第一章集總參數(shù)電路中的電壓電流的約束關(guān)系

1、1 1電路及集總電路模型 12電路變量 電流、電壓及功率13基爾霍夫定律14電阻元件15電壓源16電流源17受控源18分壓公式與分流公式19 兩類約束 KCL和KVL方程的獨(dú)立性 110支路分析法第一章第一章 集總參數(shù)電路中電壓、集總參數(shù)電路中電壓、電流的約束關(guān)系電流的約束關(guān)系 1.1.1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 一、電路的組成 電路由電源（信號源）、負(fù)載、傳導(dǎo)和控制部分組成。 如圖1-1-1（a）所示 (a)手電筒實(shí)際電路(b)手電筒電路模型 對于各種實(shí)際的電路元件，在一定條件下，忽略其次要性質(zhì)，用一個表征其主要物理特性的理想化模型來表示，即理想元件。 對于理想電阻元件，簡

2、稱為電阻，只表征消耗電能的性質(zhì)。 二、理想元件 理想電感元件，簡稱為電感，只表征儲存和釋放磁場能量的特性。 理想電容元件，簡稱為電容，只表征儲存和釋放電場能量的特性。 1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 電路符號見圖1-1-2。 電阻符號 電感符號 電容符號 圖1-1-2 三、電路模型由理想元件組成的電路稱為電路模型。電路分析的對象是電路模型。 1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 由集總參數(shù)元件構(gòu)成的電路稱為集總參數(shù)電路。四、集總參數(shù)集總參數(shù)元件(lumped parameter element)：當(dāng)實(shí)際電路的尺寸遠(yuǎn)小于其使用時最高工作頻率所對應(yīng)的波長時而抽象出的理想元件。

3、集總參數(shù)電路幾種常用集總參數(shù)元件： RCL sUsi1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 例如電力系統(tǒng)的供電頻率為50Hz,波長=6000km, 在此工作頻率下，電路實(shí)驗(yàn)的元件尺寸L0 ，說明電路吸收（消耗）功率；若p0 ，說明電路釋放（供給）功率。 當(dāng)電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向時:1-2 1-2 電路分析的基本變量電路分析的基本變量 已知某支路電壓電流參考方向如圖所示。 （1）如i=2mA,u=-5mV,求元件吸收的功率， （2）如u=-200V,元件吸收功率p=12kW,求電流。 元件吸收功率-1010-6 W，或供出功率1010-6W。610 10 Wpui 解解：（1）例例1-2

4、-1（2）312 1060A200piu 支路電流是-60A 例例1-2-2 1-2-2 如圖所示，(a)已知某支路電流i=5A，u=3V,求功率p。(b)已知電壓源支路，i=-2A,us=3V，求功率p。 +_(a) (b) 例例1-2-2 解：解：（a）電壓電流為非關(guān)聯(lián)方向 p=-ui=-35=-15W 支路供出功率15W (b) 電壓電流為關(guān)聯(lián)參考方向p=ui=3(-2)=-6W 供出功率6W 11( )ttttw tpduid能量的單位是焦耳（J）。例例1-2-31-2-3已知圖1-2-6（a）中某元件電流 , i電壓 的波形如（b）（c）所示,求1）求元件吸收的功率；2）求元件吸收的

5、能量及平均功率。 u2.能量 ( )w t 若電路的電流和電壓符合關(guān)聯(lián)參考方向，在 到 時刻內(nèi)該電路吸收的能量為:1tt例例1-2-2解解：1）由圖示波形寫出電流和電壓的表達(dá)式如下： 1 03312 V363tti ttts 14 03312 V 363ttu ttts 1.元件吸收的功率 2241 0339( ) ( )14 W 369tttp ti t u tttS 在0t1，則uo us，此時受控源起著線性放大的作用。受控電源的功率，根據(jù)電源與電流的參考方向，其獲得的功率為p = u1iL= u1( u1/RL)= (u1)2/RL可見，受控源向外提供功率，為一有源元件。例例1-14 含

6、CCCS電路如圖1-7-2（a）所示，試求電壓uo和流經(jīng)受控源的電流圖1-7-2 例1-14圖1-7 受控源受控源i4i62110Auo(a)uou610Ai4i21(b)解解 為了分析方便，將圖(a)畫成圖(b)，注意正確標(biāo)出控制量與被控質(zhì)量的方向首先，在列寫方程時，將受控源看做獨(dú)立源。根據(jù)KCL有1-7 受控源受控源uou610Ai4i21010)4(216iuu010)3436uuu（其次，找出控制量與被求量之間的關(guān)系，并代入方程求解3ui V12u所以A4312i故得V8)(20iu流經(jīng)受控源的電流為A164 i在電路分析中，串聯(lián)電路的分壓公式和并聯(lián)電路的分流公式是很有用的公式。12

7、uiRR1-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式1212=+u uuRiR i一、串聯(lián)分壓公式NR1R2uu1u2由KVL及歐姆定理得因而由此可得uRRRu2111uRRRu2122一般情況下，n個電阻串聯(lián)，第k個電阻的電壓為uRRunkkkk11-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式二、電位及電子電路的習(xí)慣畫法在電子電路中常把金屬殼作為導(dǎo)體，因而把一些應(yīng)連在一起的元件一端分別就近與機(jī)殼相聯(lián)，機(jī)殼往往稱為“地”雖然它并不與大地相連接。如圖1-8-1(a)所示。圖1-8-1 電子電路中分壓電路的習(xí)慣表示形式R2R1us2u113u1R1R2us213(a)(b)在有了電位的概念以后，電路

8、中各點(diǎn)對“地”的電壓習(xí)慣上就用電位表示，因此就有了電路的習(xí)慣畫法。圖(a)得分壓電路的習(xí)慣畫法如圖(b)所示。例1-15 空載直流分壓電路如圖1-8-2所示，R1=R2=R3=100，求節(jié)點(diǎn)電壓U1及U21-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式解 注意U1、U2均系指節(jié)點(diǎn)1、2到參考節(jié)點(diǎn)的電壓，U1并非R2上的電壓，而是R2+R3兩端的電壓。R2兩端的電壓應(yīng)記為U12。因此有圖1-8-2 例1-15圖例1-16 圖1-8-3(a)所示電路為雙電源直流分壓電路，試說明U1可在+15V至15V間連續(xù)變化。電位器電阻為R，為1、3間的電阻在電位器總電阻R中所占比例的數(shù)值，0 1.U1R1R215

9、0V21R2U2V100100200200150RRRRR150U321321V50100200100150RRRR150U321321-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式解 首先將習(xí)慣畫法的電路變成我們熟悉的電路，如圖(b)所示。根據(jù)圖(b)有圖1-8-3 例1-16圖015-15-RIV)(RIUR15V1U1R15V(a)R15V1U1R15V(b)I23當(dāng)滑動端1已知2時，。15VU1當(dāng)滑動端1已知3時，15VU10當(dāng)滑動端1在其他位置時，則根據(jù)KVL有RI30得所以有可見，當(dāng)滑動端移動時，隨之而動，U1將在+15V與15V之間連續(xù)可變。12 iuGG1-8 分壓公式和分流公式分

10、壓公式和分流公式1212= +i iiGuG u一、并聯(lián)分流公式NG1G2ui1i2串聯(lián)電路可以起到分壓作用，并聯(lián)電路則可以起到分流作用。如右圖所示電路中，根據(jù)KCL有因而由此可得iGGGiiGGGiiGGinkkkki可見，并聯(lián)電導(dǎo)中的任一電導(dǎo)的電流等于總電流乘以該電導(dǎo)對總電導(dǎo)的比值。若有n個電導(dǎo)并聯(lián)，不難得出第k個電導(dǎo)的電流為思考題PP431-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 一、電路的兩類約束一、電路的兩類約束 求解電路所需獨(dú)立方程數(shù) ：（1）電路的結(jié)構(gòu)約束：節(jié)點(diǎn)電流約束 KCL 回路電壓約束 KVL（2）電路的元件約束：電阻元件、電源元

11、件、受控 源的VCR設(shè)一電路有b條支路，每條支路需求一支路電流和一支路電壓則共需求2b個未知量，則共需2b個獨(dú)立方程才能求解該電路。b條支路有b各元件約束，可提供b個獨(dú)立元件約束方程，這樣要求結(jié)構(gòu)約束也能提供b個獨(dú)立方程。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 二、二、KCLKCL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 一般來說，一個具有n個節(jié)點(diǎn)的電路，可得到的獨(dú)立的KCL方程數(shù)為n1。 i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234圖1-9-1 電阻電路一例圖1-9-1所示電路有4個節(jié)點(diǎn)，5條支路?，F(xiàn)依次對4個節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程，有iiii

12、iiiiii這4個方程式中只有3個是獨(dú)立的，例如，第4個式子可由前3式相加、減得出。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 所有n各節(jié)點(diǎn)的KCL方程之和為 KCL獨(dú)立方程數(shù)的證明每一支路接在兩個節(jié)點(diǎn)之間。因而每一支路電流對一個節(jié)點(diǎn)為流出（設(shè)為if），則對另一個節(jié)點(diǎn)為流入（if）。因此如對所有的節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程，每一支路電流將出現(xiàn)兩次，且一次為正，一次為負(fù)。這一結(jié)果表明，對電路的n個節(jié)點(diǎn)列寫的n個KCL方程式非獨(dú)立的（線性相關(guān)）。 nkbjjjkiii)()(但是，從n個方程中任意去掉一個，余下的(n-1)方程一定是互相獨(dú)立的。一般來說，對于n節(jié)

13、點(diǎn)電路，任意選擇(n-1)節(jié)點(diǎn)列寫的KCL方程一定是互相獨(dú)立的。三、三、KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 對圖1-9-1所示電路列些回路KVL方程。先對兩個網(wǎng)孔列寫KVL方程：一般來說，如果一個電路有b條支路，n個節(jié)點(diǎn)，則該電路的獨(dú)立回路KVL方程數(shù)為（b- n+1）。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234圖1-9-1 電阻電路一例suuusuuu另外，還可對外回路列寫KVL方程。ssuuuu實(shí)際上，外回路的方程可由兩個網(wǎng)孔方程相加獲得。這就是說，不是所有的回路方程都是獨(dú)立的。

14、1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 下面分兩步證明： KVL獨(dú)立方程數(shù)的證明為了證明簡單，以平面電路為例。所謂平面電路就是可以畫在一個平面上而不使任何兩條支路交叉的電路。（a）一個平面電路有b-(n-1)個網(wǎng)孔；用數(shù)學(xué)歸納法證明平面電路的網(wǎng)孔數(shù)m =b-(n-1)。（b）b-(n-1)個網(wǎng)孔的KVL方程是獨(dú)立的；論證當(dāng)m=1時，由圖1-9-2可知，這一關(guān)系是無疑是正確的。圖1-9-2 m=1假設(shè)對一個具有m個網(wǎng)孔的電路該式也是正確的。則當(dāng)電路改為（m+1)網(wǎng)孔時，該式仍為正確，即可得證。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVL

15、KVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 當(dāng)網(wǎng)孔數(shù)為m+1時，一般情況下，設(shè)在m個網(wǎng)孔的任意兩個節(jié)點(diǎn)間增加串聯(lián)的k條支路，很顯然這k條支路 必然經(jīng)過(k-1)個節(jié)點(diǎn)，因此這時電路具有的支路數(shù)、網(wǎng)孔數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)分別是：圖1-9-3 網(wǎng)孔數(shù)為 m+1k-1123k具有m個網(wǎng)孔kbb mm)(knn由于)(nbm，因而)()()()(nbknkbknkbnbmm可見，網(wǎng)孔數(shù)的公式依然正確。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 所有網(wǎng)孔KVL方程是獨(dú)立的的證明 mkbjjjkuuu)()()(但是，去掉一個網(wǎng)孔方程（可去掉外沿網(wǎng)孔方程），其余m個方程一定是互相獨(dú)立

16、的。而電路的網(wǎng)孔數(shù)m=b-(n-1)，所以，一個電路可以提供b-(n-1)個獨(dú)立網(wǎng)孔方程。圖1-9-4 網(wǎng)孔及外沿網(wǎng)孔對于具有m個網(wǎng)孔的平面電路，如果把邊界也看成是一個包圍外部“空間”的網(wǎng)孔，則共有m+1個網(wǎng)孔。設(shè)網(wǎng)孔的繞行方向如圖所示，則對這m+1個網(wǎng)孔列寫KVL方程時，每個支路電壓將在這些網(wǎng)孔方程中出現(xiàn)兩次，一次為正，一次為負(fù)。所有方程之和為四、兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù)四、兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù) （1）元件約束提供的支路電流和支路電壓VCR約束方程數(shù)：b條支路可提供b個獨(dú)立的支路約束方程 （2）結(jié)構(gòu)約束提供的KCL、KVL獨(dú)立方程數(shù) ： KCL節(jié)點(diǎn)方程數(shù)：n-1 KVL網(wǎng)孔方程數(shù)：b-(

17、n-1) KCL、KVL工提供的獨(dú)立方程數(shù)： n-1+ b-(n-1) = b 所以，兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù)為所以，兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù)為2b個。因個。因此根據(jù)電路兩大約束關(guān)系列寫電路方程完全可此根據(jù)電路兩大約束關(guān)系列寫電路方程完全可以解出電路中各支路電流和支路電壓。以解出電路中各支路電流和支路電壓。 1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 電路分析的典型問題是：給定電路的結(jié)構(gòu)、元件的特性以及各獨(dú)立源的電壓或電流（激勵），求出電路中所有的支路電壓和電流，或某些指定的支路電壓、支路電流（響應(yīng)）。1-10 1-10 支路分析支路分析 支路分析就

18、是以支路電流或支路電壓為變量對電流求解。以支路電流為變量求解稱為支路電流法，以支路電壓為變量求解稱為支路電壓法。由于每一給定支路電流和電壓之間并不獨(dú)立，只要求出其中一個，就可以根據(jù)它們的約束關(guān)系求出另外一個。所以在實(shí)際中，并不需要同時以支路電流和支路電壓為變量求解的，而是以支路電流或支路電壓為變量對電流求解。 對于一個有b條支路的電路，同時以支路電流和支路電壓為變量求解，共有2b個變量，需要有2b個電路方程，稱為2b法；而分別一支路電流或支路電壓為變量求解則有1b個變量，需要1b個電路方程，稱為1b法。 仍以圖1-9-1電路為例說明。該電路有5條支路，有5個支路電流變量，需要5個獨(dú)立方程，這5個獨(dú)立方程分別來自于KCL和KVL1-10 1-10 支路分析支路分析i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234 對于兩個網(wǎng)孔得到KVL： 一、支路電流法對3個任一節(jié)點(diǎn)得到KCL:iiiiiiisuiRiRsuiRiR注意：在支路電流法中列寫KVL方程是先根據(jù)元件約束關(guān)系將各支路電壓用相應(yīng)的