實驗1多元函數(shù)微分學(基礎實驗)

1、項目三 多元函數(shù)微積分實驗1 多元函數(shù)微分學（基礎實驗）實驗目的 掌握利用Mathematica計算多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的方法, 掌握計算二元函數(shù)極值和條件極值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通過作圖和觀察, 理解二元函數(shù)的性質、方向導數(shù)、梯度和等高線的概念.基本命令1.求偏導數(shù)的命令D命令D既可以用于求一元函數(shù)的導數(shù), 也可以用于求多元函數(shù)的偏導數(shù). 例如:求對x的偏導數(shù), 則輸入Dfx,y,z,x求對y的偏導數(shù), 則輸入Dfx,y,z,y求對x的二階偏導數(shù), 則輸入Dfx,y,z,x,2求對的混合偏導數(shù), 則輸入Dfx,y,z,x,y 2.求全微分的命令Dt該命令只用于求二元函

2、數(shù)的全微分時, 其基本格式為Dtfx,y其輸出的表達式中含有Dtx,Dty, 它們分別表示自變量的微分dx,dy. 若函數(shù)的表達式中還含有其它用字符表示的常數(shù), 例如a, 則Dtfx,y的輸出中還會有Dta, 若采用選項Constants->a, 就可以得到正確結果, 即只要輸入Dtfx,y,Constants->a3.在平面上作二元函數(shù)的等高線的命令ContourPlot命令的基本格式為ContourPlotfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2例如,輸入ContourPlotx2-y2,x,-2,2,y,-2,2則輸出函數(shù)的等高線圖(圖1.1). 該命令的選項比較多(詳細的內

3、容參見光盤中的實驗案例庫). 如選項Contours->15表示作15條等高線, 選項Contours->0表示只作函數(shù)值為0的等高線.圖1.175 / 12實驗舉例求多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分例1.1 (教材 例1.1) 設求輸入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y則輸出所求結果.例1.2 設求和全微分dz.輸入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y則有輸出再輸入Dtz則得到輸出例1.3 (教材 例1.2) 設其中a是常數(shù), 求dz.輸入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants->

4、;a/Simplify則輸出結果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants->a+ Dty,Constants->a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants->a就是dx, Dty,Constants->a就是dy. 可以用代換命令“/.”把它們換掉. 輸入wf/.Dtx,Constants->a->dx,Dty,Constants->a->dy輸出為(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 設,求輸入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonC

5、onstants->u,v(*第一個方程兩邊對x求導數(shù), 把u,v看成x,y的函數(shù)*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants->u,v(*第二個方程兩邊對x求導數(shù), 把u,v看成x,y的函數(shù)*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants->u,v,Dv,x,NonConstants->u,v/Simplify(*解求導以后由eq1,eq2組成的方程組*)則輸出 其中Du,x,NonConstants->u,v表示u對x的偏導數(shù), 而Dv,x,NonCosnstants->u,v表示v對x的偏導數(shù). 類似地可求得u,v

6、對y的偏導數(shù).微分學的幾何應用例1.5 求出曲面在點(1,1)處的切平面、法線方程, 并畫出圖形.解(1) 畫出曲面的圖形. 曲面的參數(shù)方程為輸入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*Cosu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2則輸出相應圖形(圖1.2).圖1.2 (2) 畫出切平面的圖形. 輸入命令a=Dfx,y,x/.x->1,y->1;b=Dfx,y,y/.x->1,y->1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2

7、=Plot3Dpx,y,x,-2,2,y,-2,2;則輸出切平面方程為及相應圖形(圖1.3).圖1.3 (3) 畫出法線的圖形. 輸入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->-2.530,-1.025,2.000;則輸出相應圖形(圖1.4).圖1.4例1.6 (教材 例1.4) 求曲面在點處的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一圖形里.輸入Cleark,z;kx_,y_=4/(x2

8、+y2+1);(*定義函數(shù)k(x,y)*)kx=Dkx,y,x/.x->1/4,y->1/2;(*求函數(shù)k(x,y)對x的偏導數(shù), 并代入在指定點的值*)ky=Dkx,y,y/.x->1/4,y->1/2;(*求函數(shù)k(x,y)對y的偏導數(shù), 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定義在指定點的切平面函數(shù)*)再輸入qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange->0,4,BoxRatios->1,1,1,PlotPoints->30,DisplayFunction->

9、Identity;qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;Showqm,qpm,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出所求曲面與切平面的圖形（圖1.5）.圖1.5多元函數(shù)的極值例1.7 (教材 例1.5) 求的極值.輸入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx=0,fy=0則分別輸出所求偏導數(shù)和駐點:x->-3,y->0,x->-3,y->2,x->1,y->

10、0,x->1,y->2再輸入求二階偏導數(shù)和定義判別式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2輸出為判別式函數(shù)的形式:(6+6x)(6-6y)再輸入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormdata,TableHeadings->None, "x ", "y ", "fxx ", "disc ", "f "最后我們得到了四個駐點處的判別式與的值并以表格形式列

11、出.Xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易見,當時判別式disc=72, 函數(shù)有極大值31;當時判別式disc=72, 函數(shù)有極小值-5;當和時, 判別式disc=-72, 函數(shù)在這些點沒有極值.最后,把函數(shù)的等高線和四個極值點用圖形表示出來,輸入d2=x,y/.critpts;g4=ListPlotd2,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity;g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours->40,PlotPoints

12、->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出圖1.6.圖1.6從上圖可見, 在兩個極值點附近, 函數(shù)的等高線為封閉的. 在非極值點附近, 等高線不封閉. 這也是從圖形上判斷極值點的方法.注:在項目一的實驗4中,我們曾用命令FindMinimum來求一元函數(shù)的極值, 實際上,也可以用它求多元函數(shù)的極值, 不過輸入的

13、初值要在極值點的附近. 對本例,可以輸入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1則輸出-5.,x->1.,y->-2.36603×10-8從中看到在的附近函數(shù)有極小值-5, 但y的精度不夠好.例1.8 求函數(shù)在條件下的極值.輸入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,Dlax,y,r,r=0得到輸出再輸入fx,y/.extpts/Simplify得到兩個可能是條件極值的函數(shù)值但是否真的取

14、到條件極值呢? 可利用等高線作圖來判斷.輸入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle->PointSize0.03,DisplayFunction->Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours->20,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Ide

15、ntity;cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->60,Contours->0,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,ContourStyle->Dashing0.01,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為及圖1.7. 從圖可見，在極值可疑點

16、處, 函數(shù)的等高線與曲線(虛線)相切. 函數(shù)的等高線是一系列同心圓, 由里向外, 函數(shù)值在增大, 在的附近觀察, 可以得出取條件極大的結論. 在 的附近觀察, 可以得出取條件極小的結論.圖1.7梯度場例1.9 畫出函數(shù)的梯度向量.解 輸入命令<<GraphicsContourPlot3D<<GraphicsPlotField3D<<CalculusVectorAnalysisSetCoordinatesCartesianx,y,z;f=z2-x2-y2;cp3d=ContourPlot3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,Cont

17、ours->1.0,Axes->True,AxesLabel->"x","y","z"vecplot3d=PlotGradientField3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,PlotPoints->3,VectorHeads->True;Showvecplot3d, cp3d;則輸出相應圖形(圖1.8)圖1.8例1.10 在同一坐標面上作出 和 的等高線圖(), 并給出它們之間的關系.解 輸入命令<<CalculusVectorAnalysis<<G

18、raphicsPlotFieldSetCoordinatesCartesianx,y,z;checku_,v_:=Gradu1-Gradv2,Gradv1+Gradu2u=x(1+1/(x2+y2);v=y(1-1/(x2+y2);checku,v/Simplifyugradplot=PlotGradientFieldu,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;uplot=ContourPlotu,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle->GrayLevel0,ContourShading->False,DisplayFu

19、nction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g1=Showuplot,ugradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;vgradplot=PlotGradientFieldv,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;vplot=ContourPlotv,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle->GrayLevel0.7,ContourShading->False,DisplayFunction->Identi

20、ty,Contours->40,PlotPoints->40;g2=Showvplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g3=Showuplot,vplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g4=Showugradplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸出相應圖形(圖1.9)，其中(a) 的梯度與等高線圖;(b) 的梯度與等高線圖;(c) 與的等高線圖;(d) 與的梯度圖. (a) (b) (c) (d)圖1.9

21、從上述圖中可以看出它們的等高線為一族正交曲線. 事實上, 有且它們滿足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 設作出的圖形和等高線, 再作出它的梯度向量gradf的圖形. 把上述等高線和梯度向量的圖形疊加在一起, 觀察它們之間的關系.輸入調用作向量場圖形的軟件包命令<<GraphicsPlotField.m再輸入Clearf;fx_,y_=x*Exp-x2-y2;dgx=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->60, Contours->25,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic