電路的分析方法

1、第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 第第2章章 電路的分析方法電路的分析方法 2.1 支路電流法支路電流法 2.2 疊加定理疊加定理2.3 戴維南定理戴維南定理思考題與習(xí)題思考題與習(xí)題 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 2.1 支支 路路 電電 流流 法法 支路電流法是電路分析中普遍適用的求解方法， 它可以在不改變電路結(jié)構(gòu)的情況下， 以各支路電流為待求量， 利用基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律列出電路的方程式， 從而求解出各支路電流。 支路電流法的求解規(guī)律可以通過下面的實(shí)例來說明。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-1 例2-1的電路 E1R1I1AB

2、E2R2I2RI第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 例2-1 電路如圖2-1所示， 已知E1=50 V， R1=10 , E2=20 V， R2=10 ， R=30 。 試求各支路電流及各電源的功率。 解 先假定各支路電流的參考方向如圖2-1所示。 根據(jù)基爾霍夫電流定律Ik=0， 列出節(jié)點(diǎn)電流方程。 圖2-1所示的電路共有A和B兩個節(jié)點(diǎn)， 對于節(jié)點(diǎn)A有 -I1-I2+I=0 對于節(jié)點(diǎn)B有 I1+I2-I=0第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 將節(jié)點(diǎn)A的方程乘以-1， 就是節(jié)點(diǎn)B的方程， 因此， 節(jié)點(diǎn)A與節(jié)點(diǎn)B的方程只有一個是獨(dú)立的。 對于節(jié)點(diǎn)電流方程， 有如下的結(jié)論： 若電

3、路有n個節(jié)點(diǎn)， 則可以列出n-1個獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)電流方程。 本例中選取節(jié)點(diǎn)A的電流方程作為獨(dú)立方程， 將其記作式。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 根據(jù)基爾霍夫電壓定律RkIk=Ej， 列出回路電壓方程。 同樣， 所列的回路電壓方程應(yīng)該是獨(dú)立的， 為此， 選定的每一個回路必須至少包含一條新的支路。 為簡單起見, 通常選擇網(wǎng)孔列回路電壓方程。 所謂網(wǎng)孔， 是指平面電路（畫在平面上不出現(xiàn)支路交叉的電路）中的一個回路， 在它所包圍的范圍內(nèi)不存在其他支路， 如本例中的回路和回路。 選定回路和回路的循行方向如圖2-1所示。 對于回路有 R1I1-R2I2=E1-E2 第第2 2章章 電路的分析

4、方法電路的分析方法 對于回路有 R2I2+RI=E2 將回路和回路的電壓方程分別記作式和式。 本例中共有三條支路， 相應(yīng)的有三個待求電流I1、 I2和I， 為了求解待求的支路電流， 需要三個獨(dú)立的方程。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 聯(lián)立、 、 式， 代入數(shù)據(jù)， 解方程組， 求出支路電流。 -I1-I2+I=0 10I1-10I2=50-20 10I2+30I=20 解得 I1=2 A， I2=-1 A， I=1 A第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 電壓源E1吸收的功率為 P1=-E1I1=-502=-100 W 電壓源E2吸收的功率為 P2=-E2I2=-20(-

5、1)=20 W 由此可知, 電壓源E1發(fā)出100 W的功率， 電壓源E2吸收20 W的功率。 當(dāng)兩個電動勢相差較大的電源并聯(lián)時， 其中一個電源不但不發(fā)出功率， 反而吸收功率成為負(fù)載。 在實(shí)際的供電系統(tǒng)中， 直流電源并聯(lián)時， 應(yīng)使兩電源的電動勢相等， 內(nèi)阻接近。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 通過例2-1的求解過程可以總結(jié)出支路電流法的解題步驟如下： (1) 假定各支路電流的參考方向， 如果電路具有n個節(jié)點(diǎn)， 根據(jù)基爾霍夫電流定律列出（n-1）個獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)電流方程。 (2） 如果電路有b條支路， 根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出（b-n+1）個獨(dú)立的回路電壓方程。 通常選擇網(wǎng)孔作為回路。

6、 （3） 解方程組， 求出n個支路電流。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 如果電路中具有電流源， 應(yīng)將電流源的端電壓作為待求量計入回路電壓方程中， 為此， 應(yīng)先選定電流源端電壓的參考方向。 此時， 電流源所在支路的電流為已知的電流源的電流， 方程組中待求量的數(shù)目仍然不變。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 例2-2 電路如圖2-2所示。 已知E1=4 V， R1=10 , E2=2 V， R2=10 ， Is=1 A， 求電路中各電源的功率及兩電阻吸收的功率。 解 假定各支路電流及電流源端電壓的參考方向如圖2-2所示。 根據(jù)基爾霍夫電流定律得 I1+Is-I2=0 選

7、定回路和回路的循行方向如圖2-2所示。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-2 例2-2的電路 E1R1I1E2R2I2IsU第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 根據(jù)基爾霍夫電壓定律得 回路：R1I1+U=E1 回路：R2I2-U=-E2 聯(lián)立方程、 、 ， 代入數(shù)據(jù)后得 I1+1-I2=0 10I1+U=4 10I2-U=-2第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 解方程組得 I1=-0.4 A, I2=0.6 A, U=8 V 電壓源E1吸收的功率為 P1=-E1I1=-4(-0.4)=1.6 W 電壓源E2吸收的功率為 P2=E2I2=20.6=1.2 W

8、 電流源Is吸收的功率為 Ps=-UIs=-81=-8 W （實(shí)為發(fā)出功率）第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 兩電阻吸收的功率為 P=I21R1+I22R2=(-0.4)210+0.6210=5.2 W 可見， Ps=P1+P2+P， 整個電路中發(fā)出的功率等于吸收的功率。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 2.2 疊加定理疊加定理 對于無源元件來講， 如果它的參數(shù)不隨其端電壓或通過的電流而變化， 則稱這種元件為線性元件。 比如電阻， 如果服從歐姆定律U=RI， 則R=U/I為常數(shù)， 這種電阻就稱為線性電阻。 由線性元件所組成的電路稱為線性電路。 第第2 2章章 電路的分

9、析方法電路的分析方法 疊加定理是線性電路普遍適用的基本定理， 它反映了線性電路所具有的基本性質(zhì)。 其內(nèi)容可表達(dá)為在線性電路中， 多個電源（電壓源或電流源）共同作用在任一支路所產(chǎn)生的響應(yīng)（電壓或電流）等于這些電源分別單獨(dú)作用在該支路所產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。 在應(yīng)用疊加定理考慮某個電源的單獨(dú)作用時， 應(yīng)保持電路結(jié)構(gòu)不變， 將電路中的其他理想電源視為零值， 亦即理想電壓源短路， 電動勢為零； 理想電流源開路， 電流為零。 下面通過實(shí)例說明應(yīng)用疊加定理分析電路的方法。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 例2-3 電路如圖2-3(a)所示， 求電路中的電流IL。 圖2-3 例2-3的電路 1 A

10、3 V5 5 IL(a)1 A5 5 (b)LI3 V5 5 (c)LI 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 解 圖2-3（a）所示的電路中共有兩個電源。 先考慮電流源單獨(dú)作用， 此時電壓源視為短路， 如圖2-3(b)所示， 由圖可知AIL5 . 05555 再考慮電壓源單獨(dú)作用， 此時電流源視為開路， 如圖2-3(c)所示， 由圖可知AIL3 . 0533 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 疊加后得 I=I L +IL =0.5-0.3=0.2 A 受控源在沒有其他電源激勵的情況下不可能獨(dú)立存在， 不能將受控源視為獨(dú)立電源。 如果電路中含有受控源， 在考慮某個電源單獨(dú)作

11、用時， 受控源應(yīng)保留在原處。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 例2-4 電路如圖2-4(a)所示， 求電壓U1。 圖2-4 例2-4的電路3 (a)2 A2U12 U14 V3 (b)2 A2 U21U3 (c)2 4 V1U 12U 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 解 這是一個含有受控源的電路。 按疊加定理， 分別作出電流源單獨(dú)作用的電路如圖2-4(b)所示， 電壓源單獨(dú)作用的電路如圖2-4(c)所示。 在圖2-4(b)和圖2-4(c)中， 都將受控電壓源保留在了原處， 相應(yīng)的控制量分別標(biāo)為U1和U1。 對于圖2-4(b)， 根據(jù)基爾霍夫電流定律， 可列出節(jié)點(diǎn)電流

12、方程VUUUU12232211解得 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 對于圖2-4(c)， 根據(jù)基爾霍夫電壓定律， 可列出回路電壓方程VUUUVUUUU4812842321111111 解得 則有 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 使用疊加定理時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1） 疊加定理只適用于分析線性電路中的電壓和電流， 而線性電路中的功率或能量與電流、 電壓成平方關(guān)系， 不具有疊加的性質(zhì)。 （2） 疊加定理反映的是電路中理想電壓源或理想電流源所產(chǎn)生的響應(yīng)， 而不是實(shí)際電源所產(chǎn)生的響應(yīng)， 所以實(shí)際電源的內(nèi)阻必須保留在原處。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 （3）

13、 疊加時應(yīng)注意原電路中各電壓和電流與各電源單獨(dú)作用下各分電壓和分電流的參考方向。 以原電路中電壓和電流的參考方向?yàn)闇?zhǔn)， 分電壓和分電流的參考方向與其一致時取正號， 不一致時取負(fù)號。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 2.3 戴戴 維維 南南 定定 理理 在電路計算中， 有時只需計算電路中某一支路的電流和電壓， 如果使用支路電流法或疊加定理來分析， 會引出一些不必要的電流， 因此常使用戴維南定理來簡化計算。 在討論戴維南定理之前， 先介紹一下二端網(wǎng)絡(luò)的概念。 任何具有兩個端點(diǎn)與外電路相連接的網(wǎng)絡(luò)， 不管其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如何， 都稱為二端網(wǎng)絡(luò)。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法

14、圖2-5(a)、 (b)所示的兩個網(wǎng)絡(luò)都是已知電路結(jié)構(gòu)的二端網(wǎng)絡(luò)。 根據(jù)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部是否含有電源又分為有源二端網(wǎng)絡(luò)和無源二端網(wǎng)絡(luò)。 圖2-5(a)是無源二端網(wǎng)絡(luò)， 圖2-5(b)是有源二端網(wǎng)絡(luò)。 一般情況下， 有源二端網(wǎng)絡(luò)可用一個帶有字母A的方框加兩個引出端表示， 無源二端網(wǎng)絡(luò)可用一個帶有字母P的方框加兩個引出端表示， 有源二端網(wǎng)絡(luò)與無源二端網(wǎng)絡(luò)的連接方法如圖2-5(c)表示。 很顯然， 一個有源支路是最簡單的有源二端網(wǎng)絡(luò)， 一個無源支路是最簡單的無源二端網(wǎng)絡(luò)， 它們的連接如圖2-5(d)所示。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-5 二端網(wǎng)絡(luò)的概念ab(a)cd(b)R1E1R2

15、E2APcadb(c)ER0cadb(d)R第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 任何一個無源線性二端網(wǎng)絡(luò)， 其端電壓與端點(diǎn)電流之間是符合歐姆定律的， 它們的比值是一個常數(shù)， 因此， 任何一個線性無源二端網(wǎng)絡(luò)都可以用一個等效電阻來代替， 該等效電阻也稱為無源二端網(wǎng)絡(luò)的入端電阻。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 戴維南定理又稱等效電壓源定理。 可敘述如下： 任一線性有源二端網(wǎng)絡(luò)， 對其外部電路來說， 都可用一個電動勢為E的理想電壓源和內(nèi)阻R0相串聯(lián)的有源支路來等效代替。 這個有源支路的理想電壓源的電動勢E等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓U0 ， 內(nèi)阻R0 等于相應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

16、。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 所謂相應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻， 就是原有源二端網(wǎng)絡(luò)所有的理想電壓源及理想電流源均除去后網(wǎng)絡(luò)的入端電阻。 除去理想電壓源， 即E=0， 理想電壓源所在處短路； 除去理想電流源， 即Is=0， 理想電流源所在處開路。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 例2-5 試用戴維南定理求解例2-1中通過電阻R的電流I。 解 將例2-1中的電路重畫， 如圖2-6(a)所示， 圖中點(diǎn)劃線框內(nèi)是一有源二端網(wǎng)絡(luò)， 根據(jù)戴維南定理可用一電動勢為E的理想電壓源和內(nèi)阻R0 相串聯(lián)的有源支路來等效代替， 如圖2-6(b)所示。 其理想電壓源的電動勢E為a、

17、b兩端的開路電壓U0 ， 可由圖2-6(c)求得, 即AEEEEI5 . 11010205021211第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 故 E=U0=R2I1+E2=101.5+20=35 V 其內(nèi)阻R0 為a、 b兩端無源網(wǎng)絡(luò)的入端電阻， 可由圖2-6(d)求得, 即ARREIRRRRR130535510101010021210于是由圖2-6(b)可得這與例2-1求得的結(jié)果相同。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-6 例2-5的電路 R1E1R2E2RI(a)R0ERI(b)第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-6 例2-5的電路 R1E1R2E2

18、abU0I1abR0R1R2(c)(d)第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 例2-6 電路如圖2-7(a)所示， 已知E=10 V， R1=4 , R2=6 ， R3=8 , R4=2 ， R5=6 ， 求通過電阻R5的電流I5 。 解 將電阻R5 所在的支路抽出， 如圖2-7(b)所示， 點(diǎn)劃線框內(nèi)為一有源二端網(wǎng)絡(luò)， 根據(jù)戴維南定理， 它可以用一電動勢為E的理想電壓源和內(nèi)阻R0 相串聯(lián)的有源支路來等效代替。 電動勢E和內(nèi)阻R0可分別由圖2-7(c)和圖2-7(d)求得。 由圖2-7(c)可知第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 故 E=U0=R2I1-R4I2=61-21=

19、4 V 由圖2-7(d)可知ARREIARREI1281016410432211428286464434321210RRRRRRRRR第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 最后由圖2-7(e)求出電流I5 ARREI4 . 0644505 本例中， 由R1、 R2、 R3、 R4構(gòu)成的是一個電橋電路， 理想電壓源E稱作電橋的激勵。 電橋的一個重要性質(zhì)是當(dāng)電橋平衡時， 通過電橋?qū)蔷€支路的電流（本例中I5）為零。 為此， 必須有E=U0=0， 由圖2-7(c)可知043421224120RRERRRERIRIRUE第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-7 例2-6 的電路E

20、(a)bdacER5I5R1R2R4R3(b)acbdR1R3R4R2R5I5第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-7 例2-6 的電路acER1R2R4R3(c)bdI1I2(d)R1R2R4R3U0bdR0(e)R0I5R5dbE第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 這就是電橋平衡的條件。 利用電橋的平衡原理， 當(dāng)三個橋臂的電阻為已知時， 可準(zhǔn)確地測出第四個橋臂的電阻。 4132344212RRRRRRRRRR則 于是 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 戴維南定理告訴我們， 有源二端網(wǎng)絡(luò)可以用電壓源來等效代替， 而電壓源與電流源可以等效變換， 因此有源二端

21、網(wǎng)絡(luò)也可用電流源來等效代替。 如圖2-8所示， 圖2-8(a)的電壓源可以變換成如圖2-8(b)所示的電流源。 圖2-8(b)中的Is=E/R0即為網(wǎng)絡(luò)的短路電流。 這一關(guān)系可用諾頓定理敘述如下： 任一線性有源二端網(wǎng)絡(luò)， 對其外部電路來說， 可用一個電流為Is的理想電流源和內(nèi)阻R0相并聯(lián)的有源支路來等效代替。 其中, 理想電流源的電流Is等于網(wǎng)絡(luò)的短路電流， 內(nèi)阻R0等于相應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-8 戴維南定理與諾頓定理的關(guān)系ER0U0(a)U0(b)R0Is第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 例2-7 如圖2-9(a)所示的

22、二端網(wǎng)絡(luò)， 用內(nèi)阻為1 M的電壓表去測量時其開路電壓為30 V， 用內(nèi)阻為500 k的電壓表去測量時其開路電壓為20 V。 試將該網(wǎng)絡(luò)用有源支路來代替。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-9 例2-7的圖 AV11 M30 VV2500 k20 V(a)R0E1 M30 VI1500 k20 VI2(b)第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 解 用電壓表測量網(wǎng)絡(luò)開路電壓的等效電路如圖2-9(b)所示。 由圖2-9(b)可知201050010500301010330660RERE解得 E=60 V R0=106 =1 M 本例提示我們， 戴維南定理可用于校正非理想電壓表

23、測量的電壓。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 應(yīng)用戴維南定理與諾頓定理求解電路時， 需要注意下面兩個問題： (1) 戴維南或諾頓等效電路只能對線性的有源二端網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行等效， 不能對非線性的有源二端網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行等效。 但外電路不受此限制， 即外電路既可以是線性電路, 也可以是非線性電路。 (2) 戴維南或諾頓等效電路只在求解外電路時是等效的， 當(dāng)求解有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的電壓、 電流及功率時， 一般不等效。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 本章小結(jié)本章小結(jié) 支路電流法是求解電路最基本的方法。 它以支路電流為待求量， 應(yīng)用基爾霍夫定律列出電路方程。 當(dāng)電路有n個節(jié)點(diǎn)b條支路時，

24、可列(n-1)個獨(dú)立的電流方程， 然后根據(jù)網(wǎng)孔可列出(b-n+1)個獨(dú)立的電壓方程， 即可解出b個支路電流。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 疊加定理反映了線性電路的基本性質(zhì)。 利用疊加定理可將多個激勵（理想電壓源和理想電流源）共同作用在某支路所產(chǎn)生的響應(yīng)（電壓或電流）分解為單個激勵分別作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。 戴維南定理說明任何一個有源二端線性網(wǎng)絡(luò)都可以用一個電動勢為E的理想電壓源和內(nèi)阻R0 串聯(lián)的有源支路來等效代替， 而對外電路的作用不變。 戴維南定理常用于求解某一支路的電流。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 思考題與習(xí)題思考題與習(xí)題 2-1 電路如圖2-10所示

25、， 試列出求解各支路電流所需的方程。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-10 習(xí)題2-1的圖 E1E2R1R4R3R2R5R6第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-11 習(xí)題2-3的圖EI第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 2-2 當(dāng)數(shù)值相等的兩理想電壓源并聯(lián)或兩理想電流源串聯(lián)時， 疊加定理是否適用？ 2-3 電路如圖2-11所示， 當(dāng)E=10 V時， I=1 A。 如果E=30 V， 此時I等于多少？ 2-4 試將圖2-12(a)與(b)分別用等效電壓源來代替， 再變換成等效電流源。 2-5 試將圖2-13用等效電流源來代替， 再變換成等效電壓源。 第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-12 習(xí)題2-4的圖 20 V10 10 ab(a)ab20 V4 2 3 3 (b)第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 圖2-13 習(xí)題2-5的圖 6 V4 ab1 A第第2 2章章 電路的分析方法電路的分析方法 2-6 試用支路電流法求圖2-14所示電路中的電流I1、 I2、 I3。 已知E1=220 V， E2=E3=110 V， 內(nèi)阻R01=R02=R03=1 ， 負(fù)載電阻R1=R2=R3=9 。 2-7 試用支路電流法求圖2-15所示網(wǎng)絡(luò)中通過電阻R3支路的電流I3及理想