δ函數(shù)與微分方程的建模

1、第第 六章六章 函數(shù)與微分方程的建模函數(shù)與微分方程的建模 微分方程建模是數(shù)學建模的重要方法，因為許微分方程建模是數(shù)學建模的重要方法，因為許多實際問題的數(shù)學描述將導致求解微分方程的定解多實際問題的數(shù)學描述將導致求解微分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以下幾步：問題，大體上可以按以下幾步： 1. 根據(jù)實際要求確定要研究的量（自變量、未根據(jù)實際要求確定要研究的量（自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等）并確定坐標系。知函數(shù)、必要的參數(shù)等）并確定坐標系。 2. 找出這些量所滿足的基本規(guī)律（物理的、幾找出這些量所滿足的基本規(guī)律（

2、物理的、幾何的、化學的或生物學的等等）。何的、化學的或生物學的等等）。3. 運用這些規(guī)律列出方程和定解條件。運用這些規(guī)律列出方程和定解條件。 列方程中常見的方法有：列方程中常見的方法有： 1. 按規(guī)律直接列方程（如牛頓第二定律、放射按規(guī)律直接列方程（如牛頓第二定律、放射性物質的放射性規(guī)律等）。性物質的放射性規(guī)律等）。 2. 微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法。微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法。 3. 模擬近似法（在一定的假設下，給出實際模擬近似法（在一定的假設下，給出實際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當?shù)臄?shù)學方法列出現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當?shù)臄?shù)學方法列出微分方程）。微分方程）。 在實際的

3、微分方程建模過程中，往往是上述方在實際的微分方程建模過程中，往往是上述方法的綜合應用。法的綜合應用。第一節(jié)第一節(jié) 傳染病的流行與宣傳運動傳染病的流行與宣傳運動的關系的數(shù)學描述的關系的數(shù)學描述 開展預防傳染?。ɡ绨滩〉龋┑牧餍械拈_展預防傳染?。ɡ绨滩〉龋┑牧餍械男麄鬟\動對防止傳染病的蔓延起多大作用？這個宣傳運動對防止傳染病的蔓延起多大作用？這個宣傳運動要持續(xù)多長時間？要具有多大的強度？宣傳運動要持續(xù)多長時間？要具有多大的強度？ 這些問題的討論將導致含有間斷的非齊次項這些問題的討論將導致含有間斷的非齊次項或非齊次項含有或非齊次項含有函數(shù)的一階線性常微分方程。函數(shù)的一階線性常微分方程。 我們

4、從最簡單的情形我們從最簡單的情形不開展宣傳運動的不開展宣傳運動的情形開始。情形開始。 最簡單的模型最簡單的模型不開展宣傳運動的情形不開展宣傳運動的情形 設總人數(shù)為設總人數(shù)為N是不變的，是不變的，t時刻得病人數(shù)為時刻得病人數(shù)為x(t)，它傳染給正常人的傳染率為它傳染給正常人的傳染率為r。 顯然，從顯然，從t到到t+t時間內平均傳染率為時間內平均傳染率為.)()()(txNttxttx t時刻的傳染率為時刻的傳染率為()( )lim.( )tx ttx tt Nx t0 從而微分方程為從而微分方程為.dxrNx dt1 求解得求解得)()(rteNxNtx 011令令 得得tNtxt )(lim這

5、表明：最終每個人都要染上疾病。這表明：最終每個人都要染上疾病。我們得到最簡單的數(shù)學模型：我們得到最簡單的數(shù)學模型： 00 xxxNrdtdx)()(可分離變量可分離變量 持續(xù)宣傳的作用持續(xù)宣傳的作用 為了預防傳染病的流行，宣傳有如在人們耳邊為了預防傳染病的流行，宣傳有如在人們耳邊敲起警鐘敲起警鐘“要當心！要當心！”因而是很重要的。因而是很重要的。 假設：宣傳的開展將使得傳染上疾病的人數(shù)假設：宣傳的開展將使得傳染上疾病的人數(shù)x(t)減少，減少的速度與總人數(shù)減少，減少的速度與總人數(shù)N成正比，這個比例常成正比，這個比例常數(shù)稱為宣傳強度。數(shù)稱為宣傳強度。 若從若從t=t00開始，開展一場持續(xù)的宣傳運動

6、，宣開始，開展一場持續(xù)的宣傳運動，宣傳強度為傳強度為a，則所得的數(shù)學模型為，則所得的數(shù)學模型為()( )dxr Nxdtxx 00其中其中 即即Heaviside函數(shù)。函數(shù)。 （單位階梯函數(shù)）（單位階梯函數(shù)） 00001ttttttH,)(aN ()()00H ttt解法解法1 分段求解分段求解當當 時，時，00tt )()(rteNxNtx 011當當 時，時，tt 0解一階線性非齊次方程的初值問題：解一階線性非齊次方程的初值問題：()( )()rtdxr NxaNdtxx tNeN 00011得得()( )()r t trtxaNx tNeeNr 00111兩段表達式合起來，得兩段表達式合

7、起來，得()( )()()r t trtxaNx tNeH tteNr 000111解法解法2 用拉氏變換法求解用拉氏變換法求解 0dtetfsLst)()( 的的Laplace變換變換)(tf( )( )iwtF wf t edt 的的Fourier變換變換)(tf令令 的的Laplace變換為變換為 ，對方程兩邊求拉氏，對方程兩邊求拉氏變換并利用初值得變換并利用初值得 ( )x t( )X ssterssraNrssNrsxsX011110 )(求逆變換得求逆變換得()( )()()r t trtxaNx tNeH tteNr 000111令令 得得tlim( )()tax tNNr1 這

8、表明：持續(xù)的宣傳是起作用的，最終會使發(fā)這表明：持續(xù)的宣傳是起作用的，最終會使發(fā)病率減少（病率減少（0ar）。）。 進一步地，如果我們從一系列時刻進一步地，如果我們從一系列時刻t=t1,t2,tm開始，分別進行強度為開始，分別進行強度為a1,a2,am的宣傳運動，則得的宣傳運動，則得到如下的數(shù)學模型：到如下的數(shù)學模型：()( )mjjjNa H ttdxr Nxdtxx 010( )()aNH tdxr Nxdtxtx 000()( )()()r t trtxaNx tNeH tteNr 000111()( )()()jmr t trtjjjxNx tNea H tteNr 01111 同樣可用

9、分段求解法求解上述初值問題，但計算同樣可用分段求解法求解上述初值問題，但計算比較繁瑣。若用拉氏變換法求解，則是十分方便的。比較繁瑣。若用拉氏變換法求解，則是十分方便的。令令 得得tlim( )()mjtjx tNar 111解得解得.,raamjjj 100 其中其中 順時宣傳情形的數(shù)學模型順時宣傳情形的數(shù)學模型 如果宣傳運動是短暫進行的，這在日常生活中是如果宣傳運動是短暫進行的，這在日常生活中是常見的，例如僅僅是聽一個報告，或街頭散發(fā)傳單等常見的，例如僅僅是聽一個報告，或街頭散發(fā)傳單等等，即在等，即在t=t1,t2,tm等等m個時刻進行個時刻進行m次宣傳，宣傳強次宣傳，宣傳強度分別為度分別為

10、a1,a2,am，則數(shù)學模型變成則數(shù)學模型變成()( )mjjjNattdxr Nxdtxx 010 這里我們用這里我們用 來數(shù)學的近似描述時間極來數(shù)學的近似描述時間極為短暫的宣傳。這時，模型中含有順時點源項。為短暫的宣傳。這時，模型中含有順時點源項。)(jjtta ()( )mjjjNa H ttdxr Nxdtxx 010用拉氏變換求解這類方程是方便的。用拉氏變換求解這類方程是方便的。求解得求解得)()()(jttrmjjjrtrtettHaNeNextx 101令令 得得tNtxt )(lim 這表明：短暫的宣傳（即使是多次的短暫宣這表明：短暫的宣傳（即使是多次的短暫宣傳）是不起作用的，

11、最終還是所有的人都傳染上傳）是不起作用的，最終還是所有的人都傳染上疾病。疾病。 思考：實際情況，即使短暫的宣傳也往往會思考：實際情況，即使短暫的宣傳也往往會在人們的頭腦中留下一定時間延續(xù)的印象，應該在人們的頭腦中留下一定時間延續(xù)的印象，應該怎樣描述呢？請大家自己作為練習來建模。怎樣描述呢？請大家自己作為練習來建模。第二節(jié)第二節(jié) 附錄附錄函數(shù)及其性質函數(shù)及其性質一、一、函數(shù)的物理模型函數(shù)的物理模型 對于連續(xù)分布的量，一般用密度函數(shù)來描述。對于連續(xù)分布的量，一般用密度函數(shù)來描述。現(xiàn)設有一條無窮長的桿，沿桿建立了一維坐標系，現(xiàn)設有一條無窮長的桿，沿桿建立了一維坐標系，點的坐標為點的坐標為x，桿的分布

12、密度為，桿的分布密度為(x)。(-,x段上桿段上桿的質量為的質量為m(x)，則它們的關系是，則它們的關系是)()(),()(xmdxxxdxxdmx 對于集中分布的量，如何來描述它的密度？對于集中分布的量，如何來描述它的密度？ 仍以無窮長的桿為例。設無窮長桿的質量為仍以無窮長的桿為例。設無窮長桿的質量為1，質量集中于點質量集中于點x0，則，則(-,x段桿的質量為段桿的質量為 0001 01 000 xxxHxxHxxxxxm,)(),(,)(其中其中 若仍形式地套用連續(xù)變化時的若仍形式地套用連續(xù)變化時的(x)來描述它的來描述它的密度，則應該有密度，則應該有,( ),xxxxx 000( )(

13、)()xx dxm xH xx 0且且特別有特別有( )x dx 1 顯然，這種顯然，這種(x)已經(jīng)不能是我們了解的函數(shù)已經(jīng)不能是我們了解的函數(shù)了，必須擴充函數(shù)概念。了，必須擴充函數(shù)概念。引進脈沖函數(shù)引進脈沖函數(shù) 在別處，在別處， 0 2100 xxxx)( 它代表了無窮長桿的某種質量分布。相應地，它代表了無窮長桿的某種質量分布。相應地， (-,x段上桿的質量為段上桿的質量為( )( )()()xmxx dx xxxx xxx xx Hxx 000000021特別有總質量特別有總質量1 dxxm)()( 同時又有同時又有( )( ),.dmxxxxxxdx 00 無窮長桿單位質量的集中分布可以

14、看成上述無窮長桿單位質量的集中分布可以看成上述脈沖分布當脈沖分布當 時的極限情形：時的極限情形： 0 lim()lim( )mx dx 001( )limlim( )( )dmxxxdx 00)()(limxxxxxx 000 0 lim( )lim( )( )()xmxx dxm xH xx 000二、二、函數(shù)的引入與函數(shù)的引入與函數(shù)的性質函數(shù)的性質引進脈沖函數(shù)引進脈沖函數(shù) ,)(在別處在別處xxxxxx 0 21000 則顯然有則顯然有10 dxxx)( lim()xx dx 001另外任取一另外任取一x0處連續(xù)的函數(shù)處連續(xù)的函數(shù)f(x)，則有，則有 00210 xxdxxfdxxfxx)

15、()()(積分中值定理積分中值定理 0021xxdxf)(),(),( 00 xxf令令0，則有，則有l(wèi)im() ( )()xxf x dxf x 000定義定義函數(shù)函數(shù) 000000 xxxxxxxx,)(lim)( 顯然其運算性質顯然其運算性質()xx dx 01任取一任取一x0處連續(xù)的函數(shù)處連續(xù)的函數(shù)f(x)有有() ( )()xxf x dxf x 00()()xxx dxH xx 00()()dH xxxxdx 00定義定義函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的導數(shù)對任意對任意f(x)，f(x)在在x=x0處有連續(xù)導數(shù)，處有連續(xù)導數(shù)，)()()(00 xfdxxfxx 注：注： 這個定義和把這個定義和把函

16、數(shù)看作普通函數(shù)由分部函數(shù)看作普通函數(shù)由分部積分法運算的結果是相同的。因為積分法運算的結果是相同的。因為類似地，定義類似地，定義函數(shù)的函數(shù)的n階導數(shù)階導數(shù)( )( )() ( )()()nnnxxf x dxfx 001() ( )() ( )|()( )xxf x dxxxf xxxfx dx 000()fx 0三、三、 函數(shù)的積分變換函數(shù)的積分變換00 xiexxF )(特別地，特別地，x0=0時時 ( )Fx 1 ()sxLxxe 00特別地，特別地，x0=0時時 ( )Lx 1注：注： 函數(shù)具有通常函數(shù)的富氏變換與拉氏變換函數(shù)具有通常函數(shù)的富氏變換與拉氏變換的性質。的性質。第三節(jié)第三節(jié)

17、房室系統(tǒng)的數(shù)學模型房室系統(tǒng)的數(shù)學模型及其求解及其求解一、問題的提出一、問題的提出 在研究藥物在人體的分布過程中，可近似的把在研究藥物在人體的分布過程中，可近似的把人體看成由有限個部分組成的，每個部分稱為一個人體看成由有限個部分組成的，每個部分稱為一個房室，它具有以下特點：房室，它具有以下特點： 每個房室有固定的容積，每一時刻藥物濃度是每個房室有固定的容積，每一時刻藥物濃度是均勻分布的；均勻分布的； 各房室間及各房室與外部環(huán)境間均可進行藥物各房室間及各房室與外部環(huán)境間均可進行藥物交換，而這種交換服從質量守恒定律。交換，而這種交換服從質量守恒定律。 還有許多方面的問題，如污染問題，傳染病的還有許多

18、方面的問題，如污染問題，傳染病的傳播問題，生態(tài)問題等，都可化為這種由有限個部傳播問題，生態(tài)問題等，都可化為這種由有限個部分組成的系統(tǒng)，而每個部分均可看成是滿足以下性分組成的系統(tǒng)，而每個部分均可看成是滿足以下性質的容器，稱之為房室：質的容器，稱之為房室： 有固定的容量，內含每個時刻都均勻分布著的有固定的容量，內含每個時刻都均勻分布著的單一物質（或能量）；單一物質（或能量）； 各個部分（房室）間以及各部分與外環(huán)境間均各個部分（房室）間以及各部分與外環(huán)境間均可進行物質（或能量）交換，并服從物質（或能量）可進行物質（或能量）交換，并服從物質（或能量）守恒定律。守恒定律。 這樣的系統(tǒng)稱為這樣的系統(tǒng)稱為房

19、室系統(tǒng)房室系統(tǒng)。若系統(tǒng)由。若系統(tǒng)由n個房室個房室組成，我們稱之為組成，我們稱之為n房室系統(tǒng)房室系統(tǒng)。問題：問題：如何確定如何確定n房室系統(tǒng)中物質的質量分布規(guī)律？房室系統(tǒng)中物質的質量分布規(guī)律？二、二、n房室系統(tǒng)的機理及數(shù)學描述房室系統(tǒng)的機理及數(shù)學描述房室標號：房室標號：),(nii21 周圍環(huán)境標號：周圍環(huán)境標號：0t時刻各房室的物質質量：時刻各房室的物質質量：( )(, , )ix t in 1 2 物質在系統(tǒng)中的分布規(guī)律主要是依據(jù)各房物質在系統(tǒng)中的分布規(guī)律主要是依據(jù)各房室間及各房室與周圍環(huán)境之間的物質流動來決室間及各房室與周圍環(huán)境之間的物質流動來決定的。設有一個定的。設有一個n房室系統(tǒng)，房室

20、系統(tǒng)， 從開始至從開始至t時刻由第時刻由第i房室流到第房室流到第j房室的物質質房室的物質質量量mji(t) 只與只與i房室的質量房室的質量xi(t)有關，而與其他房室有關，而與其他房室的質量的質量xk(t) (ki)無關。環(huán)境對無關。環(huán)境對j房室的輸入質量只房室的輸入質量只與環(huán)境有關，而與各房室無關，故為常數(shù)。與環(huán)境有關，而與各房室無關，故為常數(shù)?；炯俣ɑ炯俣?對每一房室均有可能和環(huán)境及其他任一房室對每一房室均有可能和環(huán)境及其他任一房室互有物質流動；互有物質流動； t,t+t時間間隔內，從時間間隔內，從i房室流到房室流到j 房室的平房室的平均流量與均流量與xi(t)成正比，比例系數(shù)為成正比

21、，比例系數(shù)為kji，稱為由，稱為由i房室房室流到流到j 房室的速率系數(shù)；房室的速率系數(shù)； t,t+t時間間隔內，從時間間隔內，從i房室流入外環(huán)境的平房室流入外環(huán)境的平均流量與均流量與xi(t)成正比，比例系數(shù)為成正比，比例系數(shù)為k0i，稱為由，稱為由i房室房室流入外環(huán)境的速率系數(shù)（或稱排泄速率系數(shù)）；流入外環(huán)境的速率系數(shù)（或稱排泄速率系數(shù)）； t,t+t時間間隔內，從外環(huán)境流到時間間隔內，從外環(huán)境流到j房室的平房室的平均流量為常數(shù)均流量為常數(shù)fj0，稱為環(huán)境對，稱為環(huán)境對j房室的輸入流率。房室的輸入流率。xi(t)xj(t)外環(huán)境外環(huán)境kjikijk0ik0jfi0fj0基本定律基本定律 質量

22、守恒律質量守恒律從從t到到t+t時刻，第時刻，第i房室的質量的增量房室的質量的增量)()(txttxxiii 應等于其余各房室和環(huán)境流入應等于其余各房室和環(huán)境流入i房室的物質質量之和房室的物質質量之和再減去第再減去第i房室流入環(huán)境和其余各房室的質量之和。房室流入環(huán)境和其余各房室的質量之和。從從t到到t+t時間內，時間內，第第j房室流入第房室流入第i房室的物質質量近似為房室的物質質量近似為)(txtkjij 環(huán)境流入第環(huán)境流入第i房室的物質質量近似為房室的物質質量近似為itf 0流入第流入第i房室的總質量近似為房室的總質量近似為( )nijjijj itk x tf 01從從t到到t+t時間內，

23、第時間內，第i房室流入到其他房室與環(huán)境的房室流入到其他房室與環(huán)境的物質質量近似為物質質量近似為( )( )njiiiijj itk x tk x t 01從而有從而有()( )( )( )( )niiijjjiiiiijj ix ttx ttk x tk x tk x tf 001兩邊除以兩邊除以t，令，令t0，則有，則有( )( )( ), ,niijjjiiiiijj idxk x tk x tk x tfdtin 0011 2 寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為 00 xxtftAxdtdx)()()(其中其中inijjjiiiijijnnijnnnkkaijkaaAfftfxxxtxtxtx

24、0101000101 ),(,)()(,)()()( nijjjiiiiiijiiijaaniajinjianixfijnjnik100210210210021100|),(),(),(,),;,(且且上述各量滿足上述各量滿足三、線性常系數(shù)房室模型的求解三、線性常系數(shù)房室模型的求解 00 xxtftAxdtdx)()()(當微分方程組當微分方程組中系數(shù)均是常數(shù)時，這是一個線性常系數(shù)方程組的中系數(shù)均是常數(shù)時，這是一個線性常系數(shù)方程組的初值問題，它有兩類求解問題。初值問題，它有兩類求解問題。正問題正問題 若常系數(shù)若常系數(shù)aij均是已知的，由微分方程的基本理均是已知的，由微分方程的基本理論可知可用論

25、可知可用拉氏變換拉氏變換來求解這個初值問題。來求解這個初值問題。反問題反問題 在實際問題中，往往常系數(shù)在實際問題中，往往常系數(shù)aij是未知的，需要是未知的，需要我們借助于測量數(shù)據(jù)以及某些數(shù)學方法估算出來。這我們借助于測量數(shù)據(jù)以及某些數(shù)學方法估算出來。這種求系統(tǒng)模型中未知參數(shù)的問題稱為種求系統(tǒng)模型中未知參數(shù)的問題稱為房室系統(tǒng)的辨識房室系統(tǒng)的辨識問題問題，在數(shù)學上稱為常微分方程的，在數(shù)學上稱為常微分方程的反問題反問題，它是相對，它是相對于通常已知系數(shù)去求解于通常已知系數(shù)去求解xi(t)的正問題而言的。的正問題而言的。 求解反問題的基本步驟：求解反問題的基本步驟：系統(tǒng)的可辨識性判斷系統(tǒng)的可辨識性判斷反問題解的存在唯一性反問題解的存在唯一性求出初值問題含未知參數(shù)的理論解求出初值問題含未知參數(shù)的理論解求最優(yōu)擬合參數(shù)（最小二乘法）求最優(yōu)擬合參數(shù)（最小二乘法）微分方程組中系數(shù)的確定微分方程組中系數(shù)的確定求出初值問題的解求出初值問題的解四、應用舉例四、應用舉例活細胞質膜脂區(qū)流動性的分析活細胞質膜脂區(qū)流動性的分析 用熒光偏振技術測量活細胞脂區(qū)流動性（即脂用熒光偏振技術測量活細胞脂區(qū)流動性（即脂質量的動態(tài)變化過程）時，將完整的活細