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1、精品最優(yōu)捕魚模型一.問題的重述捕魚業(yè)在當(dāng)今社會(huì)中十分重要的行業(yè),捕魚量的大小決定著捕魚的經(jīng)濟(jì)效益,其中捕魚量與捕魚時(shí)間有著密切關(guān)聯(lián). 所以如何利用數(shù)學(xué)模型了解捕魚量與捕魚時(shí)間之間的關(guān)系,是一個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的問題.現(xiàn)假設(shè)在一個(gè)魚塘中投放若干魚苗,魚苗尾數(shù)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而減少,且相對(duì)減少率為常數(shù);每尾魚的重量隨著時(shí)間增長(zhǎng)而增加,且由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量增加率與魚的表面積成正比, 由于消耗引起的減少率與其重量本身成正比. 分析如下問題:?jiǎn)栴}一:建立尾數(shù)和時(shí)間的微分方程并求解;問題二:建立每尾魚重量和時(shí)間的微分方程并求解;問題三:用控制網(wǎng)眼的方法不捕小魚,從一定時(shí)刻開始捕撈,用尾數(shù)的相對(duì)減少率表示捕
2、撈能力,分析開始捕魚的最佳時(shí)刻,使得捕獲量最大,并建立相關(guān)模型 .二.問題分析1.針對(duì)問題一,根據(jù)相對(duì)減少率的數(shù)學(xué)定義,可以建立魚尾數(shù)和時(shí)間的微分方程;2.針對(duì)問題二, 將魚體假設(shè)為球體, 得出魚的表面積與它重量的關(guān)系,使得魚的重量完全成為一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù),進(jìn)一步建立出魚重量與時(shí)間的微分方程;3.針對(duì)問題三, 將捕撈行為看作連續(xù)的過程,瞬時(shí)捕撈量與瞬時(shí)捕魚尾數(shù)、每尾魚瞬時(shí)重量呈正相關(guān)關(guān)系,瞬時(shí)捕魚尾數(shù)與捕撈能力有關(guān),每尾魚瞬時(shí)重量可由對(duì)問題二的解答得出,總捕撈量即為瞬時(shí)捕撈量關(guān)于時(shí)間的積分.感謝下載載精品三.基本假設(shè)1 假設(shè)自然因素不會(huì)對(duì)魚的尾數(shù)產(chǎn)生影響;2 假設(shè)在整個(gè)捕撈過程中魚沒有繁衍行
3、為;3 假設(shè)每尾魚都均衡生長(zhǎng);4 假設(shè)在捕撈過程中魚的條數(shù)連續(xù);5 假設(shè)魚為球體 .四符號(hào)表示n0魚塘中最初投放的魚苗數(shù)量tnrVS時(shí)間魚塘內(nèi)魚苗尾數(shù)與時(shí)間的函數(shù)魚苗尾數(shù)的相對(duì)減少率每尾魚體積每尾魚表面積G每尾魚重量G0每尾魚初始重量每尾魚重量密度n(t )t 時(shí)刻魚塘內(nèi)魚苗尾數(shù)k2每尾魚重量減少率與其重量本身比例系數(shù)k1每尾魚重量增加率與魚表面積比例系數(shù)T能獲得最大捕撈量的初始時(shí)間E捕撈能力W總捕撈量感謝下載載精品五模型建立與求解模型一 . 魚苗尾數(shù)的相對(duì)減少率為常數(shù)r .n( t t )n( t )由相對(duì)減少率的定義得rn (t )tn( t t )n( t )rn (t )即 limtl
4、imt 0t 0即 dn rn(t ) dt解得 nn0 e rt模型二 . 假設(shè)魚為球體,體積為 V ,表面積為 S ,半徑為 R ,重量為 G ,初始重量為 G0 ,魚的密度為;且每尾魚的重量隨著時(shí)間增長(zhǎng)而增加,其中由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量增加率與魚表面積成正比(比例系數(shù)為k1 ),由于消耗引起的減少率與其重量本身成正比(比例系數(shù)為k2 ).由V4R3,S=4R2,GV 得322343G 3S令 b=3 423又由于 dG =k1S-k2G , t =0 , GG0dt所以 Gk1b +3 G0 - k1be323t-1 kk2k2模型三 . 控制網(wǎng)眼不捕小魚, 魚塘中瞬時(shí)魚尾數(shù)用n(t)
5、 表示,捕撈能力( E )可以感謝下載載精品用尾數(shù)的相對(duì)減少率1 dn 表示,從 T 時(shí)刻開始捕撈,使得捕撈量W 能夠最大 .n dt其中減少量包括自然減少量(即第一模型中的減少量)和捕撈量.此時(shí), n(t) =n0e-at -En(t)E =-1 dn1d (n0e-at )=-n0e-at=an dtdt所以, WEn(t) dt=an0e-atdt=an0e-aTTT1+a(1+a)a則,在此模型下,捕撈時(shí)間越早,捕撈量越大.模型四 . 建立在模型三的基礎(chǔ)上, 捕撈量的大小不僅取決于魚尾數(shù)n(t) ,還取決于魚的重量 G .即 WEn(t)GdtTan0e-atk1b +3 G0 - k1b13所以, WEn(
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