一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程

1、1第四節(jié)第四節(jié)2一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式為一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式為 其其中中, 2, 1, 0 t，常常數(shù)數(shù)0 a， 函函數(shù)數(shù))(tf當(dāng)當(dāng), 2, 1, 0 t 時(shí)有定義時(shí)有定義. . 如如果果當(dāng)當(dāng) , 2, 1, 0 t時(shí)時(shí)有有0)( tf，則則稱(chēng)稱(chēng)方方程程 為為一階常系數(shù)一階常系數(shù)齊次齊次線(xiàn)性差分方程線(xiàn)性差分方程， 否則，稱(chēng)為否則，稱(chēng)為一階常系數(shù)一階常系數(shù)非齊次非齊次線(xiàn)性差分方程線(xiàn)性差分方程. . )(1tfayytt (1)01 ttayy(2)(2)稱(chēng)為稱(chēng)為(1)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性差分方程齊次線(xiàn)性差分方程. . 3)(1tfayytt (1)01 ttayy(2)不難證

2、明，不難證明，(2)的通解為的通解為,)(tctaCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 可以證明可以證明, ,一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的通解與一階一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的通解與一階線(xiàn)性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有線(xiàn)性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有 定理定理( (一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程通解的結(jié)構(gòu)一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程通解的結(jié)構(gòu)) ) 一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程(1)的通解可表示為的通解可表示為 tttyaCy)(其其中中 ty是是(1)的的一一個(gè)個(gè)特特解解, , 2, 1, 0 t，C是是任任意意常常數(shù)數(shù). 4 當(dāng)當(dāng) f( (x) )是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)

3、、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和差或乘積時(shí)，一般可用數(shù)以及它們的和差或乘積時(shí)，一般可用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求(2)的一個(gè)特解的一個(gè)特解. . 討論三種情形：討論三種情形：情形情形1 1)()(tPxfm 情形情形2 2tmdtPxf)()( 情形情形3 3tNtMtf sincos)( 5例例1 1求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線(xiàn)線(xiàn)性性差差分分方方程程2321 tyytt 的通解的通解. . 設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy21BAtA )(2)1(BtABtA 23 t,1, 3 BA得特解為得特解為,13 tyt從而通解為從而通解為,132 tCyttC為任意常數(shù)

4、為任意常數(shù). . 6設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 代入方程得代入方程得 ttyy1A )()1(BtABtA ,23 t例例2 2求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線(xiàn)線(xiàn)性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解沒(méi)有這樣的特解。沒(méi)有這樣的特解。7例例2 2求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線(xiàn)線(xiàn)性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解設(shè)特解設(shè)特解)(BtAtyt 代入方程得代入方程得 ttyy1,23 t,2tBtA )()1()1(22tBtAtBtA BAtA 2,27,23 BA得特解為得特解為,27232ttyt 從而通解為從而通解為C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . ,

5、27232ttCyt 8一般一般, 當(dāng)當(dāng))(tf是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式)(tPm時(shí)，可按下表設(shè)定時(shí)，可按下表設(shè)定非齊次差分方程非齊次差分方程)(1tfayytt 的一個(gè)特解的一個(gè)特解 ty： )(tf系數(shù)系數(shù) a 的取值的取值 特解特解 ty的形式的形式 )(tPm1 a)(tQm)(tPm1 a)(tQtm 表表中中)(tQm是是待待定定系系數(shù)數(shù)的的 m 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式. 9設(shè)設(shè)特特解解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 例例3 3求一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程求一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程ttttyy21 的的通解通解。 解解 ttyy1tBtABAtA2)222( tBAtA2)2( ,2tt

6、 ,2, 1 BA得特解為得特解為,2)2(ttty 從而通解為從而通解為,2)2(tttCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 10設(shè)設(shè)特特解解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 ttyy1tBAtBAtA2)(2 tA22 ,2tt 不存在這樣的特解。不存在這樣的特解。例例4 4求一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程求一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程ttttyy221 的通解。的通解。 解解11設(shè)設(shè)特特解解ttBtAty2)( ， 代入方程得代入方程得 例例4 4求一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程求一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程ttttyy221 的通解。的通解。 解解 ttyy1ttBtAtBtA2)1()1( 222 t

7、t2 tBAtA2)2(2 ,41,41 BA得特解為得特解為,2)1(41tttty 從而通解為從而通解為,2)44(2ttttCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 12一一般般, 當(dāng)當(dāng)tmdtPtf)()( 時(shí)時(shí)， 可可按按下下表表設(shè)設(shè)定定非非齊齊次次差差分分方方程程)(1tfayytt 的的一一個(gè)個(gè)特特解解 ty： )(tfd 與系數(shù)與系數(shù) a 的關(guān)系的關(guān)系特解特解 ty的形式的形式 tmdtP)(tmdtP)(表表中中)(tQm是是待待定定系系數(shù)數(shù)的的 m 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式. 0 datmdtQ)(0 datmdtQt)(13設(shè)設(shè)特特解解tBtAyt2sin2cos ， 代入方程得代入方

8、程得 ttyy21例例5 5求求線(xiàn)線(xiàn)性性差差分分方方程程tyytt2cos521 的的通通解解。 解解tBtA2cos2sin )2sin2cos(2tBtA tBAtAB2sin)2(2cos)2( t2cos5 ,1, 2 BA得特解為得特解為,2sin2cos2ttyt 通解為通解為,2sin2cos22ttCytt C為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。14一一般般, , 當(dāng)當(dāng)tNtMtf sincos)( , ,其其中中 , NM是是常常數(shù)數(shù)，且且 20 , , ，可可以以設(shè)設(shè)特特解解為為 tBtAyt2sin2cos 其其中中BA,是是兩兩個(gè)個(gè)待待定定常常數(shù)數(shù). 如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的

9、，必須首先把如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，必須首先把它化為它化為標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式才能應(yīng)用上面給出的通解公式和選取才能應(yīng)用上面給出的通解公式和選取特解的有關(guān)結(jié)論特解的有關(guān)結(jié)論. . 15例例6 6求求差差分分方方程程051021 tyytt的的通通解解. 設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy51BAAt66 )(5)1(BAtBtA t25 ,725,125 BA得特解為得特解為,725125 tyt原方程通解為原方程通解為,725125)5( tCyttC為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 首首先先把把差差分分方方程程改改寫(xiě)寫(xiě)為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形式式tyytt2551 . ,1

10、5 a16例例7 7(1) 現(xiàn)現(xiàn)期期某某種種產(chǎn)產(chǎn)品品的的供供應(yīng)應(yīng)量量tsQ,由由前前一一期期的的價(jià)價(jià)格格1 tP確確定定，)(1, ttsPSQ； 供需平衡的市場(chǎng)模型供需平衡的市場(chǎng)模型 基本假設(shè)：基本假設(shè)： (2) 現(xiàn)現(xiàn)期期該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的銷(xiāo)銷(xiāo)售售量量tdQ,由由現(xiàn)現(xiàn)行行價(jià)價(jià)格格tP確確定定，即即)(,ttdPDQ ； (3) 現(xiàn)現(xiàn)期期該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的供供需需平平衡衡，即即tstdQQ, . 常見(jiàn)的供給函數(shù)常見(jiàn)的供給函數(shù)S與需求函數(shù)與需求函數(shù)D均為線(xiàn)性函數(shù)，于均為線(xiàn)性函數(shù)，于是得到方程組是得到方程組 tstdttdttsQQPQPQ,1, )5()4()3(17解解 tstdttdttsQQP

11、QPQ,1, )5()4()3(其其中中 ,都都是是正正的的常常數(shù)數(shù)，若若已已知知初初始始價(jià)價(jià)格格0P，求求現(xiàn)現(xiàn)行行價(jià)價(jià)格格tP，并并研研究究其其變變化化規(guī)規(guī)律律. 把把(3), ,(4)代入代入(5), ,即得一階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性差分方程即得一階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性差分方程 1ttPP 1 ttPP), 1, 0( t求出方程的通解是求出方程的通解是 ttCP18 ttCP令令 P，稱(chēng)稱(chēng)為為平平衡衡價(jià)價(jià)格格(或或均均衡衡價(jià)價(jià)格格). 利利用用初初始始價(jià)價(jià)格格0P確確定定常常數(shù)數(shù)PPC 0， 可得現(xiàn)行價(jià)格可得現(xiàn)行價(jià)格tP的公式的公式 PPPPtt )(019PPPPtt )(0 由此可得以下簡(jiǎn)單結(jié)

12、論：由此可得以下簡(jiǎn)單結(jié)論： (1) 若初始價(jià)格若初始價(jià)格0P等于平衡價(jià)格等于平衡價(jià)格P，則現(xiàn)行價(jià)格，則現(xiàn)行價(jià)格tP將始將始終等于平衡價(jià)格；終等于平衡價(jià)格； 否則，若初始價(jià)格不等于平衡價(jià)格，否則，若初始價(jià)格不等于平衡價(jià)格， 則則由由于于tP中中包包含含因因子子tPP)(0 ,現(xiàn)現(xiàn)行行價(jià)價(jià)格格tP將將始始終終圍圍繞繞平平衡衡價(jià)價(jià)格格上上下下波波動(dòng)動(dòng)； (2) 若初始價(jià)格不等于平衡價(jià)格，且若初始價(jià)格不等于平衡價(jià)格，且1 ，這時(shí)現(xiàn)行價(jià)，這時(shí)現(xiàn)行價(jià)格格tP圍繞平衡價(jià)格上下波動(dòng)的振幅將隨著圍繞平衡價(jià)格上下波動(dòng)的振幅將隨著 t 增大而逐漸減增大而逐漸減少，且少，且 PPtt lim； 20PPPPtt )(0 (3) 若若初初始始價(jià)價(jià)格格不不等等于于平平衡衡價(jià)價(jià)格格，且且1 ，這這時(shí)時(shí)現(xiàn)現(xiàn)行行價(jià)價(jià)