專題10幾何最值問題含詳細答案

1、專題10 幾何最值問題【十二個基本問題】1如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（）A B11cm C13cm D17cm第1題 第2題 第3題 第4題2已知圓錐的底面半徑為r20cm,高h，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點A出發(fā)在側面上爬行一周又回到A點，螞蟻爬行的最短距離為_3如圖，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P為邊BC上一動點，PEAB于E，PFAC于F，則EF的最小值為（）A2B2.2C2.4D2.54如圖，在矩形ABCD中，AB10，BC5若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BMMN

2、的最小值為（）A10B8C5D65如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角處（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；（2）當AB4,BC5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長（3）在（2）的條件下，求點到最短路徑的距離6如圖，已知P為AOB內任意一點，且AOB30°，點、分別在OA、OB上，求作點、使的周長最小，連接OP，若OP10cm，求的周長7如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AEDF連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是_ 第7題 第8題 第9題8如圖

3、，在等腰RtABC中,BAC90°,ABAC,BC點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為 9如圖，O的半徑為1，弦AB1，點P為優(yōu)弧上一動點,ACAP交直線PB于點C，則ABC的最大面積是（）A B C D10如圖，已知拋物線y與一直線相交于A(1，0)，C(2，3)兩點，與y軸交于點N其頂點為D(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；(2)設點M(3，m)，求使MNMD的值最小時m的值；(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能

4、，求點E的坐標；若不能，請說明理由；(4)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值11如圖，拋物線l交x軸于點A(3，0)、B(1，0)，交y軸于點C(0，3)將拋物線l沿y軸翻折得拋物線(1)求的解析式；(2)在的對稱軸上找出點P,使點P到點A的對稱點及C兩點的距離差最大，并說出理由；(3)平行于x軸的一條直線交拋物線于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑12(2016朝陽）小穎在學習“兩點之間線段最短”查閱資料時發(fā)現(xiàn)：ABC內總存在一點P與三個頂點的連線的夾角相等，此時該點到三個頂點的距離之和最小【特例】如圖1，點P為等邊ABC的中心，將ACP繞

5、點A逆時針旋轉60°得到ADE,從而有DEPC，連接PD得到PDPA，同時APBAPD120°60°180°,ADPADE180°,即B、P、D、E四點共線，故PAPBPCPDPBDEBE在ABC中，另取一點P，易知點P與三個頂點連線的夾角不相等，可證明B、P、D、E四點不共線，所以PAPBPCPAPBPC,即點P到三個頂點距離之和最小13問題提出（1）如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，填空：當點A位于 時，線段AC的長取得最大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）問題探究（2）點A為線段BC外一動點，且BC=6，AB=3

6、，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE，找出圖中與BE相等的線段，請說明理由，并直接寫出線段BE長的最大值問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，BPM=90°，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BC=4，若對角線BDCD于點D，請直接寫出對角線AC的最大值14如圖所示，已知拋物線ya(x3)(x1)(a0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點

7、A的直線y與拋物線的另一個交點為D(1)若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若在第三象限內的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與ABC相似，求點P的坐標；(3)在(1)的條件下，設點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？答案1平面展開最短路徑問題解：如圖所示：長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cmPA424212(cm),QA5cm,PQ13cm故選：C2解：設扇形的圓心角為n，圓錐的頂為E

8、,r20cm,h由勾股定理可得母線l80cm,而圓錐側面展開后的扇形的弧長為2×20n90°即EAA是等腰直角三角形，由勾股定理得：AA'答：螞蟻爬行的最短距離為故答案為：3解：連接AP,在ABC中，AB3,AC4,BC5，即BAC90°又PEAB于E,PFAC于F，四邊形AEPF是矩形，EFAP，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4,EF的最小值為2.4,故答案為：2.44解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，ACAC邊上的高為所以BEABCEFB,即EF8故選：B5解：（1）如圖，木柜的表

9、面展開圖是矩形或故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的或（2）螞蟻沿著木柜表面矩形爬過的路徑的長是螞蟻沿著木柜表面矩形矩形爬過的路徑的長螞蟻沿著木柜表面爬過的路徑的長是故最短路徑的長是（3）作于E，是公共角，即則為所求6解：分別作點P關于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，分別交OA、OB于點、連接OM、ON、此時的周長最小的周長MN，M、N分別是P關于OA、OB的對稱點，MOAAOP,NOBPONO，MONMOAAOPNOBBOP2AOB,AOB30°,MON2×30°60°,OMN是等邊三角形，又的周長MN，MNP的周長MNMOPO10cm7解：

10、在正方形ABCD中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG,在ABE和DCF中,ABEDCF(SAS),12,在ADG和CDG中,ADGCDG(SAS),23,13,BAH3BAD90°,1BAH90°,AHB180°90°90°,取AB的中點O,連接OH、OD,則OHAO1,在RtAOD中,OD根據(jù)三角形的三邊關系,OHDHOD,當O、D、H三點共線時,DH的長度最小,最小值ODOH(解法二：可以理解為點H是在RtAHB,AB直徑的半圓上運動當O、H、D三點共線時,DH長度最小)故答案為：8 解：連結AE，如圖1，BAC90°,A

11、BAC,BCABAC4，AD為直徑，AED90°,AEB90°,點E在以AB為直徑的O上，O的半徑為2，當點O、E、C共線時，CE最小，如圖2,在RtAOC中，OA2,AC4，OCCEOCOE即線段CE長度的最小值為故答案為9解：連結OA、OB，作ABC的外接圓D，如圖1，OAOB1,AB1，OAB為等邊三角形，AOB60°,APB30°,ACAP,C60°,AB1，要使ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，ACB60°,點C在D上，ADB120°,如圖2，當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時ABC為等邊三

12、角形，且面積為ABC的最大面積為故選：D10 解：(1)由拋物線y過點A(1,0)及C(2,3)得,解得 ,故拋物線為y又設直線為ykxn過點A(1,0)及C(2,3)得,解得 故直線AC為yx1;(2)如圖1,作N點關于直線x3的對稱點N,則N(6,3),由(1)得D(1,4),故直線DN的函數(shù)關系式為y當M(3,m)在直線DN上時,MNMD的值最小,則m(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),點E在直線AC上,設E(x,x1),如圖2,當點E在線段AC上時,點F在點E上方,則F(x,x3),F在拋物線上,x3解得,x0或x1(舍去)E(0,1);當點E在線段AC(或CA)延長線

13、上時,點F在點E下方,則F(x,x1)由F在拋物線上x1解得x或x或綜上,滿足條件的點E的坐標為(0,1)、或(4)方法一：如圖3,過點P作PQx軸交AC于點Q,交x軸于點H；過點C作CGx軸于點G,設Q(x,x1),則PQ又面積的最大值為方法二：過點P作PQx軸交AC于點Q,交x軸于點H；過點C作CGx軸于點G,如圖3,設Q(x,x1),則又S_(APH)S_(直角梯形PHGC)S_(AGC)APC的面積的最大值為11解：(1)如圖1所示,設經(jīng)翻折后,點A、B的對應點分別為、依題意,由翻折變換的性質可知點坐標不變,因此,拋物線經(jīng)過三點,設拋物線的解析式為y則有：,解得a1,b2,c3,故拋物

14、線的解析式為：y(2)拋物線的對稱軸為：x1,如圖2所示,連接并延長,與對稱軸x1交于點P,則點P即為所求此時設P為對稱軸x1上不同于點P的任意一點,則有：|PB_(1)PC|B_(1)C(三角形兩邊之差小于第三邊),故即最大設直線的解析式為ykxb,則有：,解得kb3,故直線的解析式為：y3x3令x1,得y6,故P(1,6)(3)依題意畫出圖形,如圖3所示,有兩種情況當圓位于x軸上方時,設圓心為D,半徑為r,由拋物線及圓的對稱性可知,點D位于對稱軸x1上,則D(1,r),F(1r,r)點F(1r,r)在拋物線y上,r化簡得：0解得 ( gh(17)1)/(2)(舍去),此圓的半徑為當圓位于x

15、軸下方時,同理可求得圓的半徑為綜上所述,此圓的半徑為或12解：（1）如圖1，將ACP繞點A逆時針旋轉60°得到ADE,PAD60°,PACDAE,PADA、PCDE、APCADE120°,APD為等邊三角形，PAPD,APDADP60°,APBAPD120°60°180°,ADPADE180°,即B、P、D、E四點共線，PAPBPCPDPBDEBEPAPBPC的值最?。?）方法一：如圖2，分別以AB、BC為邊在ABC外作等邊三角形，連接CD、AE交于點P，ABDB、BEBC8、ABDEBC60°,ABED

16、BC,在ABE和DBC中， ，ABEDBC(SAS),CDAE、BAEBDC,又AOPBOD,APOOBD60°,在DO上截取DQAP，連接BQ，在ABP和DBQ中， ，ABPDBQ(SAS), BPBQ,PBAQBD,又QBDQBA60°,PBAQBA60°,即PBQ60°,PBQ為等邊三角形，PBPQ，則PAPBPCDQPQPCCDAE，在RtACE中，AC6、CE8，AECD10，故點P到三個頂點的距離之和的最小值為10方法二：如圖3，由（2）知，當APBAPCBPC120°時,APBPPC的值最小，把CPB繞點C逆時針旋轉60°

17、;得CPB,由（2）知A、P、P、B共線，且APBPPCAB,PCBPCB,PCBPCAPCBPCA30°,ACB90°,AB1013解：（1）點A為線段BC外一動點，且BCa,ABb，當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BCABab,故答案為：CB的延長線上,ab;（2）CDBE，理由：ABD與ACE是等邊三角形，ADAB,ACAE,BADCAE60°,BADBACCAEBAC,即CADEAB,在CAD與EAB中，CADEAB(SAS),CDBE；線段BE長的最大值線段CD的最大值，由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延

18、長線上，最大值為BDBCABBC369；（3）如圖1，連接BM，將APM繞著點P順時針旋轉90°得到PBN,連接AN，則APN是等腰直角三角形,PNPA2,BNAM，A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),OA2,OB5，AB3，線段AM長的最大值線段BN長的最大值，當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值ABAN,AN最大值為如圖2，過P作PEx軸于E，APN是等腰直角三角形，PEAEOEBOABAE（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形BCM,ABDCBM60°,ABCDBM,ABDB,BCBM，ABCDBM,ACMD，欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，BC定值,BDC90°,點D在以BC為直徑的O上運動，由圖象可知，當點D在BC上方,DMBC時，DM的值最大，最大值AC的最大值為14解：(1)ya(x3)(x1),點A的坐標為(3,0)、點B兩的坐標為(1,0),直線y經(jīng)過點A,by當x2時,y則點D的坐標為點D在拋物線上,a(23)(21)解得,a則拋物線的解析式為y(2)如圖1中,作PHx軸于H,設點 P坐標(m,n),當BPAABC時,BACPBA,tanBAC