第七章常微分方程數(shù)值解

1、第七章常微分方程數(shù)值解§1引言一 一階初值問(wèn)題解的存在唯一性一階常微分方程初值問(wèn)題（*）其中是平面某一區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，如果，滿足存在，并滿足方程那么是初值問(wèn)題（*），在上的解。對(duì)于（*）是否有唯一解？對(duì)還要附加一些條件。定義如果存在正常數(shù)，使得對(duì)任意有則稱滿足Lipschitz條件，L稱為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)。如果，那么有導(dǎo)數(shù)有界Þ滿足Lipschitz條件如果存在常數(shù)，使得對(duì)一切及有則稱對(duì)滿足Lipschitz條件。同理，只要 f(x,y)對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù)有界，則f(x,y) 滿足對(duì)y的Lipschitz條件。定理（存在唯一性），設(shè)是在上的連續(xù)函數(shù)，而且對(duì)滿足Lips

2、chitz條件，則對(duì)任意，初值問(wèn)題（*）在上存在唯一的連續(xù)可微解。二 本章研究的問(wèn)題例1，滿足微分方程和初始條件的解是y(x)=，無(wú)法給出具體表達(dá)式。為了對(duì)初值問(wèn)題進(jìn)行求解，一些簡(jiǎn)單問(wèn)題有解析解，大量非線性問(wèn)題沒(méi)有解析表達(dá)式，就是線性問(wèn)題也不一定有解析解，因此，近似求解和數(shù)值求解常微分方程是非常必要的。1 初值問(wèn)題數(shù)值解基本概念已知 (1.1)滿足（1.1）的解是過(guò)點(diǎn)（的一條曲線y(x)首先對(duì)連續(xù)區(qū)間離散化為常數(shù)。離散點(diǎn)是等矩的也可以是不等距的，下面僅討論等距情況。為方便起見(jiàn)：把在處的精確值記為，其近似值用表示 (1.2)方程（1.2）叫差分方程 這種求微分方程近似解的過(guò)程稱為步進(jìn)式的方法，計(jì)

3、算若用到前面不止一個(gè)信息量，叫多步法。，即這一步的公式誤差。綜上所述，求微分方程數(shù)值解需要處理以下幾個(gè)問(wèn)題：1 把微分方程（連續(xù)的）離散化為差分方程（離散的）2 用差分方程和初始條件計(jì)算出微分方程數(shù)值解3 有關(guān)理論（1） 誤差，局部截?cái)嗾`差，主局部截?cái)嗾`差，階（2） 收斂性（3） 穩(wěn)定性（絕對(duì)穩(wěn)定性）本章講授的內(nèi)容：1 單步法：顯示Euler方法，隱式Euler方法，梯形方法，改進(jìn)Euler方法，Rung-kutta方法2 單步法的收斂性，穩(wěn)定性，相容性3 線性多步法三 預(yù)備知識(shí)1 一元Taylor多項(xiàng)式 y2 二元Taylor多項(xiàng)式k)f(x,y)+, =3 數(shù)值積分4 Lagrang插值&

4、#167;2 簡(jiǎn)單數(shù)值方法已知 (2.1)（I）顯式Euler方法（也稱為Euler方法）Euler方法是求常微分方程初值問(wèn)題的最簡(jiǎn)單辦法。上節(jié)的公式(1.2)就是顯示Euler方法 (2.2)問(wèn)題： 要從(2.1) 離散化得到(2.2)還有什么辦法？1數(shù)值積分方法 把（2.1）寫成如下形式：(*)用左矩形公式近似左邊積分,用得到結(jié)果 (2.2)2 Taylor展開(kāi)方法略去高階項(xiàng)即設(shè)是初值問(wèn)題的解，那么有從而有用近似值由此得出公式（2.2）3數(shù)值微分方法稱為差商，即用差商近似微商，也得出：由此得出公式（2.2）當(dāng)已知時(shí)，可由公式（2.2）簡(jiǎn)單地求出，方法為顯式的，由上的近似值可求出上的近似值，

5、稱為單步公式，（2.2）稱為顯式Euler方法也稱為Euler方法。（II）隱式Euler方法（也叫后退Euler方法） 數(shù)值積分方法對(duì)(*) 公式右邊積分用右矩形積分公式得到 (2.3) 也可用Taylor展開(kāi)方法略去高階項(xiàng)，并設(shè)是初值問(wèn)題的解，則有即寫為同樣用的近似值代入有(2.3)的右端含有，一般，不能直接由（2.3）得出，這種方法是隱式的。（2 .3）稱為隱式Euler方法。該方法也可用數(shù)值微分方法得出。（III）梯形方法在上對(duì)上式進(jìn)行積分有等式右邊積分采用梯形公式近似有用來(lái)代替就得到 （2.4）（2.4）稱為梯形公式(IV) 用公式做計(jì)算顯示Euler公式由，但是，對(duì)于（2.3）、（

6、2.4）是隱式公式，不能由直接計(jì)算出，而是要解方程，一般用迭代方法，以（2.3）為例，取，或用顯式公式求出作為 ， 即 。當(dāng)時(shí)，取這樣方法稱為迭代法下面考慮迭代收斂性：當(dāng)收斂；稱為迭代收斂條件對(duì)于梯形公式（2.4），由于等式右邊含有，因而是隱式方法。用它們來(lái)求時(shí)必須解方程，一般用迭代求解。取，迭代公式為同樣，當(dāng)時(shí)，??；仿隱式Euler方法推導(dǎo)，梯形公式迭代收斂條件為例1 已知取計(jì)算到解：用Euler方法把代入有梯形方法把代入有由于是線性方程，可把隱式方法顯式化，因此不用進(jìn)行迭代Euler方法與梯形方法計(jì)算結(jié)果比較：從數(shù)值結(jié)果看出，梯形公式比Euler公式好，但一般梯形公式需要進(jìn)行迭代，因此做一

7、步費(fèi)時(shí)；對(duì)于“計(jì)算效率”的比較，應(yīng)從精度，耗機(jī)時(shí)等方面進(jìn)行比較，還應(yīng)從實(shí)際對(duì)精度要求來(lái)考慮。（V）予估一校正方法為了消除迭代，出現(xiàn)了予估一校正的方法，先給出粗糙估計(jì)，然后再給出稍精確的求解，這是微分方程數(shù)值解常用方法。改進(jìn)Euler方法予估校正或?qū)懗桑?.5）這公式稱為改進(jìn)的Euler公式，其精度比Euler公式好，比梯形公式稍差些，但是，它是顯示方法。例2用Euler方法和改進(jìn)Euler方法解初值問(wèn)題。步長(zhǎng)??；由0計(jì)算到3。方程準(zhǔn)確解是解：Euler方法 改進(jìn)Euler方法 (可以看出改進(jìn)Euler方法較為精確（VI）顯式單步方法基本概念（局部截?cái)嗾`差，主局部截?cái)嗾`差，階）已經(jīng)引入了四種方法

8、；Euler方法，隱式Euler方法，梯形方法，以及改進(jìn)Euler方法，其中二個(gè)為隱式方法，Euler方法與改進(jìn)Euler方法為顯式方法。下面重點(diǎn)討論顯式方法.其中，一般顯式方法可以統(tǒng)一寫成如下形式 （2.6）Euler方法是典型單步方法，從開(kāi)始進(jìn)行計(jì)算，在處微分方程初值問(wèn)題的精確解。與之差稱為方法在處的整體截?cái)嗾`差，當(dāng)然這與整個(gè)計(jì)算中每步情況有關(guān)，但一般求得較為困難，因此先考慮一步的誤差。1 局部截?cái)嗾`差定義2.1 （2.7）稱為顯式單步法（2.6）在處的局部截?cái)嗾`差，其中是微分方程初值問(wèn)題在處的精確解。顯然對(duì)于一般單步方法如果每步是精確的，即有那么即為是精確值，用顯式單步法計(jì)算一步的誤差因

9、此稱為局部截?cái)嗾`差。關(guān)于誤差僅討論截?cái)嗾`差，舍入誤差暫不討論。2 單步法的階定義2.2設(shè)y(x)是（2.1）的精確解，（2.6）為顯示單步法，若 y(x+h)-y(x)-h);h)= (2.8)則稱整數(shù)p是單步法（2.6）的階，稱（2.6）是p 階方法，且局部截?cái)嗾`差3主局部截?cái)嗾`差 定義2.3 若（2.6）是p階方法，其局部截?cái)嗾`差 = (2.9)則稱是單步法（2.6）的主局部截?cái)嗾`差或稱局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。例3寫出顯式Euler方法的局部截?cái)嗾`差，并求階，主局部截?cái)嗾`差解：按定義： =顯示Euler方法是一階方法，主局部截?cái)嗾`差是同理可得隱式Euler方法也是一階方法，主局部截?cái)嗾`差是梯形方

10、法梯形方法是二階方法，主局部截?cái)嗾`差是討論改進(jìn)Euler方法的局部截?cái)嗾`差要用到二元Taylor展開(kāi)，注意到：，可以看出此方法是二階的§3 Rung-Kutta方法下面我們要解決的問(wèn)題是如何構(gòu)造高階單步法？（I）用Taylor展開(kāi)構(gòu)造高階方法利用方程把這些導(dǎo)數(shù)代入的有限項(xiàng)展式，就得到Taylor展開(kāi)方法。例如 Euler公式Euler方法是1階方法，而上面是2階方法。這是三階方法。還可以類似推導(dǎo)下去，得到高階方法，但是要計(jì)算很多偏導(dǎo)數(shù)。特別是f復(fù)雜時(shí)，這方法不實(shí)用。我們希望仍采用這樣思想，又不計(jì)算導(dǎo)數(shù)而構(gòu)造出高階方法，由此導(dǎo)出Runge-kutta方法。（II）Runge-Kutta

11、方法Runge首先提出間接采用Taylor展開(kāi)方法，即用在幾個(gè)節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的線性組合來(lái)代替f的導(dǎo)數(shù)，然后按Taylor展開(kāi)，確定其系數(shù)，以期提高方法精度，這樣既避免f的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，同時(shí)又保證了精度。一 RK方法的一般形式（3.1）其中為待定權(quán)因子，R為使用的f值的個(gè)數(shù)，表示如下：（3.2）具體寫出有：（3.3）其中參數(shù)為提高精度創(chuàng)造了條件；用R個(gè)稱為R級(jí)R-K方法。二 構(gòu)造RK方法例1取R=1 此時(shí)只有一個(gè)K1并有（3.4）利用Taylor公式來(lái)確定C1設(shè)為微方程初值問(wèn)題的光滑解。比較得是顯示Euler公式，局部截?cái)嗾`差為下面考慮則（3.5）仍假定，對(duì)在處作Taylor展開(kāi)把代入下式， 有=+=

12、得出 （3.6）有四個(gè)未知數(shù)，但僅有三個(gè)方程。把四個(gè)參數(shù)滿足（3.6）的一組方法叫做二階RK方法。取為自由參數(shù)，取，得 （3.7）中點(diǎn)公式取，得改進(jìn)Euler公式 （3.8） Heun二階公式。對(duì)于三級(jí)方法（3.9）利用Taylor展開(kāi)，可以構(gòu)造三階方法。八個(gè)參數(shù)滿足如下方程 (3.10)這是8個(gè)未知數(shù)，6個(gè)方程，有二個(gè)自由參數(shù)可選取。對(duì)于R=4，可導(dǎo)出4階方法。此時(shí)有13個(gè)參數(shù)，11個(gè)方程，推導(dǎo)更為復(fù)雜，常用的有經(jīng)典Runge-Kutta方法。三 四階經(jīng)典RK方法 (3.11)其中這是經(jīng)常使用的方法，一般都有標(biāo)準(zhǔn)程序可調(diào)用例1用Euler方法，h=0.025，改進(jìn)Euler方法（二階Rung

13、e-Kutta方法），h=0.05以及4階Runge-Kutta方法，h=0.1解初值問(wèn)題：比較計(jì)算結(jié)果利用可以得出精確解為Euler方法改進(jìn)Euler方法4階Runge-Kutta方法計(jì)算結(jié)果：Euler 改進(jìn)Euler 4階R-K 精確解§4 單步法的收斂性和絕對(duì)穩(wěn)定性(I)收斂性已知 (4.1) (4.2)記=y( 差分方程精確解- 1 定義定義4.1 設(shè)初值問(wèn)題（4.1）的解存在唯一，若單步法（4.2）產(chǎn)生的近似解對(duì)任一固定的x 則稱該單步法是收斂的。例1 用顯示Euler方法求解，討論收斂性解：設(shè) 方法收斂2 收斂定理 用定義只能針對(duì)具體的方程來(lái)討論，對(duì)于一般方程很難討論，

14、下面定理給出了一般的判斷收斂的辦法。定理4.1若初值問(wèn)題的一個(gè)單步方法的局部截?cái)嗾`差為精確成立，并且對(duì)y滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù)L，使 有成立則單步法收斂并有整體截?cái)嗾`差 （4.3）證明:根據(jù)收斂定義因此必須估計(jì)事實(shí)上，即估計(jì)局部截?cái)嗾`差由定理?xiàng)l件這樣遞推下去有取，并且并有 定理4.1 告訴我們，初值沒(méi)有誤差，只要單步法的階p1，增量函數(shù)滿足關(guān)于y的Li氏條件，則單步法收斂，且有誤差估計(jì)式（4.3）例2 討論Euler方法的收斂性解： 是一階方法由于對(duì)滿足Lipschitz條件對(duì)也滿足Lipschitz條件。應(yīng)用定理知Euler方法收斂。例3 討論Runge-Kutta方法，對(duì)

15、R=2的改進(jìn)Euler方法。的收斂性解： p=2假定步長(zhǎng)，取為關(guān)于的Lipschitz常數(shù) 所以，改進(jìn)Euler方法收斂對(duì)于一般Runge-Kutta方法：，記對(duì)滿足Lipschitz條件 (為權(quán)應(yīng)大于0)于是，存在，當(dāng)時(shí)有對(duì)于還可以取，使當(dāng)時(shí)有同樣可得：由此，取有（收斂性證明中，因此可取h充分?。↖I）相容性1 相容的定義收斂性定理中要求局部截?cái)嗾`差若按變量在處作Taylor展開(kāi)，那么有，而，也就是說(shuō)是有界量這相當(dāng)于含h的項(xiàng)必為零，即滿足微分方程，由此有定義4.2單步法滿足條件 （4.4）則稱單步法（4.2）與微分方程初值問(wèn)題（4.1）是相容的。事實(shí)上，相容的方法必有相容方法至少是一階的。

16、，則單步法是相容的2 相容方法與方法收斂的關(guān)系對(duì)于相容單步法，若對(duì)滿足Lipschitz條件方法收斂即即有令時(shí)，有即計(jì)算格式趨于微分方程。相容本質(zhì)的意義在于“差分格式”收斂于“微分方程”。（III）穩(wěn)定性（絕對(duì)穩(wěn)定性） 研究收斂性時(shí)，沒(méi)有考慮舍人誤差的影響，實(shí)際上每步計(jì)算都有舍人誤差，穩(wěn)定性就是研究舍人誤差傳播問(wèn)題，當(dāng)求解過(guò)程中舍人誤差不增長(zhǎng)，則稱該數(shù)值方法是穩(wěn)定的。有單步法設(shè)是帶舍入誤差的值，而是單步法精確計(jì)算而得的準(zhǔn)確值。即在之間為使舍入誤差不增長(zhǎng)，則應(yīng)有由于與有關(guān)，所以穩(wěn)定性與方程（微分）右端項(xiàng)有關(guān)，而右端項(xiàng)各式各樣，如何來(lái)測(cè)試某個(gè)方法的穩(wěn)定性？一般把該數(shù)值方法用于一個(gè)“模型方程”（試驗(yàn)

17、方程），（為復(fù)數(shù)， （4.5）來(lái)考察方法的穩(wěn)定性，模型方程的解析解是y(x)=c。選擇模型方程的原因：討論方便，如果對(duì)這樣簡(jiǎn)單方程不穩(wěn)定，那么復(fù)雜方程也不穩(wěn)定一般方程可簡(jiǎn)化為模型方程形式 模型方程的解是穩(wěn)定的例4 討論顯示Euler方法的穩(wěn)定性用顯示Euler方法解模型方程 有 （4.6）相應(yīng)誤差方程 （4.7）可以看出，誤差方程（4.7）與原來(lái)單步法（4.6）一致，這是因?yàn)槟Ｐ头匠淌浅Ｏ禂?shù)線性方程而得到的，用于模型方程，考慮的增長(zhǎng)與誤差增長(zhǎng)是一樣的。因此，討論穩(wěn)定性直接用（4.6）就行了。 即 顯然， 時(shí)，誤差不增長(zhǎng)，Euler方法絕對(duì)穩(wěn)定。對(duì)于隱式Euler方法對(duì)于梯形方法 對(duì)于改進(jìn)Eul

18、er方法對(duì)于一般單步法用于模型方程有先考慮一下的性態(tài)令有誤差有誤差有誤差。有誤差有誤差如果很大，產(chǎn)生不穩(wěn)定，依賴于方法選取，Euler方法； 方法絕對(duì)穩(wěn)定下面給出絕對(duì)穩(wěn)定定義：定義4.3單步方法解模型問(wèn)題，得到的解，若，則稱單步法是絕對(duì)穩(wěn)定的。在復(fù)平面中，滿足的區(qū)域，稱為單步法的絕穩(wěn)定區(qū)域，它與實(shí)軸的交集稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。試寫出隱式Euler方法，梯形方法，改進(jìn)Euler方法的E(對(duì)于隱式Euler方法對(duì)于梯形方法 對(duì)于改進(jìn)Euler方法例5 求Euler方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域和絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間解：，對(duì)于Euler方法有為復(fù)數(shù)，令，那么，這是以（-1，0）為圓心1為半徑的單位圓的內(nèi)部，此為Euler法

19、的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域。區(qū)域與實(shí)軸交集是區(qū)間，此為絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)間。要使方法絕對(duì)穩(wěn)定步長(zhǎng)例6 考察隱式Euler方法的絕對(duì)穩(wěn)定性解：E(1,0)為圓心單位園的外部，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是（，要使方法絕對(duì)穩(wěn)定對(duì)步長(zhǎng) h沒(méi)有限制例7 考察改進(jìn)Euler方法的絕對(duì)穩(wěn)定性解： 絕對(duì)穩(wěn)定性條件為此等價(jià)于改進(jìn)Euler方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為。要使方法絕對(duì)穩(wěn)定要求步長(zhǎng) 可以證明梯形方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，要使方法絕對(duì)穩(wěn)定對(duì)步長(zhǎng)h沒(méi)有限制。對(duì)于4階經(jīng)典R-K方法應(yīng)用到方程代入有：，絕對(duì)穩(wěn)定當(dāng)為實(shí)數(shù)，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是 -2.785例8 用改進(jìn)Euler方法，梯形方法解初值問(wèn)題1 寫出計(jì)算公式2 討論絕對(duì)穩(wěn)定性3 用定義討論收斂性解：

20、1 改進(jìn)Euler方法 梯形方法 2 若計(jì)算所以要使方法絕對(duì)穩(wěn)定，有<1h<0.4 同理可得梯形方法的絕對(duì)穩(wěn)定性，對(duì)于任意的h>0,因?yàn)镋(分母的絕對(duì)值大于分子的絕對(duì)值，所以，方法絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間是 -，對(duì)步長(zhǎng)h沒(méi)有限制,3由改進(jìn)Euler方法計(jì)算公式遞推得到設(shè) x是任意固定點(diǎn)，且x>0, h=近似解序列收斂到方程的精確解。定義4.4絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域包含整個(gè)左半平面，這種方法稱為A-穩(wěn)定的。向后Euler方法和梯形方法都是A穩(wěn)定的。§5線性多步法（I）基本概念顯式單步法一般為即由上近似值上近似值，隱式也是由解方程（迭代）求出，即求上的近似值，僅與前面一個(gè)點(diǎn)的近似值相

21、聯(lián)系。提高精度的Runge-Kutta方法，一般也不很簡(jiǎn)單。問(wèn)題：還有沒(méi)有提高精度的辦法？回答是肯定的，就是采用前面多個(gè)信息，比如：上的近似來(lái)求，這樣的數(shù)值方法稱為多步方法。一 線性多步法的一般形式初值問(wèn)題 (5.1)先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子，對(duì)方程（5.1）兩端做積分有:右邊采用Simpson求積公式，這樣有用來(lái)表示得計(jì)算，要用到以及相應(yīng)的，并且公式中對(duì)是線性的。這樣方法稱為線性二步法。已知求處y(x)的近似值線性多步法的一般形式為：其中：k若，可以顯式計(jì)算，（5.2）為顯式方法。若，為隱式方法。為求解，必須進(jìn)行迭代其中：可由相應(yīng)顯式給定，迭代收斂條件 ， L為關(guān)于的Lipschitz常數(shù)線性單步法

22、是線性步方法的特例，例如有不同可得各種顯、隱單步法。二 局部截?cái)嗾`差，階，主局部截?cái)嗾`差定義5.1 （局部截?cái)嗾`差）設(shè)是的解，稱為線性步法（5.2）在的局部截?cái)嗾`差。 定義5.2 把按h展開(kāi)的首項(xiàng)稱為主局部截?cái)嗾`差,即 （5.4）為(5.2)的主局部截?cái)嗾`差。相應(yīng)的多步法稱為P階方法，這個(gè)定義包含了線性步法（當(dāng)然包含線性單步法），特別包含了線性隱式單步方法。例1Simpson公式用微分方程充分光滑解代入，寫出局部截?cái)嗾`差表達(dá)式，并用Taylor展開(kāi)有局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為Simpsion方法是四階方法。（II）構(gòu)造線性多步法 一 基于數(shù)值積分的方法1 Adams方法 1.1 顯式Adams方法Ad

23、ams方法是基于數(shù)值積分的方法，但積分區(qū)間為，對(duì)微分方程在區(qū)間積分有為求近似積分，采用插值多項(xiàng)式來(lái)近似這樣可以求得k-1次Lagrange插值多次式其中為對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的k-1次插值多項(xiàng)式基函數(shù)從而有 （5.5）其中 這是顯式Adams方法，稱Adams-Bashforth方法。例2k=2 用 做線性插值其中 容易得到：得多步法 （二步法） 其局部截?cái)嗾`差1.2 隱式Adams方法在顯式Adams方法中，采用上的來(lái)插值求，這相當(dāng)于外推，精度受到影響，改進(jìn)辦法是把作為一個(gè)插值的節(jié)點(diǎn)，即共有k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，可得插值多項(xiàng)式取，那么直接用局部截?cái)嗾`差定義求是一樣的。一般形式有：（隱式Adams方法or Ada

24、ms-Moulton方法）下面對(duì)常用顯式Adams和隱式Adams列表如下 k為步數(shù)，P為方法的階，Cp+1是局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)的系數(shù)（主局部截?cái)嗾`差的系數(shù)）顯式Adams（Adams-Bashforth）（書P303表9.5）隱式Adams (Adams-Moulton方法)（書P304表9.6）二 待定系數(shù)方法（基于Taylor展開(kāi)的方法）設(shè)y是微分方程的充分光滑解，已知線性多步法（5.2），恰當(dāng)選擇參數(shù)使其為P階方法。即把（5.4）中右端各項(xiàng)在處做Taylor展開(kāi)，要使方法為P階的，必須的系數(shù)全為零，于是得到這些參數(shù)滿足的方程組，解此方程組求出,就得到了P階方法。 例4 已知確定參數(shù)使方法

25、階盡量高。解：把上式右端各項(xiàng)在處做Taylor展開(kāi)，于是得到解上方程組得出主局部截?cái)嗾`差 四階方法，稱為Milne方法例5 考慮4步方法即要求方法是4階的. 解：寫出局部截?cái)嗾`差表達(dá)式把上式右端各項(xiàng)在處做Taylor展開(kāi)，令得到5個(gè)方程，有未知數(shù)9個(gè)取 得由此得到 的Adams-Bashforth方法如果取得：稱為Milne公式 局部截?cái)嗾`差為推導(dǎo)如下：例6 考慮三步方法要求方法是4階的。解：用同樣的方法得到有7個(gè)未知數(shù)的5個(gè)方程，取 ，可以解得得到Hamming方法三 預(yù)估一校正方法對(duì)于隱式方法，每一節(jié)點(diǎn)上近似值用迭代方法得到，這必須大大增加計(jì)算量。若用一個(gè)恰當(dāng)?shù)娘@式方法，求出作為隱式方法的預(yù)估值，然后用隱式方法對(duì)預(yù)估值作校正，并以這個(gè)校正值作為所求節(jié)點(diǎn)上的，那么將克服迭代法缺點(diǎn)。用Eular方法作預(yù)估，用梯形方法作校正的預(yù)估校正方法。 預(yù)估值 計(jì)算函數(shù)值相當(dāng)于修正Euler方法 通常使用預(yù)估校正方法有： Adams-Bashforth-Moulton方法4步4階顯式Adams方法作為預(yù)估，3步4階隱式Adams方法作校正 預(yù)估 求值 校正這是使用相當(dāng)廣泛的方法如果h充分小，由可知，當(dāng)h充分小，從而有其中 可以看出，誤差來(lái)估計(jì)而不用 The milne-Simpson Metho