通信原理_隨機過程

1、第第3 3章章 隨機過程隨機過程第三章第三章 隨機過程隨機過程 本章是本書的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章是本書的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 3.1隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念 3.2平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程 3.3高斯隨機過程高斯隨機過程 3.4 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 3.5窄帶隨機過程窄帶隨機過程 3.6正弦波加窄帶隨機過程正弦波加窄帶隨機過程 3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲 3.8 小結(jié)小結(jié)第第3 3章章 隨機過程隨機過程通信過程是通信過程是信號和噪聲信號和噪聲通過通過通信系統(tǒng)通信系統(tǒng)的過程，分析與研究通的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析。

2、信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析。 隨機信號：隨機信號：通信系統(tǒng)中的信號通常總帶某種隨機性。不通信系統(tǒng)中的信號通常總帶某種隨機性。不可預(yù)測，不能用確定函數(shù)表示的信號。可預(yù)測，不能用確定函數(shù)表示的信號。 隨機噪聲：隨機噪聲：通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測（熱噪通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測（熱噪聲）。簡稱噪聲。聲）。簡稱噪聲。 隨機過程：隨機過程：從統(tǒng)計學(xué)的觀點看，隨機信號和從統(tǒng)計學(xué)的觀點看，隨機信號和 隨機噪聲統(tǒng)隨機噪聲統(tǒng)稱為隨機過程。稱為隨機過程。 統(tǒng)計學(xué)中的有關(guān)統(tǒng)計學(xué)中的有關(guān)隨機過程的理論隨機過程的理論可以運用到隨機信號和噪可以運用到隨機信號和噪聲分析中來。聲分析中來。3.13.1隨機

3、過程的基本概念隨機過程的基本概念考察：考察： 假設(shè)假設(shè)有無數(shù)臺性能相同的接收機，在同樣條件下不有無數(shù)臺性能相同的接收機，在同樣條件下不加信號測試其輸出。加信號測試其輸出。 得到得到一系列噪聲波形一系列噪聲波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t)、.。理想時，波形應(yīng)一致，但實際不然理想時，波形應(yīng)一致，但實際不然找不到兩個完全相找不到兩個完全相同的波形。同的波形。第第3 3章章 隨機過程隨機過程討論：討論：每一條曲線每一條曲線i(t)都是一個隨都是一個隨機起伏的時間函數(shù)機起伏的時間函數(shù)樣本樣本函數(shù)（確知信號）函數(shù)（確知信號）。無窮多個樣本函數(shù)的總體無窮多個樣本函數(shù)的總體在統(tǒng)計學(xué)中稱作隨機函數(shù)

4、的在統(tǒng)計學(xué)中稱作隨機函數(shù)的總集總集隨機過程隨機過程(t) 。每一條曲線每一條曲線i(t)都是隨機過都是隨機過程的程的一個實現(xiàn)一個實現(xiàn)/樣本樣本。在某一特定時刻在某一特定時刻t1觀察各臺接收機的輸出噪聲值觀察各臺接收機的輸出噪聲值(t1) ，發(fā)，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的現(xiàn)他們的值是不同的 是一個隨機量（是一個隨機量（隨機變量隨機變量）。）。第第3 3章章 隨機過程隨機過程概括：概括： 隨機過程隨機過程(t)的含義屬性的含義屬性有兩點：有兩點： （1）(t)是是t 的函數(shù)，是的函數(shù)，是由所有的樣本函數(shù)構(gòu)成的由所有的樣本函數(shù)構(gòu)成的； （2）(t)在任一時刻在任一時刻 t1上的取值上的取值(t1)不是確定

5、的，是一個不是確定的，是一個隨機變量隨機變量。即每個時刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布。即每個時刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。故的。故隨機過程可以看做是在時間進程中處于不同時刻的隨機過程可以看做是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。隨機變量的集合。概率論：隨機變量分析概率論：隨機變量分析分布函數(shù)分布函數(shù)和和概率密度概率密度第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.1.1 3.1.1 隨機過程的分布函數(shù)隨機過程的分布函數(shù). . 分布函數(shù)和概率密度分布函數(shù)和概率密度（1 1）一維描述）一維描述 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù) 隨機過程隨機過程(t)任一時刻任一時刻 t1 的取值是隨機變量的取值是隨

6、機變量(t1)，則隨機變，則隨機變量量(t1)小于等于某一數(shù)小于等于某一數(shù) 值值 x1的概率的概率(t1) （3.1.1） 叫做隨機過程叫做隨機過程(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。第第3 3章章 隨機過程隨機過程 一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù) 若一維分布函數(shù)對若一維分布函數(shù)對x1 1的偏導(dǎo)數(shù)存在，則的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 叫做隨機過程叫做隨機過程(t)的一維概率密度。的一維概率密度。 （2 2）二維描述）二維描述隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 若隨機過程若隨機過程(t)在時刻在時刻 t1 的取值是隨機變量的取值是隨機變量(t1

7、)，而在時，而在時刻刻t2的取值是隨機變量的取值是隨機變量(t2)，則，則(t1)與與(t2)構(gòu)成一個二元隨機構(gòu)成一個二元隨機變量變量(t1)，(t2)，稱，稱 F2（x1，x2；t1，t2）= P(t1)x1；(t2)x2 為隨機過程為隨機過程(t)的二維分布函的二維分布函數(shù)數(shù)111111,F x tfx tx第第3 3章章 隨機過程隨機過程二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù) 若二維分布函數(shù)對若二維分布函數(shù)對x1和和x2二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則2212122121212,; ,; ,Fx x t tfx x t tx x 叫做隨機過程叫做隨機過程(t)的二維概率密度。的二維概率密度

8、。同理，可以定義隨機過程的同理，可以定義隨機過程的多維分布函數(shù)多維分布函數(shù)及多維概率密及多維概率密度分別為度分別為 nnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf .,.,;,.,.,;,.,212121112112121122n,; , , ( )x , ( )x , , ( )x nnnnFx xx t ttPttt第第3 3章章 隨機過程隨機過程統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立 對于任何對于任何n個隨機變量個隨機變量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成，如果下式成立立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）則稱這些變量是

9、則稱這些變量是統(tǒng)計獨立的統(tǒng)計獨立的，否則就是，否則就是不獨立的不獨立的或或相相關(guān)的。關(guān)的。意義：意義： 可以把隨機過程可以把隨機過程(t)當(dāng)作一個多元的隨機變量來看待，當(dāng)作一個多元的隨機變量來看待，而用這個多元隨機變量而用這個多元隨機變量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函數(shù)或概的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機過程的統(tǒng)計特性。率密度來描述隨機過程的統(tǒng)計特性。 顯然，顯然，n 越大，對隨機過程的描述越充分。越大，對隨機過程的描述越充分。第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.1.2.隨機過程的數(shù)字特征引言引言 問題：問題：隨機過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善隨機過程的分布函數(shù)（或概率密度）族

10、能夠完善 地刻畫隨機過程的統(tǒng)計特性。但地刻畫隨機過程的統(tǒng)計特性。但實際中：難；不必實際中：難；不必。 措施：措施：用隨機過程的用隨機過程的數(shù)字特征數(shù)字特征來描繪隨機過程的統(tǒng)計特性，來描繪隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單方便。更簡單方便。 方法：方法：求隨機過程數(shù)字特征的方法有求隨機過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均”和和“時時間平均間平均”兩種。兩種。 統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均: 對隨機過程對隨機過程(t)某一特定時刻不同實現(xiàn)的可能某一特定時刻不同實現(xiàn)的可能取值取值(ti)隨機變量隨機變量 ，用，用統(tǒng)計方法統(tǒng)計方法得出的種種平均值叫統(tǒng)得出的種種平均值叫統(tǒng)計平均。計平均。 時間平均時間平均:對對隨機過程隨

11、機過程(t)的某一的某一特定實現(xiàn)即樣本函數(shù)特定實現(xiàn)即樣本函數(shù)i(t) ，用數(shù)學(xué)分析方法用數(shù)學(xué)分析方法對時間求平均對時間求平均得出的種種平均值叫時間平均。得出的種種平均值叫時間平均。第第3 3章章 隨機過程隨機過程221 ( ) ()Etx f xt dx，（一）統(tǒng)計平均（一）統(tǒng)計平均1.均值均值 隨機過程在任意時刻隨機過程在任意時刻 t 的取值所組成的取值所組成隨機變量隨機變量(t)的均值的均值稱為隨機過程的均值，也稱為統(tǒng)計平均或數(shù)學(xué)期望。即稱為隨機過程的均值，也稱為統(tǒng)計平均或數(shù)學(xué)期望。即注：注：t1t，x1 x 物理意義：均值代表隨機過程的物理意義：均值代表隨機過程的擺動中心擺動中心。2.均

12、方值均方值 隨機變量隨機變量(t)的二階原點矩的二階原點矩1 ( )()( )Etxfxt dxa t記為，稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的均方值。的均方值。相對于橫軸的振動程度相對于橫軸的振動程度 。第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.3.方差方差 隨機變量隨機變量(t)的二階中心矩的二階中心矩2222212 ( ) ( ) ( ) ( )( )() ( )DtEtEtEtEtx f xt dxa tt 記為，（）稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的方差。的方差。 相對于均值的振動程度相對于均值的振動程度 。第第3 3章章 隨機過程隨機過程4.4.協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)隨機過程不同時刻

13、取值之間的相互隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系關(guān)系 衡量隨機過程衡量隨機過程(t)在任意在任意兩個時刻兩個時刻t1和和t2上獲得的隨機變量上獲得的隨機變量(t1)和和(t2)的統(tǒng)計相關(guān)特性時，常用協(xié)方差函數(shù)的統(tǒng)計相關(guān)特性時，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1，t2)和相和相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù)R(t1，t2)來表示。來表示。（1 1）相關(guān)函數(shù)）相關(guān)函數(shù) (t1)和和(t2)的二階原點混合矩的二階原點混合矩稱為隨機過程稱為隨機過程( (t) )的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)。（2）協(xié)方差函數(shù)）協(xié)方差函數(shù)2121222121212() ( ) ( )()R ttEttx x fxxtt dx dx ， ； ，第第3 3章章

14、隨機過程隨機過程稱為隨機過程稱為隨機過程(t)的協(xié)方差。的協(xié)方差。 顯然，有以上兩式可得顯然，有以上兩式可得 若若E(t1)或或E(t2)為零，則為零，則B(t1，t2)= R(t1，t2) 這里的這里的R(t1，t2)及及B(t1，t2)由于是衡量同一過程的相關(guān)程度，由于是衡量同一過程的相關(guān)程度，因此又常分別稱為因此又常分別稱為自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和和自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)。 11211221222121212() ( )( ) ( )( )( )( )()B ttEta tta txa txa tfxxtt dx dx ， ； ，（2）協(xié)方差函數(shù)）協(xié)方差函數(shù)(t1)和和(t2)的二階中心

15、混合矩的二階中心混合矩第第3 3章章 隨機過程隨機過程5.5.互協(xié)方差與互協(xié)方差與互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)不同隨機過程間的關(guān)系不同隨機過程間的關(guān)系（1）互相關(guān)函數(shù)）互相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)(t)與與(t)分別表示兩個隨機過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為分別表示兩個隨機過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為R(t1，t2)=E(t1)(t2) 如果兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù)為零，即下列條件成立如果兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù)為零，即下列條件成立R(t1，t2)= 0 則稱它們是不相關(guān)的則稱它們是不相關(guān)的-正交的隨機過程。統(tǒng)計獨立的兩正交的隨機過程。統(tǒng)計獨立的兩個隨機過程是不相關(guān)的。個隨機過程是不相關(guān)的。（2）互協(xié)方差）互協(xié)方差 互協(xié)方

16、差定義為互協(xié)方差定義為 B(t1，t2)=E(t1)-a(t1)E(t2)-a(t2) 若若 B(t1，t2)= 0 則兩個過程是不相關(guān)的。則兩個過程是不相關(guān)的。第第3 3章章 隨機過程隨機過程（二）時間平均（二）時間平均 非周期函數(shù)平均值非周期函數(shù)平均值1.1.平均值平均值（或（或直流分量直流分量） 設(shè)設(shè)i(t)是隨機過程是隨機過程(t)的一個典型的樣本函數(shù)，則樣本的一個典型的樣本函數(shù)，則樣本函數(shù)的時間平均為函數(shù)的時間平均為注：注：結(jié)果與時間無關(guān)，為常數(shù)。結(jié)果與時間無關(guān)，為常數(shù)。2. 2. 均方值均方值（或（或總平均功率總平均功率） 221limTTTAdtT 221limTTiiTaAtt

17、 dtT 22221limTTiiTAttdtT第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.3.方差方差（或交流功率）（或交流功率）4.4.自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 樣本函數(shù)樣本函數(shù)i(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為的自相關(guān)函數(shù)定義為 222221limiTTiTAtatadtT 221limiiTTiiTR tAttttdtT自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：的性質(zhì)： 221limiiTTiiTR tAttttdtT 200RAtRRRR均方值（平均功率）均方值（平均功率）這是當(dāng)然這是當(dāng)然偶函數(shù)偶函數(shù)3.2 3.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程3.2.13.2.1定義定義1.1.狹義平穩(wěn)隨機過程狹義平穩(wěn)隨機過程 假設(shè)一個

18、隨機過程假設(shè)一個隨機過程(t)，如果它的任何，如果它的任何n維分布或概率密維分布或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，即對于任意的度函數(shù)與時間起點無關(guān)，即對于任意的t 和和，隨機過程，隨機過程(t)的的n 維概率密度函數(shù)滿足維概率密度函數(shù)滿足fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）則稱則稱(t)是是嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程或或狹義平穩(wěn)隨機過程狹義平穩(wěn)隨機過程。第第3 3章章 隨機過程隨機過程顯見，平穩(wěn)隨機過程具有如下顯見，平穩(wěn)隨機過程具有如下特點：特點：統(tǒng)計特性將不隨時間的推移而不同。它的統(tǒng)計特性將不隨時間的推移而不同。它的一維

19、分布與一維分布與t無無關(guān)關(guān)，二維分布僅與時間間隔二維分布僅與時間間隔有關(guān)有關(guān)。數(shù)字特征變得數(shù)字特征變得“平穩(wěn)平穩(wěn)”、簡單：、簡單：數(shù)學(xué)期望與數(shù)學(xué)期望與 t 無關(guān)無關(guān)：a(t)= a ；自相關(guān)函數(shù)只與自相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)：有關(guān)：R(t1，t1+)=R().fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）第第3 3章章 隨機過程隨機過程2.2.廣義平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程 一隨機過程一隨機過程(t)，如果它滿足：，如果它滿足： （1）數(shù)學(xué)期望與）數(shù)學(xué)期望與 t 無關(guān)，即：無關(guān)，即：a(t)=a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔）自相關(guān)

20、函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，即：有關(guān)，即： R(t1，t1+)=R() 則稱則稱(t)是廣義平穩(wěn)的隨機過程。是廣義平穩(wěn)的隨機過程。意義：意義：平穩(wěn)隨機過程具有平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性十分有趣，非常有用十分有趣，非常有用。通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。機過程。第第3 3章章 隨機過程隨機過程 則說則說(t)為具有各態(tài)歷經(jīng)性為具有各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）（遍歷性）的平穩(wěn)隨機過程的平穩(wěn)隨機過程.。 2.各態(tài)歷經(jīng)的含義各態(tài)歷經(jīng)的含義 隨機過程的任一實現(xiàn)（樣本函數(shù)），都經(jīng)歷了隨機過程的隨機過程的任一實現(xiàn)（樣本函數(shù)），都經(jīng)歷了

21、隨機過程的所有的可能狀態(tài)。所有的可能狀態(tài)。3.各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的特點各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的特點好處好處 任何一個實現(xiàn)都能代替整個隨機過程。給實際測量、分析任何一個實現(xiàn)都能代替整個隨機過程。給實際測量、分析計算帶來極大方便。計算帶來極大方便。 aaRR3.2.2 3.2.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性1.1.各態(tài)歷經(jīng)隨機過程各態(tài)歷經(jīng)隨機過程 假設(shè)假設(shè)(t)是一個平穩(wěn)隨機過程，如果有下列式子成立是一個平穩(wěn)隨機過程，如果有下列式子成立第第3 3章章 隨機過程隨機過程 例例3-1 設(shè)一個隨機相位的正弦波為其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機變量。試討論(t)是否具有

22、各態(tài)歷經(jīng)性。分析【解解】(1)先求(t)的統(tǒng)計平均值：數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc第第3 3章章 隨機過程隨機過程 自相關(guān)函數(shù) 令t2 t1 = ，得到 可見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，只與時間間隔 有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRcc

23、ccccc)(cos2),(221RAttRc第第3 3章章 隨機過程隨機過程 (2) 求(t)的時間平均值比較統(tǒng)計平均與時間平均，有因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.2.3 3.2.3 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù) 特別重要，特別重要，因為：因為： （1 1）平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)）平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如

24、數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述；函數(shù)來描述； （2 2）相關(guān)函數(shù)揭示了隨機過程的頻譜特性。）相關(guān)函數(shù)揭示了隨機過程的頻譜特性。1.1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)設(shè)(t)為實平穩(wěn)隨機過程，相關(guān)函數(shù)為實平穩(wěn)隨機過程，相關(guān)函數(shù)R()=E(t)(t+)具有如下具有如下性質(zhì)：性質(zhì)：（1） R(0)=E2 (t)= s -(t)的的平均功率平均功率。（2） R()=R(-) -R()是是偶函數(shù)偶函數(shù)。 （3） | R()|R(0) - R() 的的上界上界。（4） R()=E2(t)=a2 -(t)的的直流功率直流功率。（5） R(0)R()=2 -方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。第第3

25、3章章 隨機過程隨機過程3.2.4 3.2.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)R()與與功率譜密度功率譜密度P()的關(guān)系的關(guān)系 -相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R()的又一重要性質(zhì)。的又一重要性質(zhì)。 設(shè)：設(shè)：(t)平穩(wěn)，平穩(wěn)，R()絕對可積絕對可積 Rd 則則簡記為：簡記為：P()R()意義：意義：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。傅里葉關(guān)系。 12jjPRedRPed第第3 3章章 隨機過程隨機過程假設(shè)假設(shè)f(t)為時間無限信號（功率信號），若用為時間無限信號（功率信號），若用 fT(t)代表代表f(t)在在-T/2t

26、T/2區(qū)間上的區(qū)間上的短截函數(shù)短截函數(shù)， 即即其 它，02)()(TttftfTf(t)fT(t)-T/2 0 T/2 t-T/2 0 T/2 t只要只要T為有限值為有限值fT(t)就具有就具有有限的能量有限的能量。第第3 3章章 隨機過程隨機過程TfFmi lfPTTf2)()(功率譜密度定義功率譜密度定義 對于平穩(wěn)隨機過程 (t) ，可以把f (t)當(dāng)作是(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故 (t)的功率譜密度可以定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(第第3 3章章 隨機過程隨機過程 功率譜密

27、度的計算 維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有簡記為 以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR第第3 3章章 隨機過程隨機過程 在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論： 對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)

28、整個過程的的譜特性?！咀C】因為各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換：即式中 dffPR)()0()()(RR )()(RRFF)()(fPfPf)()(fPR )(RfPf第第3 3章章 隨機過程隨機過程 功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實偶性，即有和這與R()的實偶性相對應(yīng)。 0)(fP)()(fPfP第第3 3章章 隨機過程隨機過程歸納：歸納：時間平均時間平均驗證驗證平穩(wěn)平穩(wěn)具有具有隨機過程隨機過程各態(tài)歷經(jīng)性：各態(tài)歷經(jīng)性：統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均P() R()（1） R(0)=E2 (t)= s -平均功率平均功率（2） R()=E2(t)=a2 -直流功率直

29、流功率/均值均值（3） R(0)R()=2 -方差，方差，交流功率交流功率第第3 3章章 隨機過程隨機過程解：解：（1）驗證）驗證(t)的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性200021)sin()()()()(dtdfttEta-與與t無關(guān)。無關(guān)。)(cos21)()(),(0RttEttR -僅與僅與有關(guān)。有關(guān)。 故故(t)是廣義平穩(wěn)的隨機過程。是廣義平穩(wěn)的隨機過程。例例3.2 某隨機相位信號某隨機相位信號(t)=sin(0t+)，其中：，其中：0為常數(shù)，隨為常數(shù)，隨機相位機相位在（在（0，2）內(nèi)均勻分布。求）內(nèi)均勻分布。求(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率。譜密度和平均功率。（2 2）

30、根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)）根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)，得，得01( )cos2R 0011(0)cos22SR 00()( )()()()2PRP 3.3 3.3 高斯過程高斯過程3.3.1 3.3.1 定義定義 一隨機過程一隨機過程(t)，若它的任意，若它的任意n維概率密度呈正態(tài)分布，則稱維概率密度呈正態(tài)分布，則稱其為高斯過程。又稱正態(tài)隨機過程。其為高斯過程。又稱正態(tài)隨機過程。 數(shù)學(xué)表達式數(shù)學(xué)表達式 一維時：一維時：21111211()1( , )exp22xaf x t第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.3.2 3.3.2 性質(zhì)性質(zhì)由定義可分析出由定義可分析出（1）高斯過程）高斯過程若廣義平穩(wěn)，

31、則必狹義平穩(wěn)若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn) 。（2）高斯過程中的隨機變量）高斯過程中的隨機變量(t1)、(t2)、(t3)、之間之間若不相若不相關(guān)關(guān)，則它們也是，則它們也是統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立的。的。 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） f1（x1，t1）f1（x2，t2）.，f1（xn，tn） （3）若干個高斯過程之和仍是高斯過程若干個高斯過程之和仍是高斯過程。從信號角度。從信號角度。（4）高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。從系統(tǒng)（線從系統(tǒng)（線性系統(tǒng)）角度。性系統(tǒng)）角度。第第3 3章章 隨機過程隨機過程221()( )exp22xaf x 則稱則稱為

32、服從正態(tài)分布的隨機變量為服從正態(tài)分布的隨機變量3.3.3 3.3.3 高斯隨機變量高斯隨機變量隨機變量研究隨機變量研究1.1.一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)若隨機變量若隨機變量的概率密度函數(shù)可表示成的概率密度函數(shù)可表示成（2 2）性質(zhì)）性質(zhì)1）對稱于直線）對稱于直線x=a; 2）在）在 內(nèi)單調(diào)上升，內(nèi)單調(diào)上升，在在 內(nèi)單調(diào)下降，且內(nèi)單調(diào)下降，且在在a點處達到極大值點處達到極大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf x dxf x dxf x dx，3） 4）a 表示分布中心，表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中的程度。稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中的程度。5）當(dāng)）當(dāng)a0 ， 時，相應(yīng)

33、的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分時，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：布： 121( )exp()22xf x第第3 3章章 隨機過程隨機過程2.2.正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)（1 1）一般表示式）一般表示式已知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為：已知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為： 22222/ 21()exp221()exp2212( )( )xxxtxaFxPzadzzazadzxfztdtdztdedz ， 令， 則這個積分不易計算，常引入這個積分不易計算，常引入概率積分函數(shù)概率積分函數(shù)或或誤差函數(shù)誤差函數(shù)（可查（可查表）表）來表述。來表述。第第3 3章章 隨機

34、過程隨機過程22/221()1exp( )( )222xx axtzadzeF xf z dzdt（2 2）用概率積分函數(shù)表示）用概率積分函數(shù)表示 定義概率積分函數(shù)定義概率積分函數(shù)( (簡稱簡稱概率積分概率積分) )為為2/ 21( )02zxQ xedzx則正態(tài)分布函數(shù)可表示為 ()xaPxQ （）第第3 3章章 隨機過程隨機過程22/221()1exp( )( )222xx axtzadzeF xf z dzdt（3) 3) 用誤差函數(shù)表示用誤差函數(shù)表示 正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。 1 1）誤差函數(shù)定義）誤差函數(shù)定義20(

35、)2xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：互補誤差函數(shù)：互補誤差函數(shù)：2 2）誤差函數(shù)的性質(zhì)）誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)： )()(xerfxerf1)(erf)(1)(xerfcxerfc0)(erfc11)(2xexxerfcx，互補誤差函數(shù)是遞減函數(shù)互補誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：，它具有如下性質(zhì)：202( )xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第3 3章章 隨機過程隨機過程202( )xzerf xedz3 3）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)）用誤差函數(shù)

36、表示正態(tài)分布函數(shù) xa 時：時：22220( )( )( )( )11()exp22211211()222xaxaxax atF xf z dzf z dzf z dzzadzedtxaerf20,222( )xzzat dzdterf xedz第第3 3章章 隨機過程隨機過程22( )zxerfc xedz22/221()1exp( )( )222xx axtzadzeF xf z dzdt xa( )( )( )( )11()2.5.1322xxF xf z dzf z dzf z dzxaerfc 綜上：綜上：2211221()2( )exp122122xxaerfxazaF xdzxa

37、erfcxa，第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.4 3.4 隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程通過線性系統(tǒng)3.4.1 3.4.1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)-復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為 ：h(t)、H()，則：則：H()h(t)。0( )( )* ( )( ) ()iiv tv th thv td周知：周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)線性系統(tǒng)響應(yīng)v0(t)等于輸入信號等于輸入信號vi(t)與沖擊響應(yīng)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積，的卷積，即：即：第第3 3章章 隨機過程隨機過程系統(tǒng)滿足系統(tǒng)滿足物理可實現(xiàn)條件物理可實現(xiàn)條件: h(t)=0，t0；輸入有界輸入有界（滿足（

38、滿足狄里赫利條件）。則有：狄里赫利條件）。則有：00( )( ) ()( ) ()iiv thv tdhv td00( )( )()ithtd 理解：理解：上式對于確知信號是沒有問題的。上式對于確知信號是沒有問題的。當(dāng)當(dāng)輸入是隨機過程輸入是隨機過程 (t)的一個實現(xiàn)的一個實現(xiàn)i1(t)隨機函隨機函數(shù)時，便有輸出隨機過程數(shù)時，便有輸出隨機過程o1(t)。進一步：進一步：當(dāng)輸入是隨機過程當(dāng)輸入是隨機過程i(t)時，便有輸出隨機過程時，便有輸出隨機過程o(t)。且有：。且有： 第第3 3章章 隨機過程隨機過程00( )( )()ithtd 任務(wù)：任務(wù)：假設(shè)假設(shè)i(t)為平穩(wěn)隨機過程，且已知其統(tǒng)計特性

39、，求為平穩(wěn)隨機過程，且已知其統(tǒng)計特性，求0(t)的的統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性。注：注：考察一個實現(xiàn)就夠了?？疾煲粋€實現(xiàn)就夠了。第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.4.2 0(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性 1.0(t)的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性（1）均值）均值-與與t無關(guān)。無關(guān)。結(jié)論：結(jié)論：輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與H(0)相乘。且相乘。且E0(t)與與t無關(guān)。無關(guān)。 0000( )()( )( )( )()( )( )0iiiiEtEtEhtdhEtdEthdH 第第3 3章章 隨機過程隨機過程0000 00 0( ,)( )()( ) ()( ) ()(

40、) ( )() ()( ) ( )()( )oooiiiiioRt tEttdEhtdhtdhhEttd dhhRd dR 其中：其中：根據(jù)平穩(wěn)性根據(jù)平穩(wěn)性 Ei(t-)i(t+-)=Ri(+-)（2 2）相關(guān)函數(shù)）相關(guān)函數(shù)僅與僅與有關(guān)。有關(guān)。僅與時間差有關(guān)。僅與時間差有關(guān)。第第3 3章章 隨機過程隨機過程綜上綜上: : 0 0(t)(t)平穩(wěn)。平穩(wěn)。即：即：2. 0(t)的功率譜密度及分布函數(shù)的功率譜密度及分布函數(shù)（1） 功率譜密度功率譜密度 因為因為 0(t)廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn) 所以所以 P0 ()R0() 可證得可證得 P0()= H() 2Pi()輸出過程o(t)的功率譜密度對下式進行傅

41、里葉變換：得出令 = + - ，代入上式，得到即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求Ro() )()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii第第3 3章章 隨機過程隨機過程（2 2）分布函數(shù)）分布函數(shù)一個十分有用的一個十分有用的結(jié)論結(jié)論：若線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的若線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。輸出過程也是高斯

42、型的。因為從積分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論理論得知，這個“和” 也是高斯隨機變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(0第第3 3章章 隨機過程隨機過程 2200020002002000( )( ),21( )2(0)nniHHHHHHnPHPkRn k San f k SaNRn f k 0,( )0,j tHk eH其他例例

43、3.3 功率譜密度功率譜密度n0/2白噪聲，經(jīng)白噪聲，經(jīng)LPF：求輸出的：求輸出的： Pno()、Ro()、噪聲功率、噪聲功率N。解：解：第第3 3章章 隨機過程隨機過程3.5 3.5 窄帶隨機過程窄帶隨機過程窄帶過程窄帶過程1.1.什么叫窄帶隨機過程？ 頻譜頻譜: 所占頻帶較窄，滿足所占頻帶較窄，滿足f fc的隨機過程叫。的隨機過程叫。 時域：時域：用示波器觀察，看到某個實現(xiàn)（用示波器觀察，看到某個實現(xiàn)（樣本函數(shù)樣本函數(shù)）的波形）的波形幅度和相位隨機緩慢變化的近似正弦。幅度和相位隨機緩慢變化的近似正弦。第第3 3章章 隨機過程隨機過程 ( )( )cos(t),0( )cos(t)sincc

44、cscta ttatttt221( )=a ( ) cos( )(t)(t)=a ( )sin( )(t)( )( )( )(t)( )(t)cscssctttttatttttg 同相分量正交的的分量隨機包絡(luò)的的隨機相位問：問：窄帶隨機過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻窄帶隨機過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的的? 2. 2. 表達式表達式兩種！兩種！3.5.1 c(t)、s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：得到 因為(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t，都有E(t) = 0 ，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos

45、)()(E0)(0)(tEtEsc，( ,) ( ) ()( )cos( )sin()cos()()sin() ( )cos()cos()( )cos()sin()( )sin()cos()( )sin()sinccscccscccccccscscccscscR t tEttEttttttttEttttttttttttttt () ( )()coscos()( )()cossin()( )()sincos()( )()sinsin()( ,)coscos()( ,)cossin()( ,)sincoscccccsccscccssccccccsccsccctEttttttttttttttttR

46、t tttRt tttRt tt()( ,)sinsin()scctR t ttt (t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc因為(t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。 因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)? ,)( )R t tR( )( ,)cos( ,)sincccscRR t tRt t ( ,) ( ) ()( ,)coscos()( ,)cossin()( ,)sincos()( ,)

47、sinsin()ccccsccscccsccR t tEttR t tttRt tttRt tttR t ttt因與時間t無關(guān)，以下二式自然成立( ,)( )( ,)( )cccscsR t tRRt tR 所以，上式變?yōu)樵倭?t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()( 進一步分析，下兩式應(yīng)同時成立，故有上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()

48、()(scRR)()(sccsRR( ,)( )( ,)( )ssscscR t tRRt tR根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函數(shù)，所以同理可證 )()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR將代入下兩式得到即上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222sc 根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到因為(t)是高斯過程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機變

49、量，從而c(t) 、 s(t)也是高斯過程。 根據(jù)可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計獨立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時)()(,2222ttttsc時(0)0csR第第3 3章章 隨機過程隨機過程(0)=0,(,)= () ()cscscsRfff ( )( )cos(t)sinccsctttt結(jié)論結(jié)論1 1若若(t)：均值為：均值為0 0、方差為、方差為2 2、窄帶、平穩(wěn)、高斯、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機過程。隨機過程。則：則：（1）c(t)、s(t)同樣是同樣是平穩(wěn)高斯平穩(wěn)高斯隨

50、機過程；隨機過程；（2） E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同均值相同(都為都為0)； （3）c2=s2=2=2方差相同，同于方差相同，同于(t) ；（4）在同一時刻（即在同一時刻（即=0）上得到的）上得到的c及及s互互相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為0，即，即c與與s互不相關(guān)，或說互不相關(guān)，或說統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立。3.5.2 a(t)、(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性 聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識有由可以求得),()(),(),(,afafscsccossincsaa),()(,ascscscaaaaacossinsincos( )( )cos(t),0( )cos(t)sincccs

51、cta ttattt2222(,)= ()()1exp22cscscsfff式中a 0, = (0 2),222222()(,)(,)(,)(,)(cos)(sin)exp22exp22cscscsf afaa faaaaa a的一維概率密度函數(shù)利用邊際分布可見， a服從瑞利(Rayleigh)分布。22220()(,)exp22aaf af add222exp02aaa的一維概率密度函數(shù)同樣利用邊際分布可見， 服從均勻分布。222001()(,)exp221022aaff adada第第3 3章章 隨機過程隨機過程222222()=exp,01(),(, )21(,)=exp()() ()2

52、aaf aafaaf af a f ( )( )cos(t),0cta tta結(jié)論結(jié)論2 2若若(t)：均值為：均值為0、方差為、方差為2、窄帶平穩(wěn)高斯、窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程。隨機過程。則：則： （1）其）其包絡(luò)包絡(luò)a(t)的一維的一維pdf 呈呈瑞利分布瑞利分布；（2）其）其相位相位(t)的一維的一維pdf呈呈均勻分布均勻分布；（3） a(t)與與(t)統(tǒng)計獨立。統(tǒng)計獨立。3.6 3.6 正弦信號加窄帶高斯噪聲正弦信號加窄帶高斯噪聲3.6.1 3.6.1 合成信號表達式合成信號表達式正弦信號加窄帶高斯噪聲后的正弦信號加窄帶高斯噪聲后的合成信號合成信號可表示為：可表示為：cos()cAt其中：

53、其中：( )cos()( )cr tAtn t( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt-正弦載波正弦載波: :假定假定A、c為常數(shù)為常數(shù);為隨機變量，其一維為隨機變量，其一維pdf 均勻分布，即：均勻分布，即： f()=1/(2)， 02-窄帶隨機過程窄帶隨機過程: nc(t)-n(t)之同相分量；之同相分量； ns(t)-n(t)之正交分量。之正交分量。( )( )cos( )sinccscttttt代入，整理：代入，整理： cos()( )coscossinsin( )cos( )sincos( )( )co( ) cos sin( )ss( )sincosincccc

54、cscccsccscccAtn tAtAtn ttn ttAn ttAr tz ttz ttz tttn tt221( )( )(, )( )( )(2)csscz tztztztttgzt ，z0,合成波包絡(luò)-合成波相位，0其中：其中：-r(t)-r( )c(os( )( )s n( )t)icccsz tAn tz tAn t合成同相分量波的；合成波的正交分量；3.6.2 統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性（1 1）同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性）同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性 ( )( )cos( )sincosccsccr tz ttz ttz ttt( )cos( )( )sin( )cccsz tAn

55、tz tAn t結(jié)論結(jié)論1若：若：n(t) 均值為均值為0、方差為、方差為2、窄帶平穩(wěn)高斯、窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程隨機過程; 給定。給定。則：則：（1）zc(t)、zs(t)同樣是同樣是窄帶平穩(wěn)高斯窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程；隨機過程；（2）且）且zc2=zs2=n2=2方差相同，同于方差相同，同于n(t) ；（3）但：）但：Ezc(t)= Ezs(t)=（4）在同一時刻（即）在同一時刻（即=0）上得到的）上得到的zc及及zs互相關(guān)函數(shù)為互相關(guān)函數(shù)為0，即，即zc與與zs互不相關(guān)，或說統(tǒng)計獨立?；ゲ幌嚓P(guān)，或說統(tǒng)計獨立。 包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨

56、立的高斯隨機變量，且有所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為222sincosnscscAzEAzE222211(,/ )exp(cos )(sin )22cscsnnf z zzAzA(2) 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機變量關(guān)系可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù)sincoszzzzsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz22221exp2cos()22nnzzAAz然后求給定條件下的邊際分布， 即202222202222220( / )( ,/ )1exp2cos()22expexpcos()22nnnnnf zf zdzzAAzdzzAAzd 由于故有式中 I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù))(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz22221( ,/ )exp2cos()22nnzf zzAAz 因此 由上式可見，f (, z)與無關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。 20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf2202221( )exp()02nnnzAzf zzAIz第第3 3