此從問(wèn)題的安排考慮，如果教師提問(wèn)無(wú)系統(tǒng)的安 排，或放任學(xué)生自行摸索，更能顯現(xiàn)教師專業(yè)的素養(yǎng)?；鶞?zhǔn)量和比較量本單元主要是要銜接六上（第十一冊(cè)）第 10單元比值的觀念。但這些教材內(nèi) 容都是由乘法和除法演化的觀念而來(lái)的。因此，要學(xué)習(xí)本單元時(shí)，必須先回到乘、除法的基本觀念，才能幫助於學(xué)生理解本單元。本單元分為三層意義：第一層問(wèn)題的意義，其問(wèn)題如下：小明有六個(gè)蘋(píng)果，小英有兩個(gè)，小明是小英的幾倍？紅緞帶8公尺，綠緞帶2公尺，紅是綠色緞帶的幾倍？以上的量都是有具體的量，以後者為 1,也就是基準(zhǔn)量，比前者（比較量）比 了幾次，得到

13、的答案皆為所比較之後的次數(shù)，也就是比值。第二層次的意義，其問(wèn)題型態(tài)如下：一隻青蛙有兩隻腿，六隻青蛙幾隻腿？一盤(pán)子裝5個(gè)蘋(píng)果，5個(gè)盤(pán)子有多少蘋(píng)果？以上每個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)兩個(gè)量，其一是為基準(zhǔn)量，另一則把基準(zhǔn)量當(dāng)成 1時(shí)，比較 之次數(shù)（比值）。因此，所列之乘式，被乘數(shù)表示為基準(zhǔn)量，乘數(shù)表示比值，所得 之?dāng)?shù)則為比較量。第三層次的意義，其問(wèn)題如下：我的錢是你的三倍，我有30元，你有多少元？我的年齡是弟弟的5倍，我是25歲，弟是幾歲？以上的問(wèn)題都是知道倍數(shù)所呈現(xiàn)的量，要求另一數(shù) 1倍的量。因此，倍數(shù)所呈 現(xiàn)的量為比較量，比較之次數(shù)為比值。所以比較量除比值，即可找到基準(zhǔn)量，也就 是1倍的量有多少。從本單元基準(zhǔn)量和

14、比較量的三層意義， 我們可以了解它與乘、除法的概念關(guān)係 密切。因此，教學(xué)前先復(fù)習(xí)乘、除法的舊經(jīng)驗(yàn)，之後導(dǎo)入本單元。母子和本單元主要連結(jié)基準(zhǔn)量和比較量，基準(zhǔn)量又叫母數(shù)，比較量又叫子數(shù)，基準(zhǔn)量與 比較量的和就叫母子和。主要內(nèi)容： 求母子和母數(shù)與子數(shù)為整數(shù)倍、小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)倍和百分?jǐn)?shù)等關(guān)係。由母子和求母數(shù)或子數(shù)其問(wèn)題類型如下：哥哥的年齡是弟弟年兩倍，哥哥是 24歲，請(qǐng)問(wèn)倆人共幾歲？（整數(shù)倍） 紅緞帶比綠緞帶多0.2公尺，紅緞帶為50元，請(qǐng)問(wèn)兩條緞帶共多少元？（小數(shù)倍）我的錢是你的2倍，我是9元，那我們共多少錢？（分?jǐn)?shù)倍）小明存款3000元，銀行利率5%,請(qǐng)問(wèn)一年後小明可領(lǐng)回多少元？（百分?jǐn)?shù)）甲、乙共350元，甲是乙的1.5倍，請(qǐng)問(wèn)乙是多少元？（求母數(shù)）學(xué)生若未明確了解單位數(shù)、量，而直接以公式運(yùn)算，學(xué)生就只將答案計(jì)算出來(lái)， 卻不知其具體意義。在實(shí)施本單元教學(xué)時(shí)，老