虛功原理(微分形式的變分原理)

1、7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 受有受有理想約束理想約束、 定常約束定常約束的力學(xué)系統(tǒng)的力學(xué)系統(tǒng), 保持保持靜靜平平衡的必要衡的必要充分充分條件是作用于該系統(tǒng)的全部條件是作用于該系統(tǒng)的全部主動力主動力的虛功之和的虛功之和為零為零. 01iniirF在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, , 上式寫成上式寫成 0)(1iiziiyiniixzFyFxF7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)相對慣性系處于當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)相對慣性系處于 靜靜 平衡時平衡時, , 0RiiFFni,.,2 , 10)(iRiirFFni

2、,.2 , 1011iniRiiniirFrF必要條件的證明：必要條件的證明： 對理想約束對理想約束0001iniirF7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 若系統(tǒng)的主動力虛功之和為零若系統(tǒng)的主動力虛功之和為零, ,充分條件的證明：充分條件的證明： 01iniirF對于受有理想約束的系統(tǒng)對于受有理想約束的系統(tǒng) 011iniRiiniirFrF力學(xué)系統(tǒng)的約束是定常的力學(xué)系統(tǒng)的約束是定常的, , 各質(zhì)點的無限小實位移各質(zhì)點的無限小實位移必與其中一組虛位移重合必與其中一組虛位移重合, , 故系統(tǒng)的主動力和約束故系統(tǒng)的主動力和約束力的實功之和也滿足上式力的實功之

3、和也滿足上式 0dd11iniRiiniirFrF根據(jù)質(zhì)點系的動能定理根據(jù)質(zhì)點系的動能定理 0ddd11iniRiiniirFrFT常常量量T說明系統(tǒng)開始時靜止說明系統(tǒng)開始時靜止, , 以后就會始終保持靜止以后就會始終保持靜止 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 幾點說明：幾點說明： (1) 普適性普適性. (2) 在變動中尋找平衡的條件在變動中尋找平衡的條件. 例如單擺例如單擺 gmrgmr,0時時0 rgm,0時時0 rgm置置的的位位置置為為單單擺擺的的平平衡衡位位0(3) 與牛頓力學(xué)不同與牛頓力學(xué)不同, 分析力學(xué)的方法不是將注意力分析力學(xué)的方法

4、不是將注意力放在區(qū)分內(nèi)力和外力上放在區(qū)分內(nèi)力和外力上, 而是放在區(qū)分而是放在區(qū)分主動力主動力和和約約束力束力上上. 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 如圖所示提升重物的裝置如圖所示提升重物的裝置 , ,以把手端點的弧坐標(biāo)以把手端點的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo), , 設(shè)重物距地面高度為設(shè)重物距地面高度為h, 根據(jù)虛功原理根據(jù)虛功原理 0hWsFshWF如果知道如果知道h和和s的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系, 通過上式通過上式, 就可求出就可求出 F(4) 虛功原理中所說的主動力所做虛功之和為零虛功原理中所說的主動力所做虛功之和為零, 是是對對任意的任意的虛位移

5、而言的虛位移而言的, 而不是針對特殊的虛位移而不是針對特殊的虛位移 .由于虛功原理的方程中不出現(xiàn)約束力由于虛功原理的方程中不出現(xiàn)約束力, , 因此不能由因此不能由虛功原理求出約束力虛功原理求出約束力, , 但是但是, , 通過通過釋放約束釋放約束或用或用不不定乘子法定乘子法, , 可以求出約束力可以求出約束力 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 01iniirF0)(,1iiziiyiniixzFyFxF或或據(jù)虛功原理據(jù)虛功原理,有有為了得到廣義平衡方程為了得到廣義平衡方程, , 需要將虛功原理化為以需要將虛功原理化為以廣義坐標(biāo)表述的形式廣義坐標(biāo)表述的

6、形式. . 01qQs展開后寫成展開后寫成 02211 ssqQqQqQ01q若若相相互互獨獨立立q0,.,2sqq011qQ01Q在在完整系完整系中中, , 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 0,1q若若同同理理相相互互獨獨立立q0,.,31sqqq022qQ02Q推出推出,0Qs , 2 , 1 廣義平衡方程廣義平衡方程 虛功原理又可敘述為虛功原理又可敘述為: : 對于受對于受完整的完整的、定常的定常的、理想約束的理想約束的力學(xué)系統(tǒng)力學(xué)系統(tǒng), , 保持保持靜平衡靜平衡的必要充分條的必要充分條件是件是所有的所有的廣義力都為零廣義力都為零. . 對于

7、主動力均為有勢力的有勢系對于主動力均為有勢力的有勢系, , 有有qVQ所以所以, ,廣義平衡方程成為廣義平衡方程成為 0qVs , 2 , 1 01qqVs代入虛功原理中代入虛功原理中, ,有有0,V即即7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 例題例題3 如圖所示如圖所示, 勻質(zhì)桿勻質(zhì)桿OA, 質(zhì)量為質(zhì)量為m1, 長為長為l1, 能在能在豎直平面內(nèi)繞固定的光滑鉸鏈豎直平面內(nèi)繞固定的光滑鉸鏈 O轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 此桿的此桿的 A端端用光滑鉸鏈與另一根質(zhì)量為用光滑鉸鏈與另一根質(zhì)量為m2,長為長為l2的勻質(zhì)桿的勻質(zhì)桿 AB相連相連. 在在 B端有一水平作用力端有一水平

8、作用力 .求處于靜平衡時求處于靜平衡時, 兩兩桿與鉛垂線的夾角桿與鉛垂線的夾角1和和 2.FAl1Bl2FOxy121、判斷約束類型、判斷約束類型是否完整約束是否完整約束?是否理想約束是否理想約束?2、判斷自由度、判斷自由度224s2211,qq個個變變量量兩兩點點的的位位置置，、4BA21,lABlOA7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） PR質(zhì)量為質(zhì)量為m的小環(huán)的小環(huán)P被限制在一個被限制在一個半徑為半徑為R的光滑大圓環(huán)上的光滑大圓環(huán)上,大圓大圓環(huán)繞過大環(huán)中心的鉛垂軸以環(huán)繞過大環(huán)中心的鉛垂軸以的角速度均勻轉(zhuǎn)動的角速度均勻轉(zhuǎn)動,以小環(huán)為系以小環(huán)為系統(tǒng)統(tǒng),

9、試確定其自由度試確定其自由度.質(zhì)點在球坐標(biāo)系中用質(zhì)點在球坐標(biāo)系中用r,描述描述Rr 0t非定常約束非定常約束1 s3、分析受力、分析受力(主動力主動力)ABFOxy12gm1111, yxCgm2222, yxCFgmgm,217-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 4、由虛功原理、由虛功原理032211rFrgmrgm5、建立坐標(biāo)系、建立坐標(biāo)系(必須是靜止坐標(biāo)系必須是靜止坐標(biāo)系)xx032211xFygmygm6、轉(zhuǎn)化成廣義坐標(biāo)、轉(zhuǎn)化成廣義坐標(biāo)111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx1111sin2ly2221112

10、sin2sinlly2221113coscosllxy7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 1112111sinsin21coslgmgmF0sin21cos22222lgmF廣義力廣義力廣義力廣義力互互相相獨獨立立和和由由于于210sin21cos0sinsin21cos2222111gmFgmgmF廣義平衡方程廣義平衡方程 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 可求出系統(tǒng)處于靜平衡時可求出系統(tǒng)處于靜平衡時1，2所滿足的方程所滿足的方程: gmFgmmF221212tan22tan所以所以 gmFgmmF2212

11、12arctan22arctan7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 法二法二 先求出廣義力先求出廣義力,再寫出平衡方程再寫出平衡方程s=2, 所以有所以有2個廣義力個廣義力 1iiiqrFQ32 , 1FFgmFgmF32211,其其中中2211,qq1111rgmQgm212r13rF111ygm122ygm13xF11112111cossinsin21Flglmglm02211322112111sinsincos2coscos2llxllyly7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 2211322112111s

12、insincos2coscos2llxllyly232222112rFrgmrgmQ23222211xFygmygm22222cossin21Flglm0虛功原理主要用于求解：虛功原理主要用于求解：(1)(1)系統(tǒng)的靜平衡位置；系統(tǒng)的靜平衡位置； (2)(2)維持系統(tǒng)平衡時作用于系統(tǒng)上的主動力之間維持系統(tǒng)平衡時作用于系統(tǒng)上的主動力之間的關(guān)系的關(guān)系. .7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 應(yīng)用虛功原理解題的主要步驟是：應(yīng)用虛功原理解題的主要步驟是：(1)明確系統(tǒng)的約束類型明確系統(tǒng)的約束類型, 看是否滿足虛功原理所要看是否滿足虛功原理所要求的條件；求的條件

13、；(2)正確判斷系統(tǒng)的自由度正確判斷系統(tǒng)的自由度, 選擇合適的廣義坐標(biāo)；選擇合適的廣義坐標(biāo)；(3)分析并圖示系統(tǒng)受到的主動力；分析并圖示系統(tǒng)受到的主動力；(4)通過坐標(biāo)變換方程通過坐標(biāo)變換方程, 將虛功原理化成將虛功原理化成 01SqQ的形式的形式, , 進(jìn)而得出廣義平衡方程進(jìn)而得出廣義平衡方程 , 0Q., 2 , 1s對有勢系對有勢系, 求出系統(tǒng)的勢能求出系統(tǒng)的勢能V 后，后，可通過可通過 0/qVs , 2 , 1得廣義平衡方程得廣義平衡方程; ; (5)求解廣義平衡方程求解廣義平衡方程. 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 1 1、利用釋放約束

14、的方法求約束力、利用釋放約束的方法求約束力 例題例題4 試求例題試求例題3中中O處的約束力處的約束力.4s241321,qqyqxqNFFgmgm,21主主動動力力為為代入虛功原理代入虛功原理, ,得得032211xFygmygmyFxFyxNNgmmFFFNyNx21可解出約束力可解出約束力: : 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 2、不定乘子法、不定乘子法.(拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法) 先設(shè)先設(shè)系統(tǒng)由系統(tǒng)由1個質(zhì)點組成個質(zhì)點組成, 受受1個完整約束個完整約束 0,zyxf用用3個直角坐標(biāo)作為描述系統(tǒng)位置的變量個直角坐標(biāo)作為描述系統(tǒng)位置的變量.

15、 于是當(dāng)系統(tǒng)于是當(dāng)系統(tǒng)平衡時平衡時, 應(yīng)滿足虛功原理應(yīng)滿足虛功原理 0zFyFxFzyx得得出出的的它它們們滿滿足足由由約約束束方方程程不不是是相相互互獨獨立立的的但但式式中中,zyx0zzfyyfxxf乘待定常數(shù)乘待定常數(shù)( (不定乘子不定乘子) ) ，與前式相加與前式相加, , 得得 0)()()(zzfFyyfFxxfFzyx7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） .,依依然然不不獨獨立立zyx0)()()(zzfFyyfFxxfFzyx.,獨獨立立則則不不獨獨立立假假定定zyx即即的的系系數(shù)數(shù)為為值值使使適適當(dāng)當(dāng)選選取取, 0 x0zfFz0),(

16、000,zyxfzfFyfFxfFzyx則則,),(,0),(,定常數(shù)定常數(shù)和待和待可求出平衡位置可求出平衡位置聯(lián)立求解聯(lián)立求解與約束方程與約束方程已知已知主動力主動力zyxzyxfF稱為稱為不定乘子不定乘子,又稱又稱拉格朗拉格朗日乘子日乘子. . 這種方法稱為這種方法稱為不定乘子法不定乘子法. . 不定乘子不定乘子是一個與約束力有關(guān)的量是一個與約束力有關(guān)的量. 7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 將約束都釋放將約束都釋放, , 并將約束力視為主動力并將約束力視為主動力, , 虛功原理成為虛功原理成為0)()()(zFFyFFxFFRzzRyyRxx.

17、,相相互互獨獨立立zyx即即 000RzzRyyRxxFFFFFF可知可知xfFRxyfFRyzfFRz設(shè)想質(zhì)點被約束在一個光滑曲面上設(shè)想質(zhì)點被約束在一個光滑曲面上, ,其約束力為其約束力為 kFjFiFFRzRyRxRkzfjyfixf即即 fFR說明約束力沿曲面的法線方向，說明約束力沿曲面的法線方向， .的的比比例例系系數(shù)數(shù)與與是是約約束束力力fFR7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 一般性討論一般性討論設(shè)一力學(xué)系統(tǒng)由設(shè)一力學(xué)系統(tǒng)由n個質(zhì)點組成個質(zhì)點組成,受到受到 k個完整約束的限制個完整約束的限制 0,iiizyxfk, 2 , 1則則3n個坐標(biāo)

18、中有個坐標(biāo)中有 k個是不獨立的個是不獨立的. 系統(tǒng)平衡時系統(tǒng)平衡時, 應(yīng)滿足應(yīng)滿足虛功原理虛功原理 01niiiziiyiixzFyFxF,3不不是是相相互互獨獨立立的的個個式式中中的的iiizyxn它們滿足它們滿足k個由完整約束給出的方程個由完整約束給出的方程: 01niiiiiiizzfyyfxxfk, 2 , 17-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） inikiixxxfF11ikiiyyyfF101ikiizzzfF000., 2 , 1ni與與k個約束方程聯(lián)立求解個約束方程聯(lián)立求解, k個個與平衡位置坐標(biāo)便可與平衡位置坐標(biāo)便可同時求出同時求出.

19、稱為稱為不定乘子不定乘子, , 又稱又稱拉格朗日乘子拉格朗日乘子. . 這這種方法稱為種方法稱為不定乘子法不定乘子法. . 將將k個完整約束都釋放個完整約束都釋放, 并將約束力都視為主動力并將約束力都視為主動力, 虛功原理成為虛功原理成為 01iRiziziRiyiyiniRixixzFFyFFxFF7-3 7-3 虛功原理（微分形式的變分原理）虛功原理（微分形式的變分原理） 3n個坐標(biāo)變分變成完全獨立的了個坐標(biāo)變分變成完全獨立的了, 所以所以 000RizizRiyiyRixixFFFFFFni, 2 , 1kiRizkiRiykiRixzfFyfFxfF111ni, 2 , 1000111kiizkiiykiixzfFyfFxfF與與比較比較不定