巧引參變數(shù)求解一類(lèi)最值問(wèn)題

1、巧引參變數(shù)求解一類(lèi)最值問(wèn)題 443000 湖北省宜昌市夷陵中學(xué) 徐勇不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而不等式中的最值問(wèn)題更是不等式內(nèi)容中的一朵奇葩。求解不等式中的最值問(wèn)題是一個(gè)龐大的問(wèn)題，仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)則，通過(guò)均值不等式、柯西不等式等定理解決最值問(wèn)題是一條重要的途徑，但在利用這些定理時(shí)往往不能一蹴而就，這時(shí)可以適當(dāng)引入?yún)⒆償?shù)以達(dá)到目的。本文試圖通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明引入?yún)⒆償?shù)的一般策略。例1設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的最小值。分析：此題方法很多，其中一個(gè)思路是化分式為整式，要做到這一點(diǎn)，可以在每項(xiàng)后加上一個(gè)式子，通過(guò)均值不等式去掉分母。解：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)評(píng)：因?yàn)槟繕?biāo)式關(guān)于輪換對(duì)稱(chēng)，所以引入的三個(gè)式子系數(shù)相

2、等。例2若正數(shù)滿(mǎn)足求的最大值。分析：此題也有很多方法，比較容易想到的一種方法是對(duì)目標(biāo)式平方，然后利用均值不等式去根號(hào)，轉(zhuǎn)化為的和式，但為了得到常數(shù)，要求最后的系數(shù)之比應(yīng)為，所以需要適當(dāng)引入?yún)⒆償?shù)。解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 點(diǎn)評(píng)：由條件可知只有輪換對(duì)稱(chēng)，故第一個(gè)根式不需要引入?yún)⒆償?shù)，但第二、三個(gè)需要。例3設(shè)，求函數(shù)的最小值分析：要求出的最小值，去根號(hào)是關(guān)鍵，可以根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在每個(gè)根式中構(gòu)造出兩個(gè)平方和相乘的形式。 解：，有：（*），當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)（*）式等號(hào)成立，即點(diǎn)評(píng)：引入?yún)⒆償?shù)，保證的系數(shù)之比為是本題成功的關(guān)鍵?？傊谑褂镁挡坏仁?、柯西不等式等定理求解最值問(wèn)題需要引入?yún)⒆償?shù)時(shí)，需要認(rèn)真對(duì)條件、目標(biāo)作認(rèn)真地分析，主要是觀察各個(gè)變量是否能輪換、系數(shù)的關(guān)系等，