矩陣環(huán)的單側(cè)理想

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)、創(chuàng)作）題目：矩陣環(huán)的單側(cè)理想學(xué)生姓名：馮兆東學(xué)號(hào)：A00914178 院（系）：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)入學(xué)時(shí)間： 二九年九月導(dǎo)師姓名：葛茂榮職稱/學(xué)位：副教授導(dǎo)師所在單位：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院完成時(shí)間：二一三 年六月矩陣環(huán)的單側(cè)理想摘要本文將證明:若是一個(gè)單環(huán),則是單環(huán); 若是一個(gè)有單位元的環(huán)，則一定是單環(huán),并給出了主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的全部理想的形式以及上三角形矩陣環(huán)一類理想的構(gòu)造方法.討論了實(shí)數(shù)域上矩陣環(huán)中的單側(cè)理想、偽理想、雙邊理想,給出了它們的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。關(guān)鍵詞：矩陣環(huán)；單環(huán)；理想；偽理想;雙邊理想The oneside ideal of matrix ringAb

2、stractThe paper proved that R is single ring if is single ring, is single ring if R is single ring ,gave all ideal form of matrix ring with chief ideal I and an structural method of all ideal of upper triangular matrix. In this paper, oneside ideal, Pseudo ideals and ideals in matrice ring on real n

3、umber field are discussed, the structure and characters is given.Key words: matrix ring; single ring;ideal;Pseudo ideal; ideal目 錄第一章前言11.1 矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史11.2 引言11.3 矩陣環(huán)的定義2第二章矩陣環(huán)22.1 單環(huán)22.2 單環(huán)與有單位元的環(huán)的關(guān)系4第三章矩陣環(huán)的理想形式43.1 主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的理想43.2 n 階上三角矩陣環(huán)的一類理想的構(gòu)造方法4第四章矩陣環(huán)中的單側(cè)理想64.1 單側(cè)理想及偽理想64.2 雙邊理想8主要參考文獻(xiàn)10致謝11第一章

4、 前言1.1 矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史根據(jù)世界數(shù)學(xué)發(fā)展史記載，矩陣概念產(chǎn)生于19世紀(jì)50年代，是為了解線性方程組的需要而產(chǎn)生的。然而，在公元前我國(guó)就已經(jīng)有了矩陣的萌芽。在我國(guó)的九章算術(shù)一書中已經(jīng)有所描述，只是沒有將它作為一個(gè)獨(dú)立的概念加以研究，而僅用它解決實(shí)際問題，所以沒能形成獨(dú)立的矩陣?yán)碚摗?850年，英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特 (SylveSter，1814-1897)在研究方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不相同的線性方程組時(shí)，由于無法使用行列式，所以引入了矩陣的概念。1855年，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊 (Caylag，1821-1895)在研究線性變換下的不變量時(shí)，為了簡(jiǎn)潔、方便，引入了矩陣的概念。1858年，凱萊在

5、矩陣論的研究報(bào)告中，定義了兩個(gè)矩陣相等、相加以及數(shù)與矩陣的數(shù)乘等運(yùn)算和算律，同時(shí)，定義了零矩陣、單位陣等特殊矩陣，更重要的是在該文中他給出了矩陣相乘、矩陣可逆等概念，以及利用伴隨陣求逆陣的方法，證明了有關(guān)的算律，如矩陣乘法有結(jié)合律，沒有交換律，兩個(gè)非零陣乘積可以為零矩陣等結(jié)論，定義了轉(zhuǎn)置陣、對(duì)稱陣、反對(duì)稱陣等概念。1878年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅伯紐斯 (Frobeniws，1849一1917)在他的論文中引入了矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子等概念，證明了兩個(gè)矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的不變因子和初等因子，同時(shí)給出了正交矩陣的定義,1879年，他又在自己的論文中引進(jìn)矩陣秩的概念.矩陣的理論發(fā)展

6、非常迅速，到19世紀(jì)末，矩陣?yán)碚擉w系已基本形成。到20世紀(jì)，矩陣?yán)碚摰玫搅诉M(jìn)一步的發(fā)展。目前，它己經(jīng)發(fā)展成為在物理、控制論、機(jī)器人學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。1.2 引言我們知道，域上的線性空間是定義了加法與乘法運(yùn)算的一種代數(shù)系統(tǒng)。除以上兩種運(yùn)算外，如果還定義了一個(gè)乘法運(yùn)算，并且滿足分配律與結(jié)合律，稱這樣的代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)結(jié)合代數(shù)，簡(jiǎn)稱是一個(gè)代數(shù)。實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中的理想只有平凡理想. 本文來討論其中的廣義理想. 本文中的一切記號(hào)見2,特別是文中反復(fù)使用的表示第行第 列的元素為 1, 其余元素為 0 的階方陣, 左理想和右理想的概念見1 .理想的定義定義1.2.12：非空子集

7、稱為代數(shù)的一個(gè)理想，如果對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉；對(duì)，一切形如及的元素的有限和都屬于。注：如果把改為一切形如的元素的有限和都屬于，稱為代數(shù)的一個(gè)左理想，類似定義的右理想，把左理想（或右理想）稱為單側(cè)理想。設(shè)是數(shù)域，是上矩陣的全體，上定義了三種運(yùn)算：矩陣加法，數(shù)乘矩陣，矩陣乘法，因此，不僅是一個(gè)維的線性空間，還是上的一個(gè)有限（維）結(jié)合代數(shù)。本文的目的是刻畫出的所有單側(cè)理想。定義1.2.2:環(huán)的理想叫做一個(gè)極大理想，如果并且對(duì)于的每一個(gè)理想，或。1.3 矩陣環(huán)的定義定義1.3.12：設(shè)是環(huán)，上一切階方陣關(guān)于矩陣的加法和乘法形成一個(gè)環(huán)，叫做上的矩陣環(huán)，記為。環(huán)自身和（記作）顯然為的理想。除和以外的其他理

8、想叫做的真理想。一個(gè)環(huán)可能沒有真理想，這樣的環(huán)叫單環(huán)。定義1.3.21: 設(shè)是環(huán) ，是的非空子集 。中包含的一切理想的交集仍是的一個(gè)理想 ，叫做由生成的理想 ，記為()。由一個(gè)元素生成的理想()叫做主理想 。如果一個(gè)環(huán)的每一個(gè)理想都是主理想 ，則稱這個(gè)環(huán)為主理想環(huán)。第二章矩陣環(huán)2.1 單環(huán)對(duì)單環(huán)的研究我們先提出下列問題：?jiǎn)栴}1：如果是單環(huán),那么是單環(huán)嗎？解答：設(shè)是單環(huán), 假設(shè)有真理想,(), (), () - (),(), 令()()( ),因?yàn)?所以 ()( ) .同理可證 ()().所以是的一個(gè)理想.又是 的真理想, 所以存在, 但,所以 階方陣.所以 是的真理想, 這與是單環(huán)矛盾, 故

9、是單環(huán).因此得到定理2.1.14若是單環(huán),則是單環(huán)。問題2：如果是一個(gè)有單位元的單環(huán), 那么一定是單環(huán)嗎？解答：設(shè) 是一個(gè)單環(huán)且有單位元, 假設(shè) 有真理想. 令,符號(hào) 表示第 行第 列位置的元素為 1, 其余位置的元素均為 0的方陣.則() ,(),所以- (-),所以 - ., 因?yàn)? 其中, ,所以. 同理可證.所以 是的一個(gè)理想.由的構(gòu)造方法及定理2.1.1的證明可知。再證 是的一個(gè)真理想. 若 不是的一個(gè)真理想, 則,，使,則() =, 于是 . 從而 , 與 是 的真理想矛盾.所以是的一個(gè)真理想, 這又與是一個(gè)單環(huán)矛盾. 故是 一個(gè)單環(huán).用符號(hào)表示環(huán)的全部理想作成的集合, 符號(hào)表示

10、的全部理想作成的集合.因此得到 定理2.1.23若是一個(gè)有單位元的單環(huán), 則一定是單環(huán)。推論 若環(huán)有單位元, 是的理想, 則 :A是到的一一映射.證明: 由定理2.1.1 的證明, 易證是單、滿射.2.2單環(huán)與有單位元的環(huán)的關(guān)系問題：若是一個(gè)有單位元的環(huán), 且中存在非零不可逆元,那么是不是單環(huán)?解答：因?yàn)? 又是一個(gè)有單位元的交換環(huán),易證是的一個(gè)真理想.所以不是單環(huán).因此得到 定理2.25 若是一個(gè)有單位元的單環(huán), 且中存在非零不可逆元, 則不是單環(huán).推論 設(shè)是一個(gè)有單位元的單環(huán), 且中存在非零不可逆元, 則不是單環(huán).證明：由定理 2.2,不是單環(huán). 再由定理2.1.1，不是單環(huán)。結(jié)論：當(dāng)是一

11、個(gè)有單位元的非交換環(huán)時(shí), 定理2.2不成立。例如: 域上階矩陣環(huán) 是有單位元的非交換環(huán), 它是一個(gè)單環(huán).第三章矩陣環(huán)的理想形式3.1主理想環(huán)上的矩陣環(huán)的理想我們有如下結(jié)論7:(1) 有真理想, 且它的全部理想形如:, 其中是的主理想.(2) 是 的極大理想當(dāng)且僅當(dāng)是的素元.3.2 n 階上三角矩陣環(huán)的一類理想的構(gòu)造方法用符號(hào) 表示環(huán)上的一切階上三角矩陣對(duì)于矩陣的加法、乘法作成的環(huán). 我們要證明不是單環(huán), 并構(gòu)造它的一類理想.設(shè) , 令.定義:如果, 則稱集合具有 性質(zhì).問題1：若是無零因子環(huán),是 的一個(gè)真理想, 則是否具有 性質(zhì) ?解答:若, 不妨設(shè)<, 則, 有,因?yàn)槭?的一個(gè)理想,

12、所以 ()( ),所以 ()( ) 的第行第列元素0又 因?yàn)闊o零因子, 所以0.由(1) 式有 0, 所以.所以 ()() 的第行第列元素0, 所以 0,所以, 其中, 即具有性質(zhì).因此得到 定理3.2.17若是無零因子環(huán),是 的一個(gè)真理想, 則具有性質(zhì).問題2：設(shè) , 且含有非零元, 如果具有性質(zhì), 且, 則是否 是 的一個(gè)真理想?解答：, 有 ,.所以- , 所以 () - ()( - ),(), 令()()(),因?yàn)? 而 具有性質(zhì),所以, ,所以 , 所以. 因此().同理可證 () ().故是的 的一個(gè)理想.又因?yàn)槿? 則.所以是 的一個(gè)真理想.因此得到 定理3.2.27 設(shè) , 且

13、含有非零元, 如果具有 * 性質(zhì), 且, 則是 的一個(gè)真理想.推論 設(shè)是無零因子環(huán), 且, 則作成 的真理想的充要條件是具有性質(zhì)。定理3.2.1, 定理 3.2.2不僅說明了 的真理想的存在性, 而且給出了它的一類真理想的構(gòu)造方法.例如：有理數(shù)域上的 2 階上三角矩陣環(huán)有如下形式的真理想, , .第四章矩陣環(huán)中的單側(cè)理想4.1單側(cè)理想及偽理想首先引入 定理4.1.17設(shè)L為 的一個(gè)右理想, 則存在中的秩最大的矩陣 , 使得 .證明:設(shè)是 的一個(gè)右理想, 若或 , 則 或 . 若 , 則中無可逆矩陣, 但有秩> 0 的矩陣, 且中矩陣的秩. 在中取一個(gè)秩最大的矩陣( 這樣的矩陣有許多, 任

14、取其一即可) , 設(shè)秩<, 且對(duì)于任意, 有秩. 因?yàn)?的右理想, 從而, 下證 .因?yàn)橹? 所以存在可逆矩陣、, 使得，故有=,現(xiàn)證.對(duì)于任意的 , 由于秩,所以秩,而+=,但,故，從而秩.令，則可由, , 0, 0線性表出. 否則, 不妨設(shè) 不能由, , 0, 0線性表出, 則，但秩>, 矛盾. 從而有 , 使得,故，進(jìn)而.綜上所述, . 即 的任意右理想都是主右理想. 證畢.同理可證 的左理想也是主左理想.下面來討論實(shí)數(shù)域上的矩陣環(huán) 的另一類廣義理想的性質(zhì). 先給出概念.定義4.17 設(shè)為環(huán)的一個(gè)子環(huán), 若對(duì)于任意及任意, 都有 及, 則稱為環(huán)的一個(gè)偽理想.顯然, 環(huán)的任意理

15、想都是偽理想, 但偽理起卻不一定是理想. 若在實(shí)數(shù)域中, 偽理想一定是理想. 因?yàn)閷?duì)于任意, 存在, 使得, 那么對(duì)于任意的, 都有, 從而, 故, 所以 是 的一個(gè)理想. 也就是說, 實(shí)數(shù)域中的理想和偽理想是一回事, 從而只有平凡偽理想.那么在實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中情況是怎樣的呢? 有下面的結(jié)論.定理 4.1.27實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中只有平凡的偽理想.證明:設(shè)為 的一個(gè)偽理想, 以下分三種情況來證明 .時(shí), 因, 由前面的敘述結(jié)論成立. 時(shí), 因?yàn)榇嬖? 且, 不妨設(shè), 因,從而, 那么- , 即, 由是偽理想得= =, 故, 由此又得 = = , 所以 = = . 進(jìn)而, 對(duì)于任意的 , 必

16、有 =±,故此時(shí)仍有.當(dāng)時(shí), 因?yàn)橹写嬖? 所以中至少有一個(gè) 0. 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), 取 且, 則; 同理可得, 從而, 所以 , 故. 又因?yàn)?, 且, 從而對(duì)于任意的 , 有. 那么對(duì)于任意的 , 有 =,故. 從而可得綜上所述, 中只有平凡偽理想. 證畢.4.2雙邊理想定義4.27 設(shè)是環(huán)的一個(gè)子環(huán), 若, 且, 都有, 則稱是環(huán)的一個(gè)雙邊理想.由定義易得, 除環(huán)中的雙邊理想都是平凡的. 當(dāng)然實(shí)數(shù)域中的雙邊理想也都是平凡的. 那么, 實(shí)數(shù)域上的全陣環(huán) 中雙邊理想的情況如何呢? 首先有下面的結(jié)論.定理4.27 中形如的集合都構(gòu)成 的雙邊理想.證明:設(shè),將中任一矩陣分塊為, 則對(duì)于

17、中任意矩陣及, 中任一矩陣, 都有=,從而是 的雙邊理想. 證畢.同理可證: 形如及的集合也構(gòu)成 的雙邊理想.主要參考文獻(xiàn)1 熊全淹. 近世代數(shù). 武漢:武漢大學(xué)出版社, 1995. 961282 Sen M K. On Pseudo Ideals of Rings. Nonta Math,1976,5(2):1581603 劉紹學(xué).環(huán)與代數(shù)M 1 北京:科學(xué)出版社,1983，3:1-74 劉太琳.中的子代數(shù)J.山東科學(xué)，2003,16（3）：9-115 姚志平.矩陣代數(shù)的無贅冪零生成元素J.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1995,23（3）：26-286 李立彬，魏俊潮.矩陣代數(shù)的stochastic矩陣子