傅立葉變換—數(shù)學(xué)三棱鏡

1、第二章傅立葉變換 數(shù)學(xué)三棱鏡一 FT 發(fā)展史1.Joseph Fourier,1807,研究熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散，發(fā)現(xiàn)各次正弦諧波非常適于表示體溫分布，指出任何周期信號(hào)均可用各次正余弦表示，1812 獲獎(jiǎng)。2.質(zhì)疑期Lord KelvinLagrange:三角級(jí)數(shù)不可能表示尖銳形狀信號(hào)3.傅立葉理論延伸：周期信號(hào) 非周期信號(hào)1Tf (t)Fne jn tFn2T f (t )e jn t dtnT2f (t )1F ( jw )e jwtF ( jw )f (t )e jwt dt24.豐富完善期： Dirichlet (1829)狄氏條件：任意有限區(qū)間內(nèi)，存在有限個(gè)一類間斷點(diǎn)一個(gè)周期內(nèi)，有限個(gè)極值點(diǎn)

2、5.蓬勃應(yīng)用至今正余弦波是自然界最常見波形原因理論體系非常完美：完備正交基簡單：內(nèi)積展開解釋信號(hào)的頻譜分布，類似于prism，如電磁波譜應(yīng)用深刻影響數(shù)字和物理兩個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科：如 解微分方程，卷積，量子力學(xué)測(cè)不準(zhǔn)原理解釋各個(gè)行業(yè)普遍使用：無線電臺(tái)，外星系輻射6.局限性： P2 倒數(shù)第二段時(shí)間定位性差2.1框架理論一信號(hào)信息的提取1.提取方法：與一組已知函數(shù)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算1連續(xù)內(nèi)積： Cn=<S,n > =S(t )n * (t )dt離散內(nèi)積： Cn=<S,n >=S(m)n * ( m)m2.內(nèi)積的理解衡量信號(hào)與已知函數(shù)的相似度 匹配、數(shù)字尺度、權(quán)重矢量意義：平方程度，垂直

3、程度二框架（對(duì)函數(shù)集的限制） 用于信號(hào)完整性、穩(wěn)定性及冗余表示1.框架的引入：從兩個(gè)角度論證框架的形成（兩個(gè)信號(hào)Si，Sk）A S 2220AB S, nB Sn則 n 形成一個(gè)框架（一對(duì)向量族，函數(shù)族的限定）A=B緊框架1. 對(duì)偶函數(shù)n 與信號(hào)重構(gòu)S=S, n nC n n（比喻）nnn ： elementary functionn :dualfunctionCn= S,n分析 變換 分解S=C nn 綜合 反變換重構(gòu)n2. 對(duì)偶函數(shù)的框架21S 2S,n1S20AB BnA 信號(hào)既可用n 重構(gòu)，也可用n 重構(gòu) 框架的緊縮程度決定了對(duì)偶是否唯一（A=B=1 時(shí)唯一）A=B,可選 n = 1n

4、S= 1S, n n1C nnAA nA n2 緊框架與信號(hào)冗余表示：A 越大，冗余性越高A=B= 1，生成正交基，無冗余3. 雙正交基與正交基 n ， n 間的內(nèi)積關(guān)系定義雙正交n ,mk (mn)k m,n正交n ,m= k m,nn?n ，自對(duì)偶正交是雙正交的特例k=1：規(guī)范正交5.信號(hào)分解與重構(gòu)的矩陣表示X :M×1NM分解矩陣 G：N×MH T GXX , NM重構(gòu)矩陣 H :M×N N=M ,分解矩陣 G 形成基， G,H 均為方陣， G 和 H 的各向量滿足雙正交關(guān)系 N=M, G=H,分解矩陣形成正交基，這時(shí)G= H T舉例例 2.1：對(duì)任意一個(gè)二

5、維信號(hào)用三個(gè)基向量表示表明：三個(gè)基向量 1 , 2 , 3 生成一框架，且是緊框架A= 32該框架不夠緊， A= 3 1，表示有信息冗余，原因三者線性相關(guān)2對(duì)偶不唯一，當(dāng)初始向量與對(duì)偶向量選為一致時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到最小L2 范數(shù)內(nèi)積與卷積相關(guān)1.相關(guān)Rn ( )S(t )n * (t)dt3Rn ( )S(m) n * ( m)n2.卷積（濾波）yn (t)S( )n * (t)dyn (m)s(k)n * (mk )k例 2.2 nNi 2 nmn 0, N 1 , m 0, M 1e NM2基波數(shù)字角頻率n諧波次數(shù)（基函數(shù)序號(hào)）Nm離散序號(hào)N Mn 線性相關(guān)，框架界A=N1，冗余MN=M形成正交

6、基NMM 維空間不完備22j19 mj35m對(duì) s(m) e 128e 128進(jìn)行分析， m=0，1,2,3， 127j 2n mC191,C351 其它0基函數(shù)e128正交基，N=M ,Cnj 2n m0.5, C70 0.5,其它 Cn 0N=2M =256，基函數(shù) 2e 256， C38譜泄漏發(fā)生三框架問題的深入討論1.緊框架有助于計(jì)算展開系數(shù)，且其系數(shù)具有最小范數(shù)S=S, n nC n nnn1nnA反例： STFT 中框架不緊，展開系數(shù)不易求2.對(duì)于n =n 正交基情況， Cn 即為信號(hào)在n投影，物理意義明確（ n ， n 同時(shí)具有明確物理意義 ）反例：非正交情況，Cn 難以反映信號(hào)

7、特性43.線性獨(dú)立的緊框架可以形成正交基，變換后信息表示無冗余。（例 2.2）4.雙正交分解表示雖然也無冗余，但系數(shù)物理意義模糊。5.兩種特殊框架j 2ntFT:n= e T復(fù)指數(shù)函數(shù)，規(guī)范正交基Sinc 函數(shù)：n (t )= Sinc(tnT ) 規(guī)范正交基，采樣定理的理論基礎(chǔ)Cn= 1S(t) Sinc(tnT )dtS(nT )TS(t)Cn Sinc(tnT )n6.基本函數(shù) n的期望特性j2nt n 頻域能量最優(yōu)集中傅立葉變換n (t ) eTn 能同時(shí)表征信號(hào)時(shí)頻特性，如Gabor 展開中的加高斯窗的復(fù)指數(shù)函數(shù) n 容易構(gòu)造FT：基波整數(shù)倍諧波STFT:平移 +調(diào)制小波變換：伸縮，

8、平移2.2傅立葉變換涉及信號(hào)系統(tǒng)，數(shù)字信號(hào)處理部分跳過不講一兩個(gè)例子例：舉一高斯函數(shù)傅里葉變換（本書常用）S(t )(t t )2e 22：表示高斯函數(shù)的方差t1( x )2 聯(lián)想：概率論中的概率密度函數(shù)f ( x)e 2225t,21越大，波形越瘦（2 ?。┰叫?，波形越胖（2 大）理解f ( x)dx1原因： S( w)e 2( t t )2e jwt dt1 w2 jwte 22S(0)f ( x) dxe 0 01觀察對(duì)時(shí)域?qū)挾群皖l帶寬度的影響越大，波形越瘦，時(shí)域聚集度好，而頻帶越胖，頻域聚集度差反之， 越小，波形越胖，時(shí)域聚集度差，而頻帶越瘦，頻域聚集度好時(shí)移對(duì)頻譜函數(shù)影響引起相移 “

9、wt ”高斯函數(shù)可很好地刻畫信號(hào)的局部時(shí)頻特性意義：高斯肖像被放入德國馬克貨幣中高斯曲線無限可微天文數(shù)學(xué) 物理 統(tǒng)計(jì)學(xué)工程學(xué)例 2.7 用傅立葉變換解釋內(nèi)插濾波器原理內(nèi)插濾波器多采樣率信號(hào)處理經(jīng)常用S(k)LSE (k )LPFy（k）上采樣補(bǔ) 0內(nèi)插低通濾波器問題a) 為什么要引入內(nèi)插濾波器？b) 為什么內(nèi)插濾波器具有低通特性？c) 在滿足采樣定理前提下，內(nèi)插后信息有無丟失？d) 內(nèi)插濾波器的應(yīng)用場(chǎng)合（多采樣信號(hào)處理WVD 數(shù)字實(shí)現(xiàn)）mSE (m)S()SE ( )S(L)L時(shí)頻尺度變大，則頻域尺度變小，被壓縮，同時(shí)產(chǎn)生“L-1”個(gè)鏡像頻譜二功率譜密度61.經(jīng)典功率譜密度：S(t )S( w

10、) 則功率譜密度為P(w)S(w) 2a) 反映了信號(hào)的頻域能量分布b) 丟失相位信息c) 為自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換2.時(shí)變功率譜密度自相關(guān)函數(shù)隨時(shí)間變化R( )R(t, ), P(w)P(t, w)P(t, w)R(t , )e jw d三傅立葉變換幾個(gè)基本性質(zhì)1.移位性質(zhì)S(t )S( jw )時(shí)移： S(tto )ej wo tS( w)頻移： ejw o tS(t )S(wwo )2.尺度性質(zhì)S( t )S( w)越大，時(shí)域波形展寬，頻譜收縮越小，時(shí)域波形收縮，頻譜展寬a) 可通過調(diào)節(jié)基函數(shù)時(shí)間尺度來刻畫信號(hào)頻域特性b) 信號(hào)時(shí)頻窗口不可能同時(shí)變窄測(cè)不準(zhǔn)定理3.共軛性質(zhì)S(t )S(

11、jw )*S(t )S( jw )（共軛翻轉(zhuǎn)）4.微分性質(zhì)dn( jw ) n S( jw)n S(t )dt4. 卷積定理7S(t )S( jw )(t)G( jw )S() (t)d1S( jw )G ( jw )e jwt dw12S()G(w)e jwt dS(t) (t )e jwt dt26.帕塞瓦爾公式令 t=0，S( )( )d1S( w)G(w)dw2令 ( t)h * (t)則 G (w)H * ( w) h(t )H (w), h * (t)H * (w), (t ) h * ( t )H * ( w) 則 S()()d1S( w) H * ( w) dw2S()h *

12、()d1S(w)H * ( w)dw21令 S(t)=h(t) ,則2S( w) H * (w) dwS(t)22.4 時(shí)域波形與功率譜特性從數(shù)字角度描述信號(hào)的時(shí)頻特性表征時(shí)頻特性的物理量1.能量密度函數(shù)S(t )2a)時(shí)域能量密度函數(shù)E212S(t )S( w)S(w)2關(guān)系dt2dwb)E2頻域能量密度函數(shù)2 E2.平均時(shí)間 <t> 與平均頻率 <w>物理意義：重心平均時(shí)間 S(t )2的一階矩t1t S(t) dt2EE22平均頻率 S( w) 的一階矩w1w S( w)dwE2 E<w> 的時(shí)域計(jì)算8令 wS( w) H ( w)h(t )dj S(

13、t)11dt則H (w)S * (w) dww2E1j d S(t )S * (t) dtEdt令 S(t)= a(t )e j(t )dS(t )a (t )e j (t )ja (t ) (t )e j (t ) 代入上式dtw1j a (t )ja (t)(t ) a(t )dtE= 1(t ) a(t )2ja (t )a(t )dtdtEES(t )2w(t)dtE即時(shí)微分相位的加權(quán)平均 (t ) 的物理意義？ （ open research topic）a.即時(shí)頻率（ F）對(duì)于多頻信號(hào)就講不通bWVD 中，(t) 即為平均即時(shí)頻率（條件平均頻率）wP(t , w) dww_(t )

14、（多頻信號(hào) P43 解釋一下）tP(t, w)dw3.信號(hào)的時(shí)寬（ t）與帶寬（ w）ttime durationwfrequency bandwidtht:21(tt) 2S(t)2tdtES(t )2=t 2dtt2E21 w:w21=2)2 S( w)2(w-wdw-ES( w)2w2dww2-E22 t， w標(biāo)準(zhǔn)差t , w方差9 w2 的計(jì)算令 H ( w) ( ww )S( w)w 21H (w) H * (w) dw2 E1h(t) h* (t )dt（求 h(t)）Eh(t )1H (w)ejwt dw2=1( ww)S(w) e jwt dt12S(w)e jwt dwS(t

15、 )21S(w)e j ( ww )t dw S(t)e j w t2兩邊對(duì) t求導(dǎo)1j ( ww )S(w)e j (w w )t dtd S(t)e j w t2dt1(wj w tj w tdj w th(t )w )S(w)e dtjeS(t )e2dt令 S(t) a(t) e j (t ) 代入上式ej( t ) (t)w)a(t )ja (t ) 帶入定義式w 21( (t )w ) 2 a 2 (t )dt1( a (t ) 2 dtEE帶寬完全由幅值變化 a (t) 和相位變化(t ) 決定4.例題例 2.8歸一化高斯函數(shù)a (t )t et 2w 222例 2.9 S(t

16、) (t) ejw ot 頻率調(diào)制高斯函數(shù)例 2.10 高斯 chirp 信號(hào)例 2.11 尺度函數(shù)2.5 不確定原理10為什么信號(hào)的時(shí)寬和帶寬不能同時(shí)變??？時(shí)寬有限，頻寬無限頻寬有限，時(shí)寬無限定理：若 limt S(t )0t1則tw22不等式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)S(t )Ae t 為高斯函數(shù)成立證明：為簡明起見，假設(shè)t0,w0t 2 w 2t 22dt12S(t)w 2 S(w) dw2令 H (w)wS( w)h(t )j dS(t)dt2d2t 2 w2t 2dtS(t)dtS(t)dt根據(jù)施瓦茨不等式，有2d2d S(t )dt2t 2S(t )S(t)dttS(t)dtdt而tS(t)d

17、 S(t) dttS(t)dS(t )1dt11td (S2 (t)tS 2 (t )S2 (t )dt222t 2w 2(1)22ktS(t) 成立， dS(t)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) S (t )ktS(t )dtdS(t )k t d tln S(t )k t 2CS(t )2S(t)A e t 22.6 離散 Poisson求和公式下一章講離散 Gabor 展開有用11為一周期為 LM M的序列假定 a (n)M =2， M=4 ，M 間隔（步長）a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7b0 b1 b2b3M 1m M )b (n)a( nb ( n)b (n M )m 0M 3M4a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a