三角函數(shù) 三角函數(shù)公式表

1、常見三角函數(shù)在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)OP=r，P點的坐標為(x,y)。 在這個直角三角形中，y是的對邊，x是的鄰邊，r是斜邊，則可定義以下六種運算方法： 基本函數(shù)英文表達式語言描述正弦函數(shù)Sinesin =y/r角的對邊比斜邊余弦函數(shù)Cosinecos =x/r角的鄰邊比斜邊 正切函數(shù)Tangenttan =y/x角的對邊比鄰邊余切函數(shù)Cotangentcot =x/y角的鄰邊比對邊正割函數(shù)Secantsec =r/x角的斜邊比鄰邊余割函數(shù)Cosecantcsc =r/y角的斜邊比對邊注：tan、cot曾被寫作tg、ctg，現(xiàn)已不用這種寫法。 非常見三角

2、函數(shù)除了上述六個常見的函數(shù)，還有一些不常見的三角函數(shù)，這些運算已趨于淘汰： 函數(shù)名與常見函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系正矢函數(shù)versin =1-cos 余矢函數(shù)covers =1-sin 半正矢函數(shù)havers =(1-cos )/2半余矢函數(shù)hacovers =(1-sin )/2外正割函數(shù)exsec =sec -1外余割函數(shù)excsc =csc -1單位圓定義六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為1中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在 0 和 /2 弧度之間的角。它也提供了一個圖像

3、，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，    三角函數(shù)單位圓的方程是：x2+y2=1 圖像中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設(shè)一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 ，并與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標分別等于 cos 和 sin 。圖像中的三角形確保了這個公式；半徑等于斜邊且長度為1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于 1的一種查看無限個三角形的方式。 對于大于 2 或小于等于2 的角度，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn)。在這種方式下，正

4、弦和余弦變成了周期為 2的周期函數(shù)：對于任何角度 和任何整數(shù) k。 周期函數(shù)的最小正周期叫做這個函數(shù)的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圓，也就是 2 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圓，也就是 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的，其他四個三角函數(shù)的定義如圖所示。    其他四個三角函數(shù)的定義在正切函數(shù)的圖像中，在角 k 附近變化緩慢，而在接近角 (k + 1/2) 的時候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在 = (k + 1/2) 有垂直漸近線。這是因為在 從左側(cè)接進 (k + 1/2) 的時候函數(shù)接近正無窮，而

5、從右側(cè)接近 (k + 1/2) 的時候函數(shù)接近負無窮。 另一方面，所有基本三角函數(shù)都可依據(jù)中心為 O 的單位圓來定義，類似于歷史上使用的幾何定義。特別    三角函數(shù)是，對于這個圓的弦 AB，這里的 是對向角的一半，sin 是 AC（半弦），這是印度的阿耶波多介入的定義。cos 是水平距離 OC，versin = 1-cos 是 CD。tan 是通過 A 的切線的線段 AE 的長度，所以這個函數(shù)才叫正切。cot 是另一個切線段 AF。 sec = OE 和 csc = OF 是割線（與圓相交于兩點）的線段，所以可以看作 OA 沿著 A 的切線分別向水平和垂直軸的投影。DE

6、是 exsec = sec -1（正割在圓外的部分）。通過這些構(gòu)造，容易看出正割和正切函數(shù)在 接近 /2的時候發(fā)散，而余割和余切在 接近零的時候發(fā)散。 三角函數(shù)線依據(jù)單位圓定義，    三角函數(shù)線我們可以做三個有向線段（向量）來表示正弦、余弦、正切的值。 如圖所示，圓O是一個單位圓，P是的終邊與單位圓上的交點，M點是P在x軸的投影，S(1,0)是圓O與x軸正半軸的交點，過S點做圓O的切線l。 那么向量MP對應的就是的正弦值，向量OM對應的就是余弦值。OP的延長線（或反向延長線）與l的交點為T，則向量ST對應的就是正切值。向量的起止點不能顛倒，因為其方向是有意義的。 借助線三

7、角函數(shù)線，我們可以觀察到第二象限角的正弦值為正，余弦值為負，正切值為負特殊角的三角函數(shù) 角度sincostancot0°010無意義30°1/23/23/3345°2/22/21160°3/21/233/390°10無意義0180°0-10無意義270°-10無意義0同角三角函數(shù)關(guān)系式 平方關(guān)系sin2()+cos2()=1 cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=1- 2sin2(a)=2cos2(a)-1 sin(2a)=2sin(a)cos(a) tan2()+1=1/cos2() 2sin2(a)=1-cos

8、(2a) cot2()+1=1/sin2(a) 積的關(guān)系sin=tan×cos cos=cot×sin tan=sin×sec cot=cos×csc sec=tan×csc csc=sec×cot倒數(shù)關(guān)系tan ·cot1 sin ·csc1 cos ·sec1商的關(guān)系sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec    三角函數(shù)直角三角    三角函數(shù)形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對

9、邊比鄰邊, ·對稱性 180度-的終邊和的終邊關(guān)于y軸對稱。 -的終邊和的終邊關(guān)于x軸對稱。 180度+的終邊和的終邊關(guān)于原點對稱。 90度-的終邊和的終邊關(guān)于y=x對稱。 誘導公式 公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 k是整數(shù)sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式

10、四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot公式六： /2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3

11、/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan誘導公式的表格以及推導方法（定名法則和定號法則） sincostancotseccsc360°k+sincostancotseccsc90°-cossincottancscsec90°+cos-sin-cot-tan-cscsec180°-sin-cos-tan-cot-seccsc180°+-sin-costancot-sec-csc270°-cos-sincottan-csc-sec270°+-cossin-cot

12、-tancsc-sec360°-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc定名法則 90°的奇數(shù)倍+的三角函數(shù)，其絕對值與三角函數(shù)的絕對值互為余函數(shù)。90°的偶數(shù)倍+的三角函數(shù)與的三角函數(shù)絕對值相同。也就是“奇余偶同，奇變偶不變” 定號法則 將看做銳角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函數(shù)的符號。也就是“象限定號，符號看象限”.（或為“奇變偶不變，符號看象限” 2在K/中如果K為奇數(shù)時函數(shù)名不變，若為偶數(shù)時函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名。正負號看原函數(shù)中所在象限的正負號。關(guān)于正負號有可口訣；一全二正弦，三切四余弦，即第

13、一象限全部為正，第二象限角正弦為正，第三為正切、余切為正，第四象限余弦為正。） 比如:90°+。定名：90°是90°的奇數(shù)倍，所以應取余函數(shù)；定號：將看做銳角，那么90°+是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余弦為負。所以sin(90°+)=cos , cos(90°+)-sin 這個非常神奇，屢試不爽 還有一個口訣“縱變橫不變，符號看象限”，例如：sin(90°+)，90°的終邊在縱軸上，所以函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名，即cos，將看做銳角，那么90°+是第二象限角，第二象限角的正弦為正，所以sin(90&

14、#176;+)=cos 兩角和與差的三角函數(shù)cos(+)=cos·cos-sin·sin cos(-)=cos·cos+sin·sin sin(±)=sin·cos±cos·sin tan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan) 和差化積公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/

15、2sin(-)/2 積化和差公式sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-) cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-) cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-) sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 倍角公式sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot) cos(2)=(cos)2-(sin)2=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2)=2tan/(1-tan2) cot(2)=(cot2-1)/(2cot) sec(2)=sec2/(1-tan2) csc(2)=1/2*s

16、ec·csc 三倍角公式sin(3) = 3sin-4sin3 = 4sin·sin(60°+)sin(60°-) cos(3) = 4cos3-3cos = 4cos·cos(60°+)cos(60°-) tan(3) = (3tan-tan3)/(1-3tan2) = tantan(/3+)tan(/3-) cot(3)=(cot3-3cot)/(3cot2-1) n倍角公式sin(n)=ncos(n-1)·sin-C(n,3)cos(n-3)·sin3+C(n,5)cos(n-5)·sin

17、5- cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)·sin2+C(n,4)cos(n-4)·sin4- 半角公式sin(/2)=±(1-cos)/2) cos(/2)=±(1+cos)/2) tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin cot(/2)=±(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos) sec(/2)=±(2sec/(sec+1) csc(/2)=±(2sec/(sec-1) 輔助角公式Asin+Bcos=(

18、A2+B2)sin(+）（tan=B/A） Asin+Bcos=(A2+B2)cos(-）（tan=A/B） 萬能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 降冪公式sin2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2) 三角和的三角函數(shù)sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·c

19、os+cos·cos·sin-sin·sin·sin cos(+)=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·cos tan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan) 其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/s

20、in(a) sec(a)=1/cos(a) cos30=sin60 sin30=cos60 推導公式tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=sin(/2)+cos(/2)2 其他及證明sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+

21、tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 證明： 左邊=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx =sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （積化和差） =sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右邊 等式得證 sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx 證明: 左邊=-2sinxsinx+sin2x+.+s

22、innx/(-2sinx) =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx) =- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右邊 等式得證 三倍角公式推導 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa si

23、n3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina(3/2)2-sin2a =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°+a)/2 =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosacos2a-(3/2)2 =4cosa(cos

24、2a-cos230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2 =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a) =-4cosacos(60°-a)-cos(60°+a) =4cosacos(60°-a)cos(6

25、0°+a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)三角形與三角函數(shù)1、正弦定理：在三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中R為外接圓的半徑) 2、第一余弦定理：三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對應角余弦的交叉乘積的和，即a=c cosB + b cosC 3、第二余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方之和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a2=b2+c2-2bc·cosA 4、正切定理(napier比擬)：三角形中任意兩邊差和的比值等于對應

26、角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2) 5、三角形中的恒等式： 對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證明: 已知(A+B)=(-C) 所以tan(A+B)=tan(-C) 則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 類似地,我們同樣也可以求證:當+=n(nZ)時，總有tan+tan+tan=tantantan  

27、  三角函數(shù)圖像三角函數(shù)圖像： 定義域和值域sin(x),cos(x)的定義域為R,值域為-1,1 tan(x)的定義域為x不等于/2+k,值域為R cot(x)的定義域為x不等于k,值域為R y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 c-(a2+b2) , c+(a2+b2） 初等三角函數(shù)導數(shù)y=sinx-y'=cosx y=cosx-y'=-sinx y=tanx-y'=1/cos2x =sec2x y=cotx-y'= -1/sin2x = - csc2x y=secx-y'=secxtanx y=cscx-y'=-cscxcotx y=arcsinx-y'=1/(1-x2) y=arccosx-y'= -1/(1-x2) y=arctanx-y'=1/(1+x2) y=arccotx-y'= -1/(1+x2) 倍半