提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的若干途徑

1、提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的若干途徑浙江省杭州高級(jí)中學(xué) 周順鈿如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率，是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討的一個(gè)重要話題。一、 題組串聯(lián)，提高概念復(fù)習(xí)的容量在進(jìn)行高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，前面二年的學(xué)習(xí)已使學(xué)生積累了大量的數(shù)學(xué)概念、定理、解題方法、數(shù)學(xué)思想等，這些知識(shí)象珍珠般散落在學(xué)生的腦海中，需要在高三復(fù)習(xí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將這些知識(shí)“聯(lián)珠成線”，“織線成網(wǎng)”。以函數(shù)的奇偶性為例，它涉及函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則、圖象特征等，內(nèi)涵豐富，概念性強(qiáng)，若能以題組的形式予以串聯(lián)，可大大提高復(fù)習(xí)效率。1、奇偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱（1）判斷函數(shù)的奇偶性，須優(yōu)先考慮定義域例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性； ；。（2）已知

2、函數(shù)的奇偶性，求參變量的值例2、已知函數(shù)為奇函數(shù)，求的值。例3、設(shè)，且，定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù)。求的取值范圍；討論函數(shù)的單調(diào)性。（2003年安徽春季高考）2、活用奇偶函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則（1）奇偶函數(shù)的分拆例4、函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是 ，為偶函數(shù)的充要條件是 。一般地，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和，則 ； 。應(yīng)用： 定義在上的任意函數(shù)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，如果，那么（ ）A、；B、；C、；D、；（全國高考）已知是偶函數(shù)，則 ， 。若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值。若為偶函數(shù)呢？已知，且，求的值。（2）抽象函數(shù)的奇偶性例5、設(shè)是R上的任意函數(shù),則下列敘

3、述正確的是（ ） (A)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù) (C) 是偶函數(shù) (D) 是偶函數(shù)（2006年遼寧高考）例6、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（ ）A、2 B、1 C、0 D、不能確定3、奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱例7、定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。求的表達(dá)式；解不等式；解不等式；求的表達(dá)式；解不等式。注：特別地，當(dāng)時(shí)，。例8、已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上為一次函數(shù)，在上為二次函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，求的解析式。4、奇偶函數(shù)的性質(zhì)（1）奇偶函數(shù)的和差積商的奇偶性例9、設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式

4、的解集是（ ）A、 B、C、 D、（2）奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性例10、定義在上的偶函數(shù)在上為減函數(shù)，試解不等式。評(píng)注：若分類討論去做，較繁！若用偶函數(shù)性質(zhì)，則立得，從而避開分類討論。5、關(guān)于奇偶函數(shù)的綜合問題例11、已知在上有定義，且滿足有，對(duì)數(shù)列。證明：在上為奇函數(shù)；求的表達(dá)式；是否存在自然數(shù)，使得對(duì)于任意，有成立？若存在，求出的最小值。（2005年湖北省八校聯(lián)考）引申：你能求出通項(xiàng)的表達(dá)式嗎？6、奇偶函數(shù)對(duì)稱性的推廣若函數(shù)滿足（偶函數(shù)），則的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱；若函數(shù)滿足，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；若函數(shù)滿足，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。若函數(shù)滿足（奇函數(shù)），則的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若函數(shù)滿足

5、，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；若函數(shù)滿足，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；若函數(shù)的圖像有兩條對(duì)稱軸，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期；若函數(shù)的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期；若函數(shù)的圖像有一條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期；例12、例6、已知是定義在上的增函數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)是上的增函數(shù)；當(dāng)a=0時(shí)，試解不等式；若a=2，（i）請(qǐng)指出函數(shù)圖像的對(duì)稱中心點(diǎn)的坐標(biāo)（無須證明）；（ii）試求滿足的m的取值范圍。在高考復(fù)習(xí)中，要重視對(duì)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的全面梳理與回顧，弄清各知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系。二、精選范例，通過引申、拓展、探究，提高復(fù)習(xí)

6、的深廣度“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”。縱觀近三年的高考，數(shù)學(xué)試題越來越“樸素”，既沒有艱深的知識(shí)，也沒有冷僻的技巧，許多題目取材于課本，由若干基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)組合、加工、改造而成，因此，在高三復(fù)習(xí)時(shí)要排除各種復(fù)習(xí)資料的干擾，抓住主干知識(shí)強(qiáng)化復(fù)習(xí)，精選范例，通過引申、拓展、探究，做到解一題通一片，跳出題海，提高效率。以下例題取材于人教社高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）第三章數(shù)列。1、探究逆命題我們知道，等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式有三種形式：。引導(dǎo)學(xué)生逆向探究探究1：若數(shù)列的前項(xiàng)和，問數(shù)列是不是等差數(shù)列？分析：當(dāng)時(shí)，（常數(shù)）；又，知也適合。故數(shù)列是等差數(shù)列。探究2：若數(shù)列的前項(xiàng)和，問數(shù)列是不是等差數(shù)列？分析1：由

7、得，因而，相減得，變形并遞推，有（常數(shù)），故是等差數(shù)列。分析2：由得，變形并遞推，有，易知數(shù)列是等差數(shù)列。評(píng)注：探究2是1994年全國高考文科試題，有較強(qiáng)的抽象度，較難找到問題的突破口，與2005年江蘇省高考題有異曲同工之妙。2005年江蘇省高考題：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，其中A.B為常數(shù)求A與B的值；證明：數(shù)列為等差數(shù)列；證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立2、探尋最優(yōu)解P117例4：已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前項(xiàng)和的公式嗎？教材突出基本量思想，采用第二個(gè)求和公式解答，復(fù)習(xí)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試一題多解。方法1 設(shè)，則解得。評(píng)注：公式3比公式2簡潔

8、，因此運(yùn)算也更簡便。受公式3啟發(fā)，有方法2 令，則數(shù)列仍為等差數(shù)列，結(jié)合公差的兩點(diǎn)式，有，在這里，除外，其余都是已知的，一步到位，直接得到了答案。進(jìn)一步探尋更一般的規(guī)律，可以得到（1）若是等差數(shù)列前項(xiàng)和，則點(diǎn)在同一直線上。（2）若滿足，則。數(shù)學(xué)探究性問題在培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性方面有其獨(dú)特的作用，可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效的發(fā)展。3、歸納、引申、拓展P125第11題：已知是互異的正數(shù)，是的等差中項(xiàng)，是的等比中項(xiàng)，與有無確定的大小關(guān)系？P136第9題：（1）在與中間插入10個(gè)數(shù)，使這12個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)；（2）已知，在與中間插入10個(gè)數(shù)，

9、使這12個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)。如將上述兩個(gè)問題并聯(lián)，并進(jìn)行推廣，可以得到已知，在與中間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列；再在與中間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列。試比較這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)與的大小。分析：容易求得，；，。，令，則從而知為自然數(shù)集上的增函數(shù)，由不等式的傳遞性有，故。事實(shí)上，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)落在與的連線上，點(diǎn)落在經(jīng)過點(diǎn)的指數(shù)型函數(shù)的圖像上，因?yàn)橹笖?shù)型函數(shù)的圖像是下凸的，故點(diǎn)必在點(diǎn)的上方，即。這樣的材料還有很多，如P115第10題、P125第10題要求學(xué)生拓展等差（比）中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步還可以引導(dǎo)學(xué)生拓展為：已知是等差（比）數(shù)列，若，則（或）。又如P114第3題：已知

10、一個(gè)無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，（1）將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（3）取出數(shù)列中所有項(xiàng)數(shù)為7的倍數(shù)的各項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？這實(shí)際上是等差數(shù)列的一組性質(zhì)，它以探究的形式要求學(xué)生自己去得到結(jié)論。由后兩小題還可得到更一般結(jié)論：取出等差數(shù)列中的所有等距項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列仍是等差數(shù)列。4、推廣一般問題P110第3題，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)：。此題可要求

11、學(xué)生求出它的通項(xiàng)公式，并進(jìn)一步歸納為一階線性遞推關(guān)系：求通項(xiàng)的通法。數(shù)列作為主干知識(shí)具有很大的交融性，常與函數(shù)、三角、方程、不等式、二項(xiàng)式定理、解析幾何等知識(shí)綜合在一起。尤其是浙江省自主命題的3年，壓軸題均為有解析幾何背景的遞推數(shù)列題，因此在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)作適當(dāng)?shù)难由焱卣?。三、關(guān)注新教材，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性根的分布定理是高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)分析的一個(gè)定理：如果連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足，那么方程在開區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)根。上述定理在高等數(shù)學(xué)中利用極限思想，結(jié)合區(qū)間套定理進(jìn)行證明。1993年全國高考?jí)狠S題： 已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)二次方程有兩個(gè)實(shí)根。證明（1）如果，那么且；（1）如果且，那么。2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷理科21題：設(shè)函數(shù)其中常數(shù)m為整數(shù). (1) 當(dāng)m為何值時(shí), (2) 定理: 若函數(shù)g(x) 在a, b 上連續(xù),且g(a) 與g(b)異號(hào),則至少存在一點(diǎn)x0(a,b),使g(x0)=0. 試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)m>1時(shí),方程f(x)= 0,在e-m ,e2-m 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.2006年高考數(shù)學(xué)浙江卷理16題：設(shè)f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這