練習(xí)1物體的平衡問題

1、練習(xí)1物體的平衡問題一、知識(shí)點(diǎn)擊物體相對(duì)于地面處于靜止、勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)， 稱為物體的平衡狀態(tài)，簡稱 物體的平衡.物體的平衡包括共點(diǎn)力作用下物體的平衡、具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體的平衡和一般物體的平衡.當(dāng)物體受到的力或力的作用線交于同一點(diǎn)時(shí)，稱這幾個(gè)力為共點(diǎn)力.物體在共點(diǎn)力作用下， 相對(duì)于地面處于靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)， 稱為共點(diǎn)力作用下物體的平衡.當(dāng)物體在外力的作 用下相對(duì)于地面處于靜止或可繞某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，稱具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平 衡當(dāng)物體在非共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，稱一般物體的平衡.解決共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題，或具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡問題，或一般物體的平 衡問

2、題，首先把平衡物體隔離出來，進(jìn)行受力分析，然后根據(jù)共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件： 物體所受的合外力為零，即刀F= 0 (如果將力正交分解，平衡的條件為：刀 Fx =0、刀Fy=0); 或具有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體的平衡條件：物體所受的合力矩為零，即刀M = 0;或一般物體的平衡條件：刀F = 0;刀M二0列方程，再結(jié)合具體問題，利用數(shù)學(xué)工具和處理有關(guān)問題的方法進(jìn) 行求解.物體的平衡又分為隨遇平衡、穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡三種.一、穩(wěn)定平衡：如果在物體離開平衡位置時(shí)發(fā)生的合力或合力矩使物體返回平衡位置，這 樣的平衡叫做穩(wěn)定平衡如圖1 1 (a)中位于光滑碗底的小球的平衡狀態(tài)就是穩(wěn)定的.二、不穩(wěn)定平衡：如果在

3、物體離開平衡位置時(shí)發(fā)生的合力或合力矩能使這種偏離繼續(xù)增大， 這樣的平衡叫做不穩(wěn)定平衡，如圖 1 1(b )中位于光滑的球形頂端的小球，其平衡狀態(tài)就是不 穩(wěn)定平衡.圖11三、隨遇平衡：如果在物體離開平衡位置時(shí)，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，它在新的位 置上仍處于平衡，這樣的平衡叫做隨遇平衡，如圖 1-1 (c)中位于光滑水平板上的小球的平衡 狀態(tài)就是隨遇的.從能量方面來分析，物體系統(tǒng)偏離平衡位置，勢能增加者，為穩(wěn)定平衡；減少者為不穩(wěn)定平衡；不變者，為隨遇平衡.如果物體所受的力是重力，則穩(wěn)定平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)重力勢能的極小值，亦即物體的重心有 最低的位置.不穩(wěn)定平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)重力勢能的極大值， 亦即物體的重

4、心有最高的位置.隨 遇平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)于重力勢能為常值，亦即物體的重心高度不變.、方法演練類型一、物體平衡種類的問題一般有兩種方法解題， 一是根據(jù)平衡的條件從物體受力或力 矩的特征來解題，二是根據(jù)物體發(fā)生偏離平衡位置后的能量變化來解題。例1.有一玩具蹺板，如圖1-2所示，試討論它的穩(wěn)定性(不考慮桿的質(zhì)量).【分析與解】假定物體偏離平衡位置少許，看其勢能變化是處理此類問題的主要手段之一，本題要討論其穩(wěn)定性，可假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生偏離平衡位置一個(gè)B角，貝在平衡位置，系統(tǒng)的重力勢能為E(0)2(L l cos )mg當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡位置B角時(shí)，如圖1-3所示，此時(shí)系統(tǒng)的重力勢能為E( ) mgLcos l cos

5、( ) mgLcos l cos( )2 mg cos (L l cos )EP E( )E(0) 2mg(cos 1)(L l cos )故只有當(dāng)L l cos時(shí)，才是穩(wěn)定平衡.例2.如圖1-4所示，均勻桿長為a, 端靠在光滑豎直墻上，另一端靠在光滑的固定曲面 上，且均處于Oxy平面.如果要使桿子在該平面為隨遇平衡，試求該曲面在 Oxy平面的 曲線方程.【分析與解】本題也是一道物體平衡種類的問題，解此題顯然也是要從能量的角度來考慮 問題，即要使桿子在該平面為隨遇平衡，須桿子發(fā)生偏離時(shí)起重力勢能不變，即桿子的質(zhì) 心不變，yc為常量。1又由于AB桿豎直時(shí)yc，那么B點(diǎn)的坐標(biāo)為x asi na(1

6、 cos )21 1 y a a cos 2 2消去參數(shù)得2 2 2x (2y a) a類型二、物體系的平衡問題的最基本特征就是物體間受力情況、平衡條件互相制約，情況 復(fù)雜解題時(shí)一定要正確使用好整體法和隔離法，才能比較容易地處理好這類問題。例3.三個(gè)完全相同的圓柱體，如圖1-6疊放在水平桌面上，將 C柱放上去之前，A、B 兩柱體之間接觸而無任何擠壓，假設(shè)桌面和柱體之間的摩擦因數(shù)為卩0,柱體與柱體之間的 摩擦因數(shù)為卩，若系統(tǒng)處于平衡，卩o與卩必須滿足什么條件？【分析與解】這是一個(gè)物體系的平衡問題，因?yàn)?A、B、C之間相互制約著而有單個(gè)物體 在力系作用下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類

7、問題。設(shè)每個(gè)圓柱的重力均為G,首先隔離C球，受力分析如圖1-7所示，由刀Fcy = 0可得再隔留A球，受力分析如圖1-8所示，由刀FAy=O得1 N2 G 0由刀Fax=O得由刀Ea = 0得f1Rf2R由以上四式可得2 .3N1 1g, N223g21 N12 .3類型三、物體在力系作用下的平衡問題中常常有摩擦力，而摩擦力Ff與彈力Fn的合力凡與接觸面法線方向的夾角B不能大于摩擦角， 這是判斷物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件.在解題中 經(jīng)常用到摩擦角的概念.例4.如圖1-8所示，有兩根不可伸長的柔軟的輕繩，長度分別為li和12，它們的下端在C點(diǎn)相連接并懸掛一質(zhì)量為 m的重物，上端分別與質(zhì)量可忽略的小圓環(huán)

8、 A、B相連，圓環(huán) 套在圓形水平橫桿上.A、B可在橫桿上滑動(dòng)，它們與橫桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為卩1和卩2,且1112。試求卩1和卩2在各種取值情況下，此系統(tǒng)處于靜態(tài)平衡時(shí)兩環(huán)之間的距離 AB。S13圖 110【分析與解】本題解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)物體的平衡條件，分析小環(huán)的受力情況得出小環(huán)的平衡條件FfFn，由圖 1-9 可知FfFtSEtanFnFt cos定義tan ，為摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡條件成為展開討論則解此題就方便多了即由tan tan情況1： BC繩松弛的情況0 1=0°，不論卩1、卩2為何值，一定平衡。情況2:二繩均緊的情況（圖1-10）A環(huán)不滑動(dòng)的條件為

9、:11，即 tan 1 tan 1于是有cos 11tan2 11cossin 1tan 1tan2 11sin又由圖1-11 知CD 11 cos 112 cos 2sin 2cosrr ,1 ；：cos21所以，若要A端不滑動(dòng)，AB必須滿足11 1AB I1 sin 11 I2 sin 2V 12 11根據(jù)對(duì)稱性，只要將上式中的下角標(biāo) 1、2對(duì)調(diào)，即可得出B端不滑動(dòng)時(shí)，AB必須滿足的條件為：AB2l21如果系統(tǒng)平衡，兩式必須同時(shí)滿足從式可以看出，卩1可能取任意正值和零，當(dāng)卩1=0時(shí)，AB只能取最小值；l12，此時(shí)9 1=0，12拉直但無力。從式可以看出卩2的取值滿足2J：1時(shí)，AB取最小值

10、否則AB無解，2綜上所述，AB的取值圍為:情況1： l2松弛0 AB J； h2，卩1、卩2為任意非負(fù)數(shù)。情況2： i2緊nAB 兩式右邊較小的，卩1為任意非負(fù)數(shù),2li2 1。¥桿不滑動(dòng)的條件為Fm < M n由得圖 111IS類型四、一般物體平衡條件的問題主要又分為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題和沒有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題，這類問題要按一般物體平衡條件來處理，即要么既要考慮力的平衡， 又要考慮力矩平衡來求解；要么就要考慮以哪點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸或哪點(diǎn)先動(dòng)的問題。例5.質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)小球用長度為l的輕質(zhì)硬桿連接，并按圖1-11所示位置那 樣處于平衡狀態(tài).桿與棱邊之間的摩擦因數(shù)為卩

11、，小球m與豎直墻壁之間的摩擦力可以不 計(jì).為使圖示的平衡狀態(tài)不被破壞，參數(shù) m、M、卩、l、a和 應(yīng)滿足什么條件？ 分析和解：本題是一道典型的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問題，解題時(shí)對(duì)整體進(jìn)行受力分析，但物體的平衡不是共點(diǎn)力的平衡，處理時(shí)必須用正交分解法，同時(shí)還要考慮力矩的平衡，受力 分析如圖，根據(jù)力的平衡條件可列出:NcosFmsi n(M m)gN sinNj Fm cos根據(jù)力矩平衡條件可寫出：NaMgl coscosFm (M m)g Ncos n，即 sin(M m)g N (cos sin )用除得(1) - cos (cos sin )M a桿不向右翻倒的條件為Ni> 0。由和可得出2

12、FmcosN sin(M m)g N cossincos N sin由此可得（M m）gcos N將中的N代人得l cos a由于Icos a，再考慮不等式，可得1 cosam L cos2 (cosM asin )為了在不等式中能同時(shí)滿足最后兩個(gè)不等號(hào)，就必須滿足條件:cos (cos sin )1由此可得平衡條件為：tan ，如果 tan，就不可能出現(xiàn)平衡.例6.如圖1-12,勻質(zhì)桿長I，擱在半徑為R的圓柱上，各接觸面之間的摩擦因數(shù)均為卩,求平衡時(shí)桿與地面的夾角a應(yīng)滿足的關(guān)系.【分析與解】本題也是一個(gè)一般物體的平衡問題與 上題的區(qū)別在于沒有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，所以這個(gè)問 題的難點(diǎn)在于系統(tǒng)有三個(gè)接觸

13、點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)上的 力都是靜摩擦力，不知道哪個(gè)點(diǎn)最先發(fā)生移動(dòng). 我們先列出各物體的平衡方程：設(shè)桿和圓柱的 重力分別為G1和G2。對(duì)桿刀 Fx=OFf3 + Ff2C0S a :=FN2Sin a刀 Fy=OFn3+ FN2C0Sa+Ff2Sin a =G刀 M0=0G1 - cos2FN2 R cos 2對(duì)柱刀 Fx=OFf1 + Ff2C0Sa=Fn2Sin a刀 Fy=OFf2sin a +G2+ FN2C0Sa =Fn1刀 MO=OFf1 =Ff2刀 MO =OFn2+G2=FN1以上七個(gè)方程中只有六個(gè)有效，由式可知，F(xiàn)ni>Fn2,又因?yàn)镕fi =Ff2 ,所以一定是2 z處比1處容

14、易移動(dòng)，再來比較2處和0'處(1)如果是2處先移動(dòng)，必有Ff2=卩Fn2,代入式,可得 tan，將此結(jié)果代入式,2即有Ff3GiL (122R(12)仏cos )Fn3Gi12l (1幾.2 ( sin2R(1)cos )在這種情況下，如要Ff3Fn3，必須有I(1 2)(1 2)桿要能擱在柱上，當(dāng)然要R R Itan2因此在丨旦R ltan 2R (12) n , cz2 時(shí),a =2arctan (2)如果是O'處先移動(dòng),必有Ff3=u FN3，代入式，可有Ff2Fn2 Gi l COStan 22R12R l cos(1 tan ) tan2 2滿足式的a即為平衡時(shí)的a,

15、這時(shí)要求Ff2 V Fn2卩，須有綜上所述12 u2 時(shí)，a =2arctan 口。1 222時(shí)，a應(yīng)滿足2R l COS1(1 tan ) tan 。2 2三、小試身手1. 如圖1-13所示，長為L的均勻木桿AB,重量為G，系在兩根長均為L的細(xì)繩的兩端，并懸掛于O點(diǎn)，在A、B兩端各掛一重量分別為 Gi、G2的兩物，求桿AB處于平衡時(shí)，繩OA與豎直方向的夾角.圖 1132. 一長為L的均勻薄板與一圓筒按圖1-14所示放置，平衡時(shí)，板與地面成B角，圓筒與薄 板相接觸于板的中心.板與圓筒的重量相同均為 G.若板和圓筒與墻壁之間無摩擦，求地 面對(duì)板下端施加的支持力和靜摩擦力.S1143. 如圖1-1

16、5,兩把相同的均勻梯子 AC和BC,由C端的鉸鏈 連起來，組成人字形梯子， 下端A和B相距6m, C端離水平地面4m,總重200 N, 人重600 N,由B端上爬，若 梯子與地面的靜摩擦因數(shù)卩=0.6,則人爬到何處梯子就要滑動(dòng)？4. 如圖1-16所示，一均勻梯子，一端放在水平地面上，另一端靠在豎直墻上，梯子與地面和墻間的靜摩擦因數(shù)分別為卩1和卩2,求梯子平衡時(shí)與地面所能成的最小夾角.5.如圖1-17所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑ffil17均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn),B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為p試求鐵鏈A端受的拉力Ft6. 有一半徑為R

17、的圓柱體A靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸現(xiàn)有另一質(zhì)量與A相同，半徑為r的較細(xì)圓柱體B，用手扶著圓柱體 A，將B放在A的上面，并使之與墻面 相接觸，如圖1-18所示，然后放手.已知圓柱體A與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.20,兩圓柱體之間的動(dòng)摩擦 因數(shù)為0.30若 放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱體B與墻面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和圓柱體 B的半 徑r的值各應(yīng)滿足什么條件？01187. 如圖1-19所示，有六個(gè)完全相同的長條薄片 AiBi（i=1,2,.6）依次架在水平碗口上，一端擱 在碗口、另一端架在另一薄片的正中位置（不計(jì)薄片的質(zhì)量）將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)置于AiA6 的中點(diǎn)處，試求AiBi薄片對(duì)A6

18、B6的壓力.Bi31 -138. 如圖1-20所示質(zhì)量為m的小球A用細(xì)繩拴在天花板上，懸點(diǎn)為 0,小球靠在光滑的大球 上，處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知大球的球心 0'在懸點(diǎn)的正下方，其中繩長為I，大球的半徑為R，懸 點(diǎn)到大球最高點(diǎn)的距離為h，求繩對(duì)小球的拉力和小球?qū)Υ笄虻膲毫?ffll209. 現(xiàn)有一個(gè)彈簧測力計(jì)（可隨便找地方懸掛），一把勻質(zhì)的長為I的有刻度、零點(diǎn)位于端點(diǎn)的直尺，一個(gè)木塊及質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線。試用這些器材設(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)（要求畫出示意圖） ，通 過一次測量（彈測力計(jì)只準(zhǔn)讀一次數(shù)），求出木塊的質(zhì)量和尺的質(zhì)量。（已知重力加速度為g)練習(xí)1物體的平衡問題OA與豎直線夾角為，OC與豎直線夾角為，因

19、為 OAB為等邊三角形，C為AB邊的中點(diǎn)，所以AOC 丄 AOB2300，300，即300， OCLsin60° L， CF OC sinLsin(3002 2BD L cos(60°Lcos(30°AE Lsin ，以O(shè)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，則由剛體的平衡條件M 0可知G1AEG CF G2 BD，即 G1Lsin G-Lsin(30°)2G2L cos(300(5BCGG2展開后整理得：tan. 3(2 G24G1 3G 2G2所以，AB處于平衡時(shí)，繩 OA與豎直方向的夾角為V3(2G2+G)arctan一4G1 3G 2G2參考解答1.解：以 OAB整體為研究

20、對(duì)象，并以 O為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，其受力情況如圖所示，設(shè)2 解：如圖所示，圓筒所受三個(gè)力沿水平和豎直方向平衡的分量式為FN1 Fn sin 0, FN cos G 0板所受五個(gè)力沿水平和豎直方向平衡的分量式為FfFn sinFn20Fn3 G Fn cos 0板所受各力對(duì)圓筒和板的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩平衡方程為Fn2 Lsin2Ffsin2Fn32cos根據(jù)牛頓第三定律，有 FnFn聯(lián)立以上各式，可解得地面對(duì)板的支持力和靜摩擦力分別為1Fn3=2G， FfG( cot - tan )3.解：進(jìn)行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個(gè)整體，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài):AB=6m , CD=4m ,. AC=BC=

21、5m設(shè)人到鉸鏈C的距離為I滿足 F 0, M 0所以GGacg BC FN1FN2 ,F f 1 F f2G l cosGbc Sd2Fn1 CD Fn1 bd整理后：FN1 FN2 400N , l 2.5m所以人在爬到梯子中點(diǎn)處時(shí)梯子就要滑動(dòng)4解：受力分析如圖所示，同樣處于平衡狀態(tài)，解題過程與上題類似，故解題過程 略，則梯子平衡時(shí)與地面所能成的最小夾角為minarcta n15.解：以鐵鏈為研究對(duì)象，由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計(jì)，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn)，要分析鐵 鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點(diǎn)，分析每一小段鐵鏈的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況

22、.在鐵鏈上任取長為 L的一小段（微元）為研究對(duì)象，其受力分析如圖所示.由于該微元處于靜止?fàn)顟B(tài), 所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足：F tF t G cosFtFtG cosLg cos由于每一段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大Ft，所以整個(gè)鐵鏈Ff十匕禺對(duì)A端的拉力是各段上Ft的和，即FtFtLg cos g L cos觀察 L cos的意義,由于 很小，所以CD OC ,DCE , Lcos表示 L在豎直方向上的投影厶R,所以Lcos R所以FtgLcos gR。6 圓柱體A、B的受力情況如圖所示. 平衡是靠各接觸點(diǎn)的摩擦力維持的. 力和力矩的平衡方程.圓柱體 A傾向于向左移動(dòng)，對(duì)墻

23、面沒有壓力, 現(xiàn)設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，列出兩圓柱體所受圓柱體A : Mg Fn1FN3SinFf3 cosF f 1 F n3 cosFf3SinFf iR Ff3 R圓柱體B : Mg Ff2FdsinFf3 cosFN2 FN3 cosFf3SinFfiR Ff 3R由于Ff3F f3，由得F fiF f2 F f 3Ff3Ff又因F N3Fn3，聯(lián)立,可得FN311 sin i Mg1 cos sinF N2Ffcos1 cos sin Mg2 cos 2sinF N1 1 cossin Mg首先討論圓柱體 B與墻面的接觸點(diǎn)，接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件為:Ff2FN 2由式可得Ff2FN21，

24、所以Ffi1 fN1由圖可知:再討論圓柱體 A與地面的接觸點(diǎn)的情形，圓柱體 A在地面上不發(fā)生滑動(dòng)的條件是:cos2 cos 2sinR r cosR rsin由二式以及10.20可以求得:-R1即只有當(dāng)r -R時(shí)，圓柱體 A在地面上才能不滑動(dòng).9最后討論兩圓柱的接觸點(diǎn)，接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件為：Ff 3cos3 FNZ 1 1sin由兩式以及3 0.30可解得r （右）9 0.29R顯然，在平衡時(shí)，r的上限為R，故可得到r應(yīng)滿足的條件為：R r 0.29R所以，圓柱體 B與墻面接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件為卩2> 1,圓柱體A與地面接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)的條件coscos為卩1>，兩圓柱體接觸不發(fā)生滑動(dòng)的條件為卩3>，圓柱體B的半徑r的2 cos 2sin1 sin值各應(yīng)滿足的條件為R> r > 0.29R7.解：本題中六個(gè)物體，其過分析可知A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5的受力情況完全相同，因此將A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作為一類，對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行受力分析、找出規(guī)律，求