三角形相似 (2)

1、第六章第二課時：第六章第二課時： 三角形相似三角形相似 要點、考點聚焦要點、考點聚焦 課前熱身課前熱身 典型例題解析典型例題解析 課時訓練課時訓練 要點、考點聚焦要點、考點聚焦1.1.本課時的重點是相似三角形的判定和性質本課時的重點是相似三角形的判定和性質. .2.2.相似三角形的定義：對應角相等，對應邊成相似三角形的定義：對應角相等，對應邊成比例的三角形比例的三角形.3.3.相似三角形的判定定理及其推論相似三角形的判定定理及其推論判定定理判定定理1 1：兩角對應相等的兩個三角形相似：兩角對應相等的兩個三角形相似. .判定定理判定定理2 2：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個：兩邊對應成比例且夾角

2、相等，兩個三角形相似三角形相似. .判定定理判定定理3 3：三邊對應成比例的兩個三角形相似：三邊對應成比例的兩個三角形相似判定定理判定定理4 4：如果一個直角三角形的斜邊和一條：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似. .4.4.相似三角形的性質相似三角形的性質(1)(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例相似三角形對應角相等，對應邊成比例. .(2)(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分

3、線的比都等于相似比線的比都等于相似比. .(3)(3)相似三角形周長的比等于相似比相似三角形周長的比等于相似比. .推論：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形推論：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似和原三角形相似. . 要點、考點聚焦要點、考點聚焦課前熱身課前熱身2.2.如圖所示，在平行四邊形如圖所示，在平行四邊形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延長延長線上一點，線上一點，AGAG與與BDBD交于點交于點E E，與與DCDC交于點交于點F F，則則圖中相似三角形共有圖中相似三角形共有( ( ) ) A.3 A.3對對 B.4B.4對對 C.5 C.5對對

4、D.6D.6對對1.1.下列命題正確的是下列命題正確的是 ( ( ) )A.A.所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似B.B.所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似C.C.所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似D.D.以上結論都不正確以上結論都不正確CC3.3.若如圖所示，若如圖所示，ABCABCADBADB，那么下列關系成立的是那么下列關系成立的是 ( ( ) ) A.ADB=ACBA.ADB=ACBB.ADB=ABCB.ADB=ABCC.C.CDB=CDB=CABCABD.D.ABD=ABD=BDC BDC 4.4.ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4B

5、C=4，CA=9CA=9，ABCABCA AB BC C，A AB BC C最短為最短為1212，則它的最長邊的長度為，則它的最長邊的長度為( ( ) ) A.16 B.18 A.16 B.18 C.27 D.24 C.27 D.24 B BC C課前熱身課前熱身5.5.已知，如圖所示的，已知，如圖所示的，ABCABC中，中，ADADBCBC于于D D，下列條件：下列條件：B+B+DAC=90DAC=90B=B=DACDACCD/AD=AC/ABCD/AD=AC/ABABAB2 2=BC=BCB BC C能得到能得到BAC=90BAC=90的有的有 ( ( ) ) A.0A.0個個 B.1B.

6、1個個C.2C.2個個 D.3D.3個個 C C課前熱身課前熱身典型例題解析典型例題解析【例【例1 1】如圖所示，要判定】如圖所示，要判定ABCABC的面積是的面積是PBCPBC面積的幾面積的幾倍，只用一把僅有刻度的直尺，需要度量的次數(shù)最少是倍，只用一把僅有刻度的直尺，需要度量的次數(shù)最少是 ( ) ( )A.3A.3次次 B.2B.2次次C.1C.1次次 D.3D.3次以上次以上 C【解析】這道題乍一看，認為同底，只要知道高之比，就知道面【解析】這道題乍一看，認為同底，只要知道高之比，就知道面積之比，故選積之比，故選B B，其實不然，只要過其實不然，只要過APAP量一次，連接量一次，連接APA

7、P并延長交并延長交BCBC于于D D，DPDP與與ADAD的比就等于的比就等于PBCPBC與與ABCABC的面積比，理由是：分別過的面積比，理由是：分別過A A、P P作作BCBC的垂線段，根據(jù)兩三角形相似的性質知：的垂線段，根據(jù)兩三角形相似的性質知：DP/AD=PE/AF.DP/AD=PE/AF.所以正確的答案是所以正確的答案是C.C.【例【例2 2】(2003.(2003.江蘇無錫市江蘇無錫市) )已知，如圖所示的四已知，如圖所示的四邊形邊形ABCDABCD為菱形，為菱形，AFAFBCBC于于F F， (1)(1)求證：求證：ADAD2 2= DE= DEDB.DB.(2)(2)過點過點E

8、 E作作EGAFEGAF交交ABAB于點于點G G，若線段若線段BEBE，DE(BEDE(BEDE)DE)的長是方程的長是方程x x2 2-3mx+2m-3mx+2m2 2=0(m=0(m0)0)的兩個根，的兩個根，且菱形且菱形ABCDABCD的面積為的面積為 ，求，求EGEG的長的長. .2136【解析】【解析】(1)(1)證等積式，首證等積式，首先想到化成比例式，但式子先想到化成比例式，但式子有有1212，應想到菱形的性質：，應想到菱形的性質：對角線互相垂直平分，故連對角線互相垂直平分，故連接接ACAC交交BDBD于于O O點，即點，即BD=2DOBD=2DO，所以所以ADAD2 2=DE

9、=DEDO DO ADDODEAD 找三角形相似，即要證找三角形相似，即要證ADEADE與與AODAOD相似，而相似，而EAD=90EAD=90 AOBD AOBD，所以所以ADEADEOAD.OAD.m=2m=2，m=-2m=-20(0(舍舍) )GEGEAF GFAF GFBCBC332CEBDBEADGE 2)2)解方程解方程DE=2mDE=2m，BE=mBE=m，由由ADADBCBC 12EFAEBEDE 由由ADAD2 2= DE= DEBD AD= mBD AD= m 213AE AE 22m3m4 =m EF= m EF= m AF= m m S菱菱ABCD=AFBC= 2123

10、m3m2336BCm23 【例【例3 3】(2003(2003山東省山東省) )如圖中的如圖中的(1)(1)是由五個邊長都是是由五個邊長都是1 1的正方形紙片拼接而成的，過點的正方形紙片拼接而成的，過點A A丹丹1 1的直線分別與的直線分別與BCBC丹丹1 1，BEBE交于點交于點M M、N N，且圖且圖(1)(1)被直線被直線MNMN分成面積相等的上、下分成面積相等的上、下兩部分兩部分. .(1)(1)求求 的值的值.(2).(2)求求MBMB、NBNB的長的長. .(3)(3)將圖將圖(1)(1)沿虛線折成一個無蓋的正方體紙盒沿虛線折成一個無蓋的正方體紙盒( (如圖如圖(2)(2)所所示示

11、) )后，求點后，求點M M、N N間的距離間的距離. . NB1MB1 圖（圖（1） 圖（圖（2） 【解析】【解析】(1)(1)A A1 1B B1 1MMNBNNBN，且且A A1 1B B1 1=BB=BB1 1=1=1 1MBMB1NBMBMBBANB111 即即, ,MB+NB=MBMB+NB=MBNBNB，即即 1NB1MB1 (2)(2)分成的兩部分面積相等得分成的兩部分面積相等得MBMBNB=NB= ，即，即MBMBNB=5 NB=5 MB+NB=5MB+NB=5，因此可以構造一元二次因此可以構造一元二次方程方程x x2 2-5x+5=0-5x+5=0，且且MBMBNB.NB.

12、MB= MB= ，NB= NB= 25255 255 (3)(3)由由(2)(2)已知已知B B1 1M=M= , ,2531255 . .2532554EN 圖圖(2)(2)中的中的BNBN與圖與圖(1)(1)中的中的ENEN相等相等. .BN=BBN=B1 1M M，即四邊形即四邊形BBBB1 1MNMN是矩形是矩形.MN=1.MN=1.【例【例4 4】如圖所示，梯形】如圖所示，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，B=90B=90，MNABMNAB，AB=6AB=6，BC=4BC=4，CD=3CD=3，設設DM=x.DM=x.(1)(1)設設MN=yMN=y，用用x x的代數(shù)式表

13、示的代數(shù)式表示y.y.(2)(2)設梯形設梯形MNCDMNCD的面積為的面積為S S，用用x x 的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示S.S.(3)(3)若梯形若梯形MNCDMNCD的面積的面積S S等于梯等于梯形形ABCDABCD的面積的的面積的1313，求，求DM.DM.【解析】【解析】(1)(1)過過D D作作DEDEABAB于于E E點交點交MNMN于于F F，MN=MF+FN=MF+3MN=MF+FN=MF+3，在在RtRtDAEDAE中中, ,AD= AD= 由由MNMNABAB , ,54322 ) )( (5x03x53yx53MF5x3MFDADMAEMF (2)(2)MNMNAB AB

14、 . . x54DF5x4DFADDMDEDF S=S= 21( (DC+MN)DC+MN)DF=DF= 256x2+ 512x(0 x(0 x x5)5)(3)(3)S S梯梯ABCDABCD= = 21(3+6)(3+6)4=184=18S S梯梯MNCDMNCD= = x512x256618312x1=-5+5 2，x2=-5-5 20(0(舍去舍去).).即即DM=-5+5 DM=-5+5 21. 1.常用輔助線構造基本圖形，如常用輔助線構造基本圖形，如“A”A”型，型，“X”X”型型等等. .2.2.證等積式常常先化成比例式，找相似三角形或中證等積式常常先化成比例式，找相似三角形或中

15、間比間比. . 課時訓練課時訓練1 . ( 2 0 01 . ( 2 0 0 4 4 年年 上 海 市上 海 市 ) ) 如 圖 所 示 ， 在 如 圖 所 示 ， 在 A B CA B C 中 ，中 ，AB=AC,AB=AC,A=36A=36，BDBD平分平分ABCABC，DE/BCDE/BC，那么在下列三那么在下列三角形中，與角形中，與ABCABC相似的三角形是相似的三角形是 ( )( )A. A. DBE DBE B. B. ADEADEC. C. ABD D. ABD D. AEC AEC B2 2( (20042004西寧西寧) )如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD邊長是邊長是

16、2 2，BEBECE,MN=1,CE,MN=1,線段線段MNMN的兩端在的兩端在CDCD、ADAD上滑動，當上滑動，當DM=DM= 時，時， ABEABE與以與以D D、M M、N N為頂點的三角形相似。為頂點的三角形相似。55255或或課時訓練課時訓練3.3.如圖，如圖，ABCDABCD是面積為是面積為a a2 2的任意四邊形，順次連接各邊中的任意四邊形，順次連接各邊中點得四邊形點得四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再順次連接，再順次連接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四邊形得到四邊形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重復同樣的方法直到得到四邊形，重復同樣的方法直到得到四邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，則四，則四邊形邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面積為的面積為 。n2a課時訓練課時訓練4.4.如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延長線上一點，延長線上一點，且且CG= CG= 31BCBC，則則 FGAF=( =( ) ) A.12/7 B.3/2A.12/7 B.3/2C.10/7 D.2/7C.10/7 D.2/7 A課時訓練課時訓練5.