2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷(1)

1、.2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、選擇題此題總分值36分，每題6分 此題共有6小題，每題均給出A、B、C、D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi)，每題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過(guò)一個(gè)不管是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)，一律得0分1數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，那么an的最大項(xiàng)是 Aa1 Ba2 Ca3 Da42函數(shù)y3的圖象是 xOyxOyxOyxOyA B C D3拋物線(xiàn)y22px，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，使得POF是直角三角形，那么這樣的P點(diǎn)共有 A0個(gè) B2個(gè) C4個(gè) D6個(gè)4設(shè)fx是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，假設(shè)x1x20，x2x

2、30，x3x10，那么 Afx1fx2fx30 Bfx1fx2fx30Cfx1fx2fx30 Dfx1fx2fx35過(guò)空間一定點(diǎn)P的直線(xiàn)中，與長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的12條棱所在直線(xiàn)所成等角的直線(xiàn)共有 A0條 B1條 C4條 D無(wú)數(shù)多條6在ABC中，tanA，cosB假設(shè)的最長(zhǎng)邊為1，那么最短邊的長(zhǎng)為 A B C D二、填空題此題總分值54分，每題9分 本小題共有6小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上7集合Ax|x3n，nN，0n10，By|y5m，mN，0n6那么集合AB的所有元素之和為_(kāi)8設(shè)cos2，那么cos4sin4的值是_9x3x23的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)為_(kāi)10那么x2y2的最大

3、值是_11等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2020，公比q，設(shè)fn表示這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的積，那么當(dāng)n_時(shí)，fn有最大值12長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB14，AD13，那么對(duì)角線(xiàn)AC1的取值范圍是_三、解答題此題總分值60分，第13題，第14題各12分，第15題16分，第16題20分13設(shè)集合Ax|log3x2，Bx|1，假設(shè)ABÆ，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍14橢圓1的有焦點(diǎn)為F，P1，P2，P24為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中P1是橢圓的右頂點(diǎn)，并且P1FP2P2FP3P3FP4P24FP1，假設(shè)這24個(gè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的間隔 的倒數(shù)和為S，求S的值A(chǔ)BCDE15ABC中，ABA

4、C，AD、AE分別是BC邊上的高和中線(xiàn)，且BADEAC證明是直角16設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p271的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)10個(gè)，求p2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、選擇題此題總分值36分，每題6分 此題共有6小題，每題均給出A、B、C、D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi)，每題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過(guò)一個(gè)不管是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)，一律得0分1數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，那么an的最大項(xiàng)是 Aa1 Ba2 Ca3 Da4解：an，當(dāng)n2時(shí)，an取最大值，應(yīng)選B2函數(shù)y3的圖象是 xOyxOyxOyxOyA B C D解：由于|log3x|0，故y1

5、，只有A滿(mǎn)足此條件，應(yīng)選A3拋物線(xiàn)y22px，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，使得POF是直角三角形，那么這樣的P點(diǎn)共有 A0個(gè) B2個(gè) C4個(gè) D6個(gè)解：作垂直于x軸的焦點(diǎn)弦交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1、P2，那么P1OF、P2OF是直角三角形對(duì)于拋物線(xiàn)上異于O、P1、P2的點(diǎn)Q，顯然QFO90，QOF90，從而假設(shè)QOF為直角三角形，那么只能是FQO90設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為，yy0，±p，那么有y20， 由y0得，0，此方程無(wú)實(shí)解，從而這樣的點(diǎn)P只能2個(gè)，選B4設(shè)fx是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，假設(shè)x1x20，x2x30，x3x10，那么 Afx1fx2fx30 Bfx1fx2fx30C

6、fx1fx2fx30 Dfx1fx2fx3解：那么x1x2，知fx1fx2fx2Þfx1fx20；同理，fx2fx30，fx3fx10；所以，fx1fx2fx30選B5過(guò)空間一定點(diǎn)P的直線(xiàn)中，與長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的12條棱所在直線(xiàn)所成等角的直線(xiàn)共有 A0條 B1條 C4條 D無(wú)數(shù)多條解：首先，過(guò)角的頂點(diǎn)與角的兩邊成等角的直線(xiàn)在角所在平面的射影是角或其外角的平分線(xiàn)故假設(shè)以長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)平面為坐標(biāo)平面建立空間坐標(biāo)系，那么方程|x|y|z|共有8解，此8解共組成4條直線(xiàn)，故選C6在ABC中，tanA，cosB假設(shè)的最長(zhǎng)邊為1，那么最短邊的長(zhǎng)為 A B C D解：作輔助

7、圖如右：取高CDa，那么AD2a，BD3a，最短邊ACa；由5a1，得a，應(yīng)選D二、填空題此題總分值54分，每題9分 本小題共有6小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上7集合Ax|x3n，nN，0n10，By|y5m，mN，0n6那么集合AB的所有元素之和為_(kāi)解：AB15；故所求和36270530152258設(shè)cos2，那么cos4sin4的值是_解：即cos2sin2Þcos4sin42cos2sin2； 又，cos2sin21Þ cos4sin42cos2sin21 ÷2： cos4sin49x3x23的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)為_(kāi)解：x3x23x33x2×3x

8、23x×9x427x6Þx5 的系數(shù)2710那么x2y2的最大值是_解：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)集組成的圖形為圖中陰影部分及其邊界其中點(diǎn)3，0與原點(diǎn)間隔 最大，故x2y2max911等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2020，公比q，設(shè)fn表示這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的積，那么當(dāng)n_時(shí)，fn有最大值解：由于f4k0，f4k10，kN*f4kaq2k4k1；f4k1aq2k4k1故a1q4k于是f12f13，且當(dāng)k3時(shí)，f4k1f4k；又aq30，有f9f12；aq28k3， 故f8f12，且k3時(shí)，f4k4f4k，從而f12最大12長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB14，AD13，那么對(duì)

9、角線(xiàn)AC1的取值范圍是_解：設(shè)長(zhǎng)方體的三度分別為x，y，z，對(duì)角線(xiàn)ACd那么可得x2z216，y2z29d2x2y2z225z2，但0z3，從而16d225Þ4d5Þ所求取值范圍為4，5三、解答題此題總分值60分，第13題，第14題各12分，第15題16分，第16題20分13設(shè)集合Ax|log3x2，Bx|1，假設(shè)ABÆ，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由log3x2Þ03x4Þ1x3由1Þxax3a0 當(dāng)a0時(shí)，解為ax3a； 當(dāng)a0時(shí)，解為Æ； 當(dāng)a0時(shí)，解為3axa假設(shè)ABÆ，那么當(dāng)a0時(shí)，有a1Þ1a0；當(dāng)

10、a0時(shí)，有3a3Þ0a1所以，a的取值范圍為1，00，114橢圓1的有焦點(diǎn)為F，P1，P2，P24為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中P1是橢圓的右頂點(diǎn)，并且P1FP2P2FP3P3FP4P24FP1，假設(shè)這24個(gè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的間隔 的倒數(shù)和為S，求S的值解法一：橢圓的a3，b2，c，e，p對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)P，|FP|r，P到準(zhǔn)線(xiàn)的間隔 |PH|d，F(xiàn)P與Ox正向夾角為，那么有 rcosdp，e于是， d1ecosp，Þ1ecos所以， S1ecoscos 故 S2180 解法二：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)那么有 代入： 4x29k2x2360即， 49

11、 k2x218xk245k2360 所以， x1x2，x1x2 而點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)間隔 dxÞ， 故直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)間隔 的倒數(shù)和為 而過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角90時(shí)，兩交點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的間隔 c，故90及270的兩個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)間隔 倒數(shù)和也所以，S12×6；S2180解法三：令代入橢圓方程得，t24cos29sin28tcos160同上15ABC中，ABAC，AD、AE分別是BC邊上的高和中線(xiàn)，且BADEAC證明是直角證明一：延長(zhǎng)AE到F，使EFAE，延長(zhǎng)AD到K，使DKAD連FK，F(xiàn)B因FBACÞAFBEAC又BD垂直平分AK，故AKBBAD，因BADEAC，所以AKBAF

12、B所以A、F、K、B四點(diǎn)共圓FKBCÞFKA90故AF為該圓直徑E為此圓圓心故EAEBEC，即點(diǎn)C在此圓上此圓為ABC的外接圓，BC為圓的直徑所以BAC為直角證明二：取ABC的外接圓，延長(zhǎng)AE交圓于點(diǎn)F，連FB，那么CBFCAFBAD，但BADABD90，從而FBCABC90，即ABF90從而AF為圓的直徑假設(shè)E不是圓心，那么AFBC，ÞABAC與矛盾故E為外心從而B(niǎo)AC90證明三：作ABC的外接圓，作EFBC，交外接圓于點(diǎn)F，連AF那么EF是BC的垂直平分線(xiàn)，故F為的中點(diǎn)，于是AF是BAC的平分線(xiàn)由BADEAC，得DAFEAF又，EFAD，故DAFEFAÞEAF

13、EFAÞEAEF故AF的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E由于ABC的外接圓圓心應(yīng)是弦AF、BC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，故E為ABC的外心從而ABC為直角三角形，得，BAC為直角證明四：取AC中點(diǎn)F，連DF、EF，由EFABÞAEFEABBADDAEEACDAEDAC，由AD為高，故DACADF，所以，ADFAEFÞA、D、E、F四點(diǎn)共圓于是有EFA90，從而B(niǎo)AC90，故證證明五：以D為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸建立坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A0，a，Bb，0，C0，c設(shè)AB到AD的角為，那么tankAC，kAE，ÞtanEAC 由tanEACtanÞ化簡(jiǎn)得

14、a2bc即|AD|2|DB|·|DC|故ABC為直角三角形證明六：設(shè)BCa，BDp，ADh，那么tanB，tanAEBBAEDACÞtanBAEtanDAC在ABE中，有··即h2a2p2ph2papa2p2h2a2pÞh2pap從而|AD|2|DB|·|DC|故ABC為直角三角形得證證明七：設(shè)BADEAC，那么ADABcosACsinC， BAEDAC90C而SBAESCAEÞAB·AEsin90CAC·AEsinÞABcosCACsin×：sin2sin2CÞC90或C假設(shè)C90，那么D、E重合，與ACAB矛盾，ÞC那么有BAC90，得證16設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p271的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)10個(gè)，求p解 p2時(shí)，p271753×52，d752×3610，故p2是此題的解； p3時(shí)，p2718024×5，d805×21010，故p3是此題的解； 假設(shè)質(zhì)數(shù)p3，那么