高考數(shù)學文化素養(yǎng)型題

1、數(shù)學題-文化素養(yǎng)型1.算數(shù)書竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式VL2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式VL2h相當于將圓錐體積公式中的近似取為()A. B. C. D. 解析：由題意可知：L2r，即r，圓錐體積VShr2h·hL2hL2h，故，故選B.【答案】B2.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形

2、內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）ABCD【解析】設正方形邊長為，則圓半徑為則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為則此點取自黑色部分的概率為 故選B【答案】B4.九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬PABCD中，側棱PD底面ABCD，且PDCD，過棱PC的中點E，作EFPB交PB于點F，連接DE、DF、BD、BE.(1)證明：PB平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑.若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由；(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求的值.

3、解析：法一(1)證明因為PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD為長方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因為PDCD，點E是PC的中點，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.(2)解如圖，在面PBC內(nèi)，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.由(1)知，PB平面DEF，所以PB

4、DG.又因為PD底面ABCD，所以PDDG，而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB，則tan tanDPF，解得.所以.故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，.法二(1)證明如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.設PDDC1，BC，則D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，C(0，1，0)，(，1，1)，點E是PC的中點，所以E，于是·0，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因

5、(0，1，1)，·0，則DEPC，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.(2)解由PD平面ABCD，所以(0，0，1)是平面ABCD的一個法向量；由(1)知，PB平面DEF，所以(，1，1)是平面DEF的一個法向量.若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，則cos ，解得.所以.故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，.5.宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著四元玉鑒卷中“菱草形段”第一個問題，“今有菱草六百八十束，欲令落一形(同垛)之，

6、問底子(每層三角形邊菱草束數(shù)，等價于層數(shù))幾何？”中探討了“垛積術”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層三束，再下一層6束，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層菱草束數(shù))，則本問題中三角垛底層菱草總束數(shù)為_.解析：由題意，第n層菱草數(shù)為12n，136680，即為n(n1)(n2)680，即有n(n1)(n2)15×16×17，n15，120. 【答案】1206.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實

7、例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為()A.35 B.20 C.18 D.9解析：按照圖中的程序計算，當i2時，得v4；當i1時，得v2×419；當i0時，得v2×9018；當i1時，直接輸出v18，即輸出的v值為18，故選C. 【答案】C7.九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖1­1，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出

8、堆放的米約有()圖1­1A14斛 B22斛 C36斛 D66斛 解析 由題意，題中圖形為四分之一圓錐，設圓錐的底面半徑為R，則由8得R，所以V米V圓錐××××5(立方尺)，所以÷1.6221.9522(斛)【答案】B8.如圖1­3所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著九章算術中的“更相減損術”執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a()圖1­3A0 B2 C4 D14 解析 逐一寫出循環(huán)：a14，b18a14，b4a10，b4a6，b4a2，b4a2，b2，結束循環(huán)故選B. 【答案】B9.雞

9、兔同籠是中國古代著名趣題之一。大約在1500年前 ，孫子算經(jīng)中就記雞兔同籠載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞和兔同在一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭；從下面數(shù)有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？下列程序框圖是計算雞兔同籠的的算法，則判斷框處可填入的是 （ ）   【解析】根據(jù)程序框圖結合雞兔同籠的提問，n表示雞的個數(shù)，m表示兔的個數(shù)，雞從1開始驗證，所以，需要繼續(xù)循環(huán)，故排除B,D，直到時循環(huán)結束，排除了A，故選C. 【答案】C10.由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年

10、，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足MN=Q，MN=，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱（M，N）為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割（M，N）,下列選項中，不可能成立的是（ ） AM沒有最大元素，N有一個最小元素 BM沒有最大元素，N也沒有最小元素 CM有一個最大元素，N有一個最小元素 DM有一個最大元素，N沒有最小元素【解析】因為M與N滿足MN

11、=Q，MN=，不妨設分界點為， M為(,的子集,N為(,+ )的子集，或M為(,)的子集,N為,+ )的子集,此時M沒有最大值,N沒有最小值，若分界點為1，M為(,1的子集,N為(1,+ )的子集時M有最大值1，N沒有最小值，若M為(,1)的子集,N為1,+ )的子集，則M沒有最大值，N有最小值1，綜上可知選C.【答案】C 12.我國南宋時期的數(shù)學家秦九韶在他的著作數(shù)書九章中提出了計算多項式 的值的秦九韶算法，即將改寫成如下形式： ，首先計算最內(nèi)層一次多項式的值，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值.這種算法至今仍是比較先進的算法.將秦九韶算法用程序框圖表示如下圖，則在空白的執(zhí)行框內(nèi)應填入（ ）

12、A. B. C. D. 【解析】秦九韶算法的過程是，這個過程用循環(huán)結構來實現(xiàn),應該在題圖中的空白執(zhí)行框內(nèi)填入,選A. 【答案】A13.“歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法,可追溯至公元前300年前,上面的程序框圖的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”,執(zhí)行該程序框圖（圖中“”表示除以的余數(shù)）,若輸入的分別為675,125,則輸出的（ ）A. 0 B. 25 C. 50 D. 75【解析】當此時 否, 否, 是,輸出 ,選B.【答案】B14.我國南北朝時的數(shù)學著作張邱建算經(jīng)有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，等級較高的二等人所得黃金比等級較低的八等人和九等人兩人所得黃金之和（ ）A. 多斤 B. 少斤 C. 多斤 D. 少斤【答案】D15.中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”則該人最后一天走的路程為（ ）A. 24里 B. 12里 C. 6里 D. 3里【答案】C16.我國古代著名的思想家