兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)

1、第2次作業(yè)1如圖2-1所示，一小車（重）自高處沿斜面滑下，與緩沖器相撞后，隨同緩沖器一起作自由振動(dòng)。彈簧常數(shù)，斜面傾角為，小車與斜面之間摩擦力忽略不計(jì)。試求小車的振動(dòng)周期和振幅。答案：，圖2-12確定圖2-2所示系統(tǒng)的固有頻率。圓盤質(zhì)量為。答案：圖2-23確定圖2-3系統(tǒng)的固有頻率。答案： 圖2-3第三章 兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)§3-1 概述單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論是振動(dòng)理論的基礎(chǔ)。在實(shí)際工程問題中，還經(jīng)常會遇到一些不能簡化為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題，因此有必要進(jìn)一步研究多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論。兩自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)。從單自由度系統(tǒng)到兩自由度系統(tǒng)，振動(dòng)的性質(zhì)和研究的方法有質(zhì)的不同。

2、研究兩自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性的基礎(chǔ)。所謂兩自由度系統(tǒng)是指要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)的幾何位置的振動(dòng)系統(tǒng)。很多生產(chǎn)實(shí)際中的問題都可以簡化為兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。例如，車床刀架系統(tǒng)（a）、車床兩頂尖間的工件系統(tǒng)（b）、磨床主軸及砂輪架系統(tǒng)（c）。只要將這些系統(tǒng)中的主要結(jié)合面（或芯軸）視為彈簧（即只計(jì)彈性，忽略質(zhì)量），將系統(tǒng)中的小刀架、工件、砂輪及砂輪架等視為集中質(zhì)量，再忽略存在于系統(tǒng)中的阻尼，就可以把這些系統(tǒng)近似簡化成圖（d）所示的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。以圖3.1（c）所示的磨床磨頭系統(tǒng)為例分析，因?yàn)樯拜喼鬏S安裝在砂輪架內(nèi)軸承上，可以近似地認(rèn)為是剛性

3、很好的，具有集中質(zhì)量的砂輪主軸系統(tǒng)支承在彈性很好的軸承上，因此可以把它看成是支承在砂輪架內(nèi)的一個(gè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。此外，砂輪架安裝在砂輪進(jìn)刀拖板上，如果把進(jìn)刀拖板看成是靜止不動(dòng)的，而把砂輪架與進(jìn)刀拖板的結(jié)合面看成是彈簧，把砂輪架看成是集中的質(zhì)量，則砂輪架系統(tǒng)又近似地可以看成是支承在進(jìn)刀拖板上的另一個(gè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。這樣，磨頭系統(tǒng)就可以近似地簡化為圖示的支承在進(jìn)刀拖板上的兩自由度系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型中，m1是砂輪架的質(zhì)量，k1是砂輪架支承在進(jìn)刀拖板上的靜剛度，m2是砂輪及其主軸系統(tǒng)的質(zhì)量，k2是砂輪主軸支承在砂輪架軸承上的靜剛度。取每個(gè)質(zhì)量的靜平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，取其鉛垂位移x1及x2分別作

4、為各質(zhì)量的獨(dú)立坐標(biāo)。這樣x1和x2就是用以確定磨頭系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。(工程實(shí)際中兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)) 工程實(shí)例演示§3-2 兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（汽車動(dòng)力學(xué)模型）以圖3.2的雙彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例。設(shè)彈簧的剛度分別為k1和k2，質(zhì)量為m1、m2。質(zhì)量的位移分別用x1和x2來表示，并以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向下為正方向。(分析)在振動(dòng)過程中的任一瞬間t，m1和m2的位移分別為x1及x2。此時(shí)，在質(zhì)量m1上作用有彈性恢復(fù)力，在質(zhì)量m2上作用有彈性恢復(fù)力。這些力的作用方向如圖所示。應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可建立該系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程式： （3.1）令則（3.1）式可改寫成如下

5、形式： （3.2）這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次聯(lián)立微分方程組。(分析)在第一個(gè)方程中包含項(xiàng)，第二個(gè)方程中則包含項(xiàng)，稱為“耦合項(xiàng)”（coupling term）。這表明，質(zhì)量m1除受到彈簧k1的恢復(fù)力的作用外，還受到彈簧k2的恢復(fù)力的作用。m2雖然只受一個(gè)彈簧k2恢復(fù)力的作用，但這一恢復(fù)力也受到第一質(zhì)點(diǎn)m1位移的影響。我們把這種位移之間有耦合的情況稱為彈性耦合。若加速度之間有耦合的情況，則稱之為慣性耦合。二、固有頻率和主振型創(chuàng)造思維：從單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論得知，系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。我們也希望在兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)中找到簡諧振動(dòng)的解。因此可先假設(shè)方程組（3.2）式有簡諧振動(dòng)解，然后

6、用待定系數(shù)法來尋找有簡諧振動(dòng)解的條件。設(shè)在振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量按同樣的頻率和相位角作簡諧振動(dòng)，故可設(shè)方程組（3.2）式的特解為：（3.3）其中振幅A1與A2、頻率、初相位角都有待于確定。對（3.3）式分別取一階及二階導(dǎo)數(shù)： （3.4）將（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得：（3.5）上式是A1、A2的線性齊次代數(shù)方程組。A1、A2=0顯然不是我們所要的振動(dòng)解，要使A1、A2有非空解，則（3.5）式的系數(shù)行列式必須等于零，即： = 0將上式展開得：（3.6）解上列方程，可得如下的兩個(gè)根： （3.7）由此可見，（3.6）式是決定系統(tǒng)頻率的方程，故稱為系統(tǒng)的頻率方程（frequenc

7、y equation）或特征方程（characteristic equation）。特征方程的特征值（characteristic value）即頻率只與參數(shù)a，b，c有關(guān)。而這些參數(shù)又只決定于系統(tǒng)的質(zhì)量m1，m2和剛度k1，k2，即頻率只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，故稱為系統(tǒng)的固有頻率。兩自由度系統(tǒng)的固有頻率有兩個(gè)，即稱為第一階固有頻率（first order natural circular frequency）。基頻稱為第二階固有頻率（second order natural circular frequency）。（推廣）理論證明，n個(gè)自由度系統(tǒng)的頻率方程是的n次代數(shù)方程，在無阻尼的情況

8、下，它的n個(gè)根必定都是正實(shí)根，故主頻率的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)的自由度數(shù)目相等。將所求得的和代入（3.5）式中得： （3.8）式中：對應(yīng)于的質(zhì)點(diǎn)m1，m2的振幅；對應(yīng)于的質(zhì)點(diǎn)m1，m2的振幅。由此可見，對應(yīng)于和，振幅A1與A2之間有兩個(gè)確定的比值。稱之為振幅比（amplitude ratio）。將（3.8）式與（3.3）式聯(lián)系起來可以看出，兩個(gè)m1與m2任一瞬間位移的比值也是確定的，并且等于振幅比。系統(tǒng)的其它點(diǎn)的位移都可以由x1及x2來決定。這樣，在振動(dòng)過程中，系統(tǒng)各點(diǎn)位移的相對比值都可以由振幅比確定，也就是振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)。因此，我們將振幅比稱為系統(tǒng)的主振型（principal mode）

9、，也可稱為固有振型（natural mode）。其中：第一主振型，即對應(yīng)于第一主頻率的振幅比；第二主振型，即對應(yīng)于第二主頻率的振幅比。當(dāng)系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動(dòng)時(shí)，即稱為系統(tǒng)的主振動(dòng)（principal vibration）。所以，第一主振動(dòng)為：（3.9）第二主振動(dòng)為：（3.10）為了進(jìn)一步研究主振型的性質(zhì)，可以將（3.7）式改寫成如下形式：因?yàn)?因?yàn)樯鲜降牡仁接疫吅愦笥诹?，所以，由?.8）式知，因?yàn)樯鲜降牡仁接疫吅阈∮诹?，所以，由?.8）式知，。(說明)由此可見，表示的符號相同，即第一主振動(dòng)中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位相同。因此，若系統(tǒng)按第一主振型進(jìn)行振動(dòng)的話，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)就同時(shí)向同方

10、向運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)經(jīng)過平衡位置，又同時(shí)達(dá)到最大偏離位置。而，則表示第二主振動(dòng)中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位相反，永遠(yuǎn)相差180°。當(dāng)質(zhì)量m1到達(dá)最低位置時(shí)，質(zhì)量m2恰好到達(dá)最高位置。它們一會相互分離，一會又相向運(yùn)動(dòng)，這樣，在整個(gè)第二主振動(dòng)的任一瞬間的位置都不改變。這樣的點(diǎn)稱為“節(jié)點(diǎn)”（nodal point）。振動(dòng)理論證明，多自由度系統(tǒng)的i階主振型一般有i1個(gè)節(jié)點(diǎn)。這就是說，高一階的主振型就比前一階主振型多一個(gè)節(jié)點(diǎn)。階次越高的主振動(dòng)，節(jié)點(diǎn)數(shù)就越多，故其相應(yīng)的振幅就越難增大。相反，低階的主振動(dòng)由于節(jié)點(diǎn)數(shù)少，故振動(dòng)就容易激起。所以，在多自由度系統(tǒng)中，低頻主振動(dòng)比高頻主振動(dòng)危險(xiǎn)。三、系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)思

11、維方式：前面分析了兩自由度系統(tǒng)的主振動(dòng)，而這些主振動(dòng)又都是簡諧振動(dòng)。但兩自由度系統(tǒng)在受到干擾后出現(xiàn)的自由振動(dòng)究竟是什么形式呢？這要取決于初始條件。從微分方程的理論來說，兩階主振動(dòng)只是微分方程組的兩組特解。而它的通解則應(yīng)由這兩組特解相疊加組成。從振動(dòng)的實(shí)踐來看，兩自由度系統(tǒng)受到任意的初干擾時(shí)，一般來說，系統(tǒng)的各階主振動(dòng)都要激發(fā)。因而出現(xiàn)的自由振動(dòng)應(yīng)是這些簡諧振動(dòng)的合成。所以，在一般的初干擾下，系統(tǒng)的響應(yīng)是：（3.11）式中，四個(gè)未知數(shù)要由振動(dòng)的四個(gè)初始條件來決定。設(shè)初始條件為：t=0時(shí)，經(jīng)過運(yùn)算，可以求出： （3.12）將（3.12）式代入（3.11）就得到系統(tǒng)在上述初始下響應(yīng)。四、振動(dòng)特性的討

12、論1運(yùn)動(dòng)規(guī)律從（3.11）式可以看出，兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)是由兩個(gè)簡諧振動(dòng)合成的。但從（3.7）式來看，這兩個(gè)分振動(dòng)的頻率的比值卻不一定是有理數(shù)，因此合成不一定呈周期性。所以系統(tǒng)的自由振動(dòng)一般來說是一種非周期的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。在這一振動(dòng)中，各階主振動(dòng)所占的比例由初始條件決定。但由于低階振型易被激發(fā)，所以通常情況下總是低階主振動(dòng)占優(yōu)勢。只有在某種特殊的初始條件下，系統(tǒng)才按一種主振型進(jìn)行振動(dòng)。2頻率和振型兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)不同數(shù)值的固有頻率，稱為主頻率，當(dāng)系統(tǒng)按任一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng)時(shí)，即稱為主振動(dòng)。系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，任何瞬間的各點(diǎn)位移之間具有一相對比值，即整個(gè)系統(tǒng)具有確定的振動(dòng)形態(tài)，稱為主振型。

13、3節(jié)點(diǎn)和節(jié)面在兩自由度系統(tǒng)的高階主振型中存在著節(jié)點(diǎn)，而在第一階主振型中卻不存在節(jié)點(diǎn)。對多自由度系統(tǒng)來說也是如此，而且主振型的階數(shù)越高，則節(jié)點(diǎn)數(shù)也就越多。一般來說，第i階主振型有i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)。對于彈性體來說，節(jié)點(diǎn)已經(jīng)不再是一個(gè)點(diǎn)，而是聯(lián)成線或面，稱為節(jié)線（nodal line）和節(jié)面（nodal surface）。4阻尼若系統(tǒng)存在阻尼，則阻尼對多自由度系統(tǒng)的影響和單自由度系統(tǒng)相似。由于在工程結(jié)構(gòu)中一般阻尼較小，故可略去不計(jì)。例 試求如圖3.4所示的系統(tǒng)的固有頻率和主振型。已知。又若已知初始條件為，試求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為令 則可解出：類比前面形式：主行列式為零。因?yàn)?故根據(jù)

14、給定的初始條件，代入（3.12）式得：故系統(tǒng)的響應(yīng)為：五、主振型的正交性如前所述，兩自由度系統(tǒng)有二個(gè)固有頻率和二個(gè)相應(yīng)的主振型?，F(xiàn)在我們來研究這二個(gè)主振型之間的關(guān)系。為了便于分析研究，我們先來討論以下幾個(gè)例子。例1一個(gè)質(zhì)量為m的小球，固定在垂直安裝的細(xì)長圓截面彈性桿的頂端，桿子下端固定在地面，如圖3.6所示。桿子質(zhì)量略去不計(jì)?，F(xiàn)分析其振動(dòng)情況。設(shè)O點(diǎn)是平衡位置，小球在水平面xoy上的小范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其任一瞬時(shí)的位置可以用矢量r來確定。小球的坐標(biāo)則可通過方向余弦求得：式中：i，j分別表示x，y軸上的單位矢量。當(dāng)小球偏離平衡位置O點(diǎn)后，就要受到圓桿的彈性恢復(fù)力F的作用。由于圓桿在任何方向上的剛度k都

15、相等，故將力投影到x，y軸上得：因此，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式：這是兩個(gè)彼此獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式，在x方向和y方向兩個(gè)自由度上沒有耦合，而且由于在這兩個(gè)方向上k相等，故兩個(gè)方向的振動(dòng)頻率也相等。即所以兩個(gè)方向的自由振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)，且頻率相等。其合成結(jié)果一般情況下是個(gè)橢圓。由此可見，在x，y方向，系統(tǒng)均按其固有頻率作自由振動(dòng)，故均為主振動(dòng)。也就是說，在x和y方向，系統(tǒng)均具有確定的振動(dòng)形態(tài)。所以系統(tǒng)的兩個(gè)主振型也分別沿x和y方向，也就是說，系統(tǒng)的兩個(gè)主振型是互相垂直的。例2若將圖3.6所示系統(tǒng)中的彈性桿的截面改成矩形，試分析其振動(dòng)情況。由于彈性桿截面為矩形，故桿件在兩個(gè)互相垂直的

16、方向上抗彎剛度就有所不同?，F(xiàn)取桿截面的兩個(gè)慣性主軸作為x、y坐標(biāo)軸，則x軸方向上的剛度為kx，y軸方向上的剛度為ky，因而系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式即成為：兩個(gè)方向上的頻率不等，它們分別為：。這時(shí)，在x，y兩個(gè)方向上是不同頻率的簡諧振動(dòng)，其合成結(jié)果就是不同頻率的李沙如圖。振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識在x和y方向，系統(tǒng)仍按固有頻率作自由振動(dòng)，故仍是主振動(dòng)，因而主振型分別沿x和y方向，所以系統(tǒng)的兩個(gè)主振型仍互相垂直。系統(tǒng)的第一主振型和第二主振型互相垂直，主振型這種互相垂直的性質(zhì)，叫做主振型的正交性（orthogonal properties of principal mades）主振型的正交性的幾何意義就是兩個(gè)主振型

17、直線互相垂直。 （能量各個(gè)獨(dú)立，不相干擾）§3-3 兩自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)一、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和單自由度系統(tǒng)一樣，兩自由度系統(tǒng)在受到持續(xù)的激振力作用時(shí)就會產(chǎn)生受迫振動(dòng)，而且在一定條件下也會產(chǎn)生共振。圖3.8所示為兩自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。我們稱簡諧激振力作用的m1-k1質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)。把不受激振力作用的m2-k2質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為副系統(tǒng)。這一振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為：（3.13）令則（3.13）式可改寫成：（3.14）這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程組，其通解由兩部分組成。一是對應(yīng)于齊次方程組的解，即為上一節(jié)討論過的自由振動(dòng)。二是對應(yīng)于上述非齊次方程組的一

18、個(gè)特解，它是由激振力引起的受迫振動(dòng)，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。我們只研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，故設(shè)上列微分方程組有簡諧振動(dòng)的特解： （3.15）式中，B1、B2是m1、m2的振幅，在方程組中是待定常數(shù)。對（3.15）式分別求一階、二階導(dǎo)數(shù)，（3.16）將（3.15）及（3.16）式代入（3.14）式得：（3.17）這是一個(gè)二元非齊次聯(lián)立代數(shù)方程，它的解可用行列式原理求出： （3.18）這就是說，我們期待的方程組（3.14）式的簡諧振動(dòng)特解是可以得到的。二、振動(dòng)特性的討論1運(yùn)動(dòng)規(guī)律由（3.15）式得知，兩自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是簡諧振動(dòng)。2頻率兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的頻率與激振力的頻率相同。3振幅由（3.

19、18）式得知，兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅決定于激振力力幅、激振力頻率，以及系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)?，F(xiàn)分別討論如下：（1）激振力幅值p0的影響因?yàn)閜p0，所以p0與B1、B2成線性關(guān)系。即p0越大，振幅B1、B2也越大。（2）激振力頻率的影響為了說明對振幅的影響，我們以B1、B2為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，將（3.18）式作成曲線示圖3.9中，稱之為振幅頻率響應(yīng)曲線，或稱幅頻特性曲線。它表明了系統(tǒng)位移對頻率的響應(yīng)特性。討論：當(dāng)，這表明，此時(shí)激振力的作用和靜力的作用相當(dāng)。當(dāng)，即激振力頻率等于系統(tǒng)第一或第二階固有頻率時(shí)，系統(tǒng)即出現(xiàn)共振現(xiàn)象，振幅B1、B2均急劇增加。這就是說，在兩自由度系統(tǒng)中，如果激振力的頻率

20、和系統(tǒng)的任何一階固有頻率相近時(shí)，系統(tǒng)都將產(chǎn)生共振。也就是說，兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振區(qū)?，F(xiàn)在我們來分析一下系統(tǒng)共振時(shí)的振型。由（3.18）式可得質(zhì)量m1和m2的振幅比為：（3.19）這說明，在一定的激振頻率下，兩個(gè)質(zhì)量的振幅比是一個(gè)確定值。當(dāng)激振頻率等于第一階固有頻率時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量的振幅比的即為：（3.20）當(dāng)時(shí)，則（3.21）這表明，系統(tǒng)以那一階固有頻率共振，則此時(shí)的共振振型就是那一階主振型。這是多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的一個(gè)極為重要的特性。在實(shí)踐中，經(jīng)常用共振法測定系統(tǒng)的固有頻率，并根據(jù)測出的振型來判定固有頻率的階次，就是利用了上述這一規(guī)律。當(dāng)故這就是說，副系統(tǒng)通過彈簧k2傳給主系統(tǒng)的力，正好與作

21、用在主系統(tǒng)上的激振力相平衡。這樣，主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)就被副系統(tǒng)吸收掉了。主系統(tǒng)的質(zhì)量m1就如同不受激振力作用一樣，保持靜止。這種現(xiàn)象可以被利用來作為減小振動(dòng)的一種措施。當(dāng)，即激振力的頻率很高時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量m1和m2都幾乎不動(dòng)。這時(shí)受迫振動(dòng)現(xiàn)象也進(jìn)入慣性區(qū)了。4相位由于系統(tǒng)是無阻尼的情況，所以只要觀察振幅的正負(fù)變化就可以說明相位的變化。現(xiàn)將振幅計(jì)算公式（3.18）式的分母作如下的變換：（3.23）由系統(tǒng)的頻率方程（3.6）式，可以得知頻率方程的兩個(gè)根必定滿足下列關(guān)系式：（代數(shù)方程的性質(zhì)） （3.24）將（3.24）式代入（3.23）式得：（3.25）因而（3.18）式可改寫成：（3.26）從（3.2

22、6）式中可以看出：在階段，B1、B2均為正值。故質(zhì)量m1、m2的位移和激振力是同相的，即兩個(gè)質(zhì)量的位移也同相。當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的相位對于激振力要出現(xiàn)相位突跳的反相。當(dāng)時(shí)，B1=0，此后，B1又重新成為正值，但B2卻仍保持負(fù)值。這就是說，在階段，B1與激振力同相，B2與激振力反相。即兩個(gè)質(zhì)量之間的相位相反。當(dāng)以后，B1又改變?yōu)樨?fù)值，而B2卻保持正值。根據(jù)以上分析，可作出如圖3.10所示的相頻特性曲線三、動(dòng)力減振器根據(jù)兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振動(dòng)特性的分析得知，只要適當(dāng)?shù)剡x擇系統(tǒng)的參數(shù)，就可以使主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)被副系統(tǒng)所吸收，從而使主系統(tǒng)不動(dòng)，動(dòng)力減振器就是應(yīng)用這一原理來設(shè)計(jì)的。動(dòng)力減振器是用彈性元件把一

23、個(gè)輔助質(zhì)量固定到振動(dòng)系統(tǒng)上的一種減振裝置，其動(dòng)力學(xué)模型如圖3.11所示。圖中m1、k1為原振動(dòng)系統(tǒng)（主系統(tǒng)）的質(zhì)量（主質(zhì)量）和彈簧剛度。m2、k2為動(dòng)力減振器（附加系統(tǒng)）的質(zhì)量（輔助質(zhì)量）和彈簧剛度，c為動(dòng)力減振器的阻尼。為作用在主系統(tǒng)上的激振力。從圖3.11可以看出，在主系統(tǒng)上增加了附加系統(tǒng)后，即使原來的單自由度系統(tǒng)變?yōu)閮勺杂啥认到y(tǒng)。其運(yùn)動(dòng)微分方程式為： （3.27）設(shè)上列方程組的特解為：（穩(wěn)態(tài)振動(dòng)）（3.28）將（3.28）式及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入（3.27）式得： （3.29）解上列聯(lián)立方程，求出主系統(tǒng)的振幅B1，并化成實(shí)數(shù)形式：（3.30）為了簡化計(jì)算，引進(jìn)下列符號：主系統(tǒng)在激振力力幅

24、p0作用下產(chǎn)生的靜變位；主系統(tǒng)的固有頻率；附加系統(tǒng)的固有頻率；激振力頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；減振器固有頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；輔助質(zhì)量與主質(zhì)量之比；減振器的阻尼比。則（3.29）式可改寫成下列無量綱形式： （3.31）現(xiàn)根據(jù)減振器分類進(jìn)行討論：（普遍式）1無阻尼動(dòng)力減振器若減振器沒有阻尼元件，則，故（3.31）式簡化為：（3.32）由此可見，當(dāng)時(shí)，B1=0。即當(dāng)減振器的固有頻率等于激振頻率時(shí)，輔助m2通過彈性元件k2作用于主質(zhì)量m1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系統(tǒng)振幅為零，從而達(dá)到消振的目的。當(dāng)激振頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即=1時(shí)，主系統(tǒng)產(chǎn)生共振。為了消除系統(tǒng)共

25、振，應(yīng)使減振器固有頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即令。若再取質(zhì)量比，則（3.32）式中的四個(gè)變量就固定了兩個(gè)。對即可作出主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，如圖3.12所示。從圖中可以看到，主系統(tǒng)共振點(diǎn)的振幅已經(jīng)消失。但又出現(xiàn)了兩個(gè)新的共振點(diǎn)。這兩點(diǎn)的坐標(biāo)值可以從（3.32）式的分項(xiàng)等于零時(shí)求出： 因?yàn)?故上式成為 所以（3.33）對于，質(zhì)量比為的系統(tǒng)，兩個(gè)固有頻率（主頻率）為：（3.34）顯然，當(dāng)激振頻率正好等于或時(shí)，都會使系統(tǒng)產(chǎn)生新的共振。根據(jù)（3.33）式可作出與的關(guān)系曲線，如圖3.13所示它們表示了系統(tǒng)的兩個(gè)主頻率或的相隔范圍。我們希望這兩個(gè)主頻率相距較遠(yuǎn)。但對于穩(wěn)定的定速運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)械，值則還可以取得小些。由

26、以上分析可見，使用無阻尼動(dòng)力減振器時(shí)要特別慎重，應(yīng)用不當(dāng)會帶來新的禍害。所以，這種減振器主要用于激振頻率變化不大的情況。教學(xué)演示片：2有阻尼動(dòng)力減振器（本科自學(xué)）當(dāng)減振器有阻尼元件時(shí)，則根據(jù)（3.31）式，以為參變量，仍令，所作出的主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖3.15所示。 （）從圖上可以看出：1）無論阻尼的為何值，幅頻響應(yīng)曲線均經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，也就是說，當(dāng)頻率比位于P點(diǎn)和Q點(diǎn)相應(yīng)的頻率比值時(shí)，主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)的振幅與阻尼比的大小無關(guān)，這一物理現(xiàn)象是設(shè)計(jì)有阻尼動(dòng)力減振器的重要依據(jù)。2）若令相等，就可求得P點(diǎn)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)值。當(dāng)時(shí)從（3.31）式得：（3.35）令（3.32）式與（3.35）式相等得

27、上式等號左邊若取正號，則解出=0，這對減振沒有意義。故取負(fù)號，則上式可展開得： （3.36）解上列代數(shù)方程得：（3.37）將求得的值代入（3.32）式（3.35）式，即可得P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)值： （3.38）這里需要說明一點(diǎn)，即Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)值之所以為負(fù)值，是因?yàn)镻、Q兩點(diǎn)在共振點(diǎn)（）的兩側(cè)，兩者的相位是相反的，所以這兩點(diǎn)的振幅的符號也相反，因此，在圖3.15中，在右邊的曲線，實(shí)際上應(yīng)該畫在橫坐標(biāo)軸的下方，（現(xiàn)在為了直觀起見）。3）既然無論值是多少，所有的幅頻響應(yīng)曲線都要經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)。因此，的最高點(diǎn)都不會低于P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)。思想方法為了使減振器獲得較好的減振效果，就應(yīng)該設(shè)法降低P、Q兩點(diǎn)，

28、并使P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，而且成為曲線上的最高點(diǎn)。這樣，減振后主系統(tǒng)振幅B1與靜變位的比值就會減小，并限制在P、Q兩點(diǎn)所對應(yīng)的振幅以下（見圖3.16）。研究工作證明，為了使P、Q兩點(diǎn)等高，就要適當(dāng)選擇值；為了使的最大值在P、Q兩點(diǎn)上，就要適當(dāng)選擇值。所以選擇的和值，分別稱為最佳頻率比（optimum frequency ratio）和最佳阻尼比（optimum damping ratio）。下面就來分別介紹它們的確定方法。（1）最佳頻率比的確定。（第一步）為了使P、Q兩點(diǎn)等高，即使P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，應(yīng)使（3.38）式所表示的與相等。即：解之得：（3.39）根據(jù)代數(shù)方程理論，由（3.36

29、）式得知（3.40）聯(lián)立（3.39）式及（3.40）式，并求解得：所以 （3.41）將值代入（3.37）式，即得到與P、Q兩點(diǎn)相應(yīng)的橫坐標(biāo)值： （3.42）將（3.42）式代入（3.32）式或（3.35）式，即得到在選取最佳頻率比的情況下，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)值： （3.43）分析可見，要降低P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，應(yīng)使質(zhì)量比增大，即增加減振器中的輔助質(zhì)量m2。m2越大，減振效果越好。但輔助質(zhì)量m2的大小，還要根據(jù)減振器的安放空間，激振力的大小、主系統(tǒng)質(zhì)量大小等因素來綜合考慮決定。（2）最佳阻尼比的確定（第二步）根據(jù)（3.31）式，使，求出相應(yīng)的值，即應(yīng)是使P、Q點(diǎn)成為幅頻響應(yīng)曲線最高點(diǎn)時(shí)的最佳阻尼

30、比。求出與相對應(yīng)的值，并將值代入其中，可分別求出使P點(diǎn)或Q點(diǎn)成為曲線最高點(diǎn)時(shí)的阻尼比： （3.44）分析上式表明，根據(jù)P點(diǎn)和Q點(diǎn)分別成為曲線最高點(diǎn)而推導(dǎo)出來的阻尼比不一樣。換句話說，在適當(dāng)選擇值時(shí)，只能使曲線在P點(diǎn)（或Q點(diǎn)）為極大值。圖3.16）中就分別表示出以P點(diǎn)為最大值，以及以Q點(diǎn)為最大值的兩條曲線。但它們彼此相差不多。所以，可取的平均值為最佳阻尼比，則（3.45）（3）設(shè)計(jì)步驟（*）1）根據(jù)主系統(tǒng)的振動(dòng)情況，測定振動(dòng)頻率，計(jì)算主系統(tǒng)固有頻率和振幅放大系數(shù)。然后根據(jù)減振要求，按（3.43）式計(jì)算出質(zhì)量比的值。2）測定主系統(tǒng)的靜剛度k1，然后算出主系統(tǒng)的當(dāng)量質(zhì)量m1，再根據(jù)m1與值，計(jì)算減振

31、器質(zhì)量m2，即3）根據(jù)（3.41）式，計(jì)算最佳頻率比。再根據(jù)、m2、m1及k1計(jì)算減振器彈簧剛度k2。因?yàn)?所以 4）根據(jù)（3.45）式計(jì)算減振器最佳阻尼比及相應(yīng)的阻尼系數(shù)COP，即（3.46）然后，根據(jù)COP來計(jì)算減振器中油的粘度。第3次作業(yè)題：1、如圖所示起重機(jī)小車，其質(zhì)量為m1=2220kg,在質(zhì)心A處用繩懸掛一重物B，其質(zhì)量為m2=2040kg。繩長l=14m,左側(cè)彈簧是緩沖器，剛度系數(shù)k=852.6kN/m。設(shè)繩和彈簧質(zhì)量均忽略不計(jì)，當(dāng)車連同重物B以勻速v0=1m/s碰上緩沖器后，求小車和重物的運(yùn)動(dòng)。2、兩個(gè)質(zhì)量塊m1和m2用一彈簧k相連，m1的上端用繩子拴住，放在一個(gè)與水平面成角的光滑斜面上，如習(xí)題下圖所示。若t=0時(shí)突然割斷繩子，兩質(zhì)量塊將沿斜面下滑。試求瞬時(shí)t兩質(zhì)量塊的位置。答案： 3、如圖，已知m22×m1=m，k3=2k1=2k2=2k，x10=1.2,x20=0，試求系