分數(shù)階微積分發(fā)展現(xiàn)狀及展望

1、精品文檔分數(shù)階微積分發(fā)展現(xiàn)狀及展望在數(shù)學領域中，大體分為五種研究方向：基礎數(shù)學，應用數(shù)學，計算數(shù)學，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，統(tǒng)計學與控制論。這五個方向?qū)?shù)學在當代的發(fā)展都有不可或缺的作用。從研究內(nèi)容來講，方程、算子、群論、圖論、代數(shù)、幾何等等都是數(shù)學領域重要的研究對象。作為基礎數(shù)學專業(yè)分數(shù)階微分方程方向的博士生，本文將從分數(shù)階微分方程的發(fā)展的歷史及現(xiàn)狀、本人對分數(shù)階微分方程未來發(fā)展的看法來介紹分數(shù)階微分的基本知識。(一 ) 、發(fā)展歷史及現(xiàn)狀牛頓和萊布尼茲發(fā)明的微積分是現(xiàn)代數(shù)學與古典數(shù)學的分水嶺。分數(shù)階微積分是關于任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的， 是整數(shù)階微積分的推廣。整數(shù)階微積分作

2、為描述經(jīng)典物理及相關學科理論 的解析數(shù)學工具已為人們普遍接受，很多問題的數(shù)學模型最終都可以歸結 為整數(shù)階微分方程的定解問題，其無論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已 有了比較完善的理論。但當人們進入到復雜系統(tǒng)和復雜現(xiàn)象的研究時，經(jīng)典整數(shù)階微積分方程對這些系統(tǒng)的描述將遇到一些問題，如：需要構造非線性方程，并引入一些人為的經(jīng)驗參數(shù)和與實際不符的假設條件；因材料或外界條件的微小改變就需要構造新的模型等等?；谝陨显?，人們迫切期待著有一種可用的數(shù)學工具和可依據(jù)的基本原理來對這些復雜系統(tǒng)進行建模。分數(shù)階微積分方程非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程，其對復雜系統(tǒng)的描述具有建模簡單、參數(shù)物理意義清楚

3、、描述準確等優(yōu)勢，因而成為復雜力學與物理過程數(shù)學建模的重要工具之一。對大多數(shù)研究人員和工程師而言，分數(shù)階微積分也許還是比較陌生的，但它實際上早在 300多年前就被提出。 1695年 9 月，洛必達 (L' Hospital )在給萊布尼茲的著名信件中就寫到“對于簡單的線性函數(shù)f(x)=x，如果函數(shù)導數(shù)次數(shù)為分數(shù)而不是整數(shù)那會怎樣”。這是公認的第一次提及分數(shù)階微分。 1832 年，劉維爾 ( Liouville ) 成功的應用了自己提出的分數(shù)階導數(shù)的定義，解決了勢理論問題。之后劉維爾發(fā)表的一系列文章使他成為分數(shù)階微積分理論的實際級創(chuàng)始人。1974年， Oldham與Spanier 出版了

4、第一本關于分數(shù)階微積分理論的專著。在近三個世紀里，對分數(shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學的純理論領域里進行，但是從近幾十年，分數(shù)階微分方程越來越多的被用來描述光學和熱學系統(tǒng)、流變學及材料和力學系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別、控制和機器人及其他應用領域中的問題。分數(shù)階微積分理論也受到越來越多的國內(nèi)精品文檔1歡迎 。 下載外學者的廣泛關注，特別是從實際問題抽象出來的分數(shù)階微分方程成為很多數(shù)學工作者的研究熱點。隨著分數(shù)階微分方程在越來越多的科學領域里出現(xiàn)，無論對分數(shù)階微分方程的理論分析還是數(shù)值計算的研究都顯得尤為迫切。但是目前分數(shù)階微積分的實際工程應用存在許多障礙，很重要的一個原因是分數(shù)階微積分的數(shù)學基礎仍未

5、完善。目前就數(shù)學領域而言，分數(shù)階微積分存在的主要問題有: 多種分數(shù)階微分算子定義形式，在實際應用中都各有優(yōu)勢，尚不能做到統(tǒng)一；在理論研究方面，幾乎所有結果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程一樣，換句話說，這些工作基本上可以說只是經(jīng)典微積分方程理論的一個延拓。對分數(shù)階微分方程的定性分析很少有系統(tǒng)性的結果，大多只是給出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都具有局限性。 在數(shù)值求解方面， 現(xiàn)有分數(shù)階方程數(shù)值算法還很不成熟， 主要表現(xiàn) 為：（ 1）在數(shù)值計算中一些挑戰(zhàn)性難題仍未得到徹底解決，如長時間歷程的計算和大空間域的計算等； （ 2）成熟的數(shù)值算法比較少，現(xiàn)在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元；（ ）未形成成熟的數(shù)值計算軟件，嚴重滯后于應用的需3要。（二） 、對未來發(fā)展的看法鑒于此目前分數(shù)階微積分發(fā)展的現(xiàn)狀及主要問題，我認為未來分數(shù)階微積分的發(fā)展要抓住幾個關鍵點：（ 1）分數(shù)階微積分還處在探索階段，其理論體系還需要進一步擴充和完善。這也是我們方向未來的主要工作。（2） 分數(shù)階微積分作為一種新穎的數(shù)學工具，在應用來解決物理、 力學、生物、 信號處理、材料等學科問題還任重而道遠。未來要著重于理論研究與實際應用相結合。 （ 3）在數(shù)值計算方面應發(fā)展