高中高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯總及解析(共62頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高中高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯總及解析高中高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯總及解析“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的 66 個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)

2、現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)?！疽族e(cuò)點(diǎn) 1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。例 1、設(shè)，若，求實(shí)數(shù) a 組成的集2|8150Ax xx|10Bx ax ABB合的子集有多少個(gè)？【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極ABBBA易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的 a 值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合 A 化簡得，由知故（）當(dāng)時(shí)，即方程 3,5A ABBBAB無解，此時(shí) a=0 符合已知條件（）當(dāng)時(shí)，即方程的解為 3 或 5，代入得10ax B10ax 或。綜上滿足條件的 a 組成的集合為，故其子集共有個(gè)。13a 151 10,3 5328【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 （1）在

3、應(yīng)用條件 ABAB時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集合是空集 的情況優(yōu)先進(jìn)行討論（2）在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：，22,|4Ax yxy，其中,若求 r 的取值范圍。將集合所表 222,|34Bx yxyr0r AB達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合 A 表示以原點(diǎn)為圓心以 2 的半徑的圓，集合 B 表示以（3，4）為圓心，以 r 為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑 r 的取值范圍。思維

4、馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用?！揪?1】已知集合、，若，2|40Ax xx22|2110Bx xaxa BA則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 。答案：或。1a 1a 【易錯(cuò)點(diǎn) 2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例 2、已知,求的取值范圍22214yx 22xy【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y 滿足這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。22214yx 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1從而x2+y2=-3x

5、2-16x-12=22214yx 42y+因此當(dāng)x=-1時(shí)x2+y2有最小值 1, 當(dāng) x=-時(shí)，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范圍是1, 32838328328【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對(duì) x、y 的限制，22214yx 顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3x-1，。此外本題還可通過三角換元22y 轉(zhuǎn)化為三角最值求解。【練 2】 （05 高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線上變化，則的最大值為22214xyb0b 22xy（）（A）（B）（C）（D）24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：A【易錯(cuò)點(diǎn) 3】求解函

6、數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。例 3、是 R 上的奇函數(shù)， （1）求 a 的值（2）求的反函數(shù) 2112xxaf x 1fx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。解析：（1）利用（或）求得 a=1. 0f xfx 00f（2）由即，設(shè),則由于故，1a 2121xxf x yf x211xyy 1y 121xyy，而所以112logyyx 2121xxf x211,121x 1112log11xxfxx 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 （1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義

7、域?yàn)?R 可省略） 。（2）應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和1( )( )fbaf ab函數(shù)值要互換?！揪?3】（2004 全國理）函數(shù)的反函數(shù)是（） 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxx精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)C、 D、 221yxx x221yxx x答案：B【易錯(cuò)點(diǎn) 4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位例 4、已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于直線 121xf xx yg x11yfx對(duì)稱，則的解析式為（）yx yg xA、 B、 C、 D、 32xg xx 21xg xx 12xg xx 32g xx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)

8、易由與互為反函數(shù)，而認(rèn)為 yg x11yfx的反函數(shù)是則=而11yfx1yf x yg x1f x 1213211xxxx錯(cuò)選 A。解析：由得從而再求 121xf xx 112xfxx 11121211xxyfxx 的反函數(shù)得。正確答案：B11yfx 21xg xx【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示11yfx1yf x中 x 用 x-1 替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè)則 1fx1yf x， 11fyx再將 x、y 互換即得的反函數(shù)為，故 11xfy1yf x 11yfx的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。1yf x11yfx【練 4】 （2

9、004 高考福建卷）已知函數(shù) y=log2x 的反函數(shù)是 y=f-1(x)，則函數(shù) y= f-1(1-x)的圖象是（）答案：B【易錯(cuò)點(diǎn) 5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)例 5、判斷函數(shù)的奇偶性。2lg 1( )22xf xx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函數(shù)的解析式知 x 滿足即函數(shù)的定義域?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，21022xx 1,00,1在定義域下易證即函數(shù)為奇函數(shù)。 2lg 1xf xx fx

10、f x 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 （1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)具有奇偶性，則是對(duì)定義域內(nèi) x 的恒等式。 f x f xfx或 f xfx 常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值?！揪?5】判斷下列函數(shù)的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn) 6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。例 6、函數(shù)的反函數(shù)為，證明是奇函數(shù)且 2221211log22xxf xxx 或 1

11、fx 1fx在其定義域上是增函數(shù)?！舅季S分析】可求的表達(dá)式，再證明。若注意到與具有相同的單調(diào)性和奇偶性， 1fx 1fx f x只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。 f x解析：，故為奇函數(shù)從而為212121212121222logloglogxxxxxxfx f x f x 1fx奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，21212121xtxx 1,2 1,22logty 故在和上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別 f x1,2 1,2 1fx0,0為增函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。 （2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相

12、同的單調(diào)性。 （3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。 （4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)。1( )( )fbaf ab【練 6】 （1） （99 全國高考題）已知 ，則如下結(jié)論正確的是（）( )2xxeef xA、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函數(shù) f x f xC、 是偶函數(shù)且為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函數(shù) f x f x答案：A（2） （2005 天津卷）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的 1fx 112xxf xaaa 11fx的取值范圍為（）A、 B、 C、 D、x21(,)2a

13、a21(,)2aa21(, )2aaa( ,)a 答案：A （時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以.）1a f x 21111112afxffxfxfa 【易錯(cuò)點(diǎn) 7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。例 7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。 0,0bf xaxabx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是12,xD xD 1212f xf xf xf x12,x x函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào) fxf x f x f x0,性

14、即可。設(shè) ， 由于 故當(dāng)120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x120 xx 時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上增函數(shù)，同理可12,bx xa 120f xf x f x,ba證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在 f x0,ba,0ba為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在,ba f x,ba ,ba和上分別為減函數(shù).0,ba,0ba【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】 （1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在上是增函數(shù)，在 f x, a b 121

15、20f xf xxx f x上是減函數(shù)，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩, a b 12120f xf xxx點(diǎn)連線的斜率都大于（小于）零。 1122,xf xxf x（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中 0,0bf xaxabx不能說在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù), f x,ba ,ba0,ba,0ba在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“”和“或”，【練 7】 （1） （濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在 10 xf xaxaax f x上的單調(diào)性。 （2）設(shè)在的最小值為，求的解析式。0, f x01x g a yg a答案

16、：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。 （2）1,a10,a 12101aayg aaa（2） （2001 天津）設(shè)且為 R 上的偶函數(shù)。 （1）求 a 的值（2）試判斷函數(shù)在0a xxeaf xae上的單調(diào)性并給出證明。0,答案：（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)（證明略）1a 0,【易錯(cuò)點(diǎn) 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。例 8、 （2004 全國高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍。 3231f xaxxx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程 0,fxxa b f x, a b中易誤作是充要條件，如在 R 上遞

17、減，但。 3f xx 230fxx 解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則 2361fxaxx 0fx f x故解得。 （2）當(dāng)時(shí)， 23610fxaxxxR 00a 3a 3a 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)易知此時(shí)函數(shù)也在 R 上是減函數(shù)。 （3）當(dāng)時(shí)， 33218331339f xxxxx 3a 在 R 上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求 a 0fx3a f x的取值范圍是。, 3 【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明： f x與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)0)( xf)(xf0)(

18、xf)(xf在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要3)(xxf),(0)( xf0)( xf)(xf條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)?)( xf0)( xf)(xf0)( xf規(guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，0)( xf)(xf0)( xf0)( xf是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，0)( xf)(xf0)( xf)(xf)(xf一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)0)( xf)(xf0)( xf)(xf的必要不充分

19、條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再對(duì)和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分3a 3a 條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性?！揪?8】 （1） （2003 新課程）函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）2yxbxc0,xA、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：

20、A（2）是否存在這樣的 K 值，使函數(shù)在上遞減，在 243221232f xk xxkxx1,2上遞增？2,答案：。 （提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減，12k 20f 20f 1,2在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出 K 值后要檢驗(yàn)。 ）2, 20f 【易錯(cuò)點(diǎn) 9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)例 9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。a1b1錯(cuò)解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8

21、(a+)2+(b+)2的最a1b121a21bab2abab1a1b1小值是 8【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等號(hào)成立的條件是 a=b=,21第二次等號(hào)成立的條件 ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8 不是最小值。ab1解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4 =(1-2ab)21a21b21a21ba1b1ab2(1+)+4 由 ab()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式221ba2ba 412121221ba221ba17+4= (當(dāng)且僅當(dāng) a=b=時(shí)，等號(hào)成

22、立)(a+)2+(b+)2的最小值是。2122521a1b1225【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等” ，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)?！揪?9】 （97 全國卷文 22 理 22）甲、乙兩地相距 s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 c km/h ,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為 b;固定部分為 a 元。（1）把全程運(yùn)輸成本 y（元）表示為速度 v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的

23、定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為:（1）（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)c 時(shí)，行駛速度 v=20sybvavcvba；當(dāng)c 時(shí)，行駛速度 v=c。baba【易錯(cuò)點(diǎn) 10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例 10、是否存在實(shí)數(shù) a 使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出 a 的值，若不存在， 2logaxxaf x2,4說明理由?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致 a 的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)

24、合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方 f x 2xaxx logxay法（1）當(dāng) a1 時(shí)，若使在上是增函數(shù)，則在上是增函 2logaxxaf x2,4 2xaxx2,4數(shù)且大于零。故有解得 a1。 （2）當(dāng) a1 使得函數(shù)在上是增函數(shù) 2logaxxaf x2,4【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于 1 還是小于 1） ，特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制） ?！揪?10】 （1） （黃

25、崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)，且試求函數(shù)的的單調(diào)0a 1a 2log 43ayxx區(qū)間。答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單01a31,23,421a 31,2調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。3,42（2） （2005 高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則 3log0,1af xxaxaa1(,0)2的取值范圍是（）A、 B、 C、 D、a1 ,1)43 ,1)49( ,)49(1, )4答案：B.（記，則當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有 3g xxax 23gxxa1a f x恒成立，所以.矛盾.排除 C、D 當(dāng)時(shí)，要使是函數(shù)，則需有 0gx 213324a01a f x恒成立，所以.排除 A） 0

26、gx 213324a【易錯(cuò)點(diǎn) 11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性例 11、已知求的最大值1sinsin3xy2sincosyx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換1sinsin3xysin x元的思想令將問題變?yōu)殛P(guān)于 t 的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成sintx錯(cuò)解，解析：由已知條件有且（結(jié)合）得1sinsin3yx1sinsin1,13yx sin1,1x ，而=令2sin13x2sincosyx1sin3x2cos x22sinsin3xx則原式=根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即2sin13txt222133ttt 23t 精選

27、優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)時(shí)，原式取得最大值。2sin3x 49【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與

28、結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化?！揪?11】 （1） （高考變式題）設(shè)a0，000 求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值2和最小值。答案：f(x)的最小值為2a 2a，最大值為22121202222 212222()()aaaa（2）不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。x32答案：（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于 t 的一元二次不等式的解集為）1,368abxt2, b【易錯(cuò)點(diǎn) 12】已知求時(shí), 易忽略 n的情況nSna例 12、 （2005 高考北京卷）數(shù)列前 n 項(xiàng)和且。 （1）求的值及數(shù) nans1111,3nnaas234,a a

29、 a列的通項(xiàng)公式。 na【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對(duì)于任意 n 值都成立，忽略了對(duì) n=1nsna1nnnass的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。 na解析：易求得。由得故2341416,3927aaa1111,3nnaas1123nnasn得又，故該數(shù)列從111112333nnnnnaassan1423nnaan11a 213a 第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故。2111 423 3nnnan 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系nans1112nnnsnassn可以已知求。但注意只有在當(dāng)適合時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函nsna1a12nnnass

30、n精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)數(shù)的形式?！揪?12】 （2004 全國理）已知數(shù)列滿足 na則數(shù)列的通項(xiàng)為 。112311,2312nnaaaaanan na答案：（將條件右端視為數(shù)列的前 n-1 項(xiàng)和利用公式法解答即可）nna11!22nnann【易錯(cuò)點(diǎn) 13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從 1 開始）例 13、等差數(shù)列的首項(xiàng)，前 n 項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，。問 n 為何值時(shí)最大? na10a nslmmlssns【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于 n 的二次函數(shù)的最大值，但易忘記

31、此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知=此函數(shù)是以 n 為變量的二次函ns 2111222n nddf nnadnan數(shù)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，故即此二次函數(shù)開口向下，故由得當(dāng)10a lmmlss0d f lf m時(shí)取得最大值，但由于，故若為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。2lmx f xnNlm2lmnns當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大。lm12lmnns【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從 1 開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題。特別的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對(duì)應(yīng)的數(shù)

32、列也必然是等差數(shù)列的2nsanbn前 n 項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外nsanbn,nsnn形如前 n 項(xiàng)和所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。nnscac【練 13】 （2001 全國高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前 n 項(xiàng)和，且，則下 nans56ss678sss列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、B、C、 D、和均為的最大值。0d 70a 95ss6s7sns答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和關(guān)于 n 的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn) 14】解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。例 14、已知關(guān)

33、于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求230 xxa230 xxb34的值。ab【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程34230 xxa的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間230 xxa230 xxb兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：故從而=。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)

34、用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差數(shù)列，若，則； naqpmnqpmnaaaa對(duì)于等比數(shù)列，若，則；若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前 n navumnvumnaaaa nanS項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前*Nk kSkkSS2kkSS23 nanSn 項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。*Nk kSkkSS2kkSS23【練 14】 （2003 全國理天津理）已知方程和的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)220 xxm220 xxn為的等差數(shù)列，則=（） A、1 B、 C、 D、14mn341238答案：C【易錯(cuò)點(diǎn) 15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比的情況例 1

35、5、數(shù)列中，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列。na11a22a1nnaaq0q（I）求使成立的的取值范圍；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)的和32211nnnnnnaaaaaaqnan2nS2【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和易忽略公比 q=1 的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)1nnaaq0q列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（I）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，1nnaaqqaaaannnn121，由得2132qaaaannnn32211nnnnnnaaaaaa，即（） ，解得221111qqqaaqaaaannnnnn012

36、 qq0q2510 q（II）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這表明數(shù)列1nnaaqqaaqaaaannnnnn2121精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是，又，當(dāng)naq11a22a時(shí)，1qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaa，當(dāng)時(shí)，qqqqaqqannn1)1 (31)1 (1)1 (211qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222() 1111 (【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列qaann

37、2的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為 1 這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤?！揪?15】 （2005 高考全國卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列的公比為 q，前 n 項(xiàng)和（1）求 q 的取值 na0ns 范圍。答案： 1,00,【易錯(cuò)點(diǎn) 16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前 n 項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。例 16、 （2003 北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 na11232,12a

38、aaa（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式。 nannnba xxR nb【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列是一 na nb nb個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列” ，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得2nan（2）由（1）得令（）則2nnbnxns 232462nxxxnx（）用（）減去（） （注意錯(cuò)過一位再相減）得23124212nnnxsxxnxnx當(dāng)當(dāng)231122222nnnx sxxxxnx1x 11211nnnxxsnxxx精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)時(shí)1x 24621nsnn n綜上可得：當(dāng)當(dāng)時(shí)1x

39、11211nnnxxsnxxx1x 24621nsnn n【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和 ncnnnca b na nb等比數(shù)列，則其前 n 項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的方法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例?！揪?16】 （2005 全國卷一理）已知1221nnnnnnuaabababb當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和,0,0nNabab nans答案：時(shí)當(dāng)時(shí).1a 21221221nnnnanaaasa1a 32nn ns【易錯(cuò)點(diǎn) 17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法

40、時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例 17、求nS321121111n3211【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，n2) 1(321nnn，取 ，就分別得到，)111(2) 1(23211nnnnnn1233211,211,11，nS)111(2)4131(2)3121(2)211 (2nn12)111 (2nnn【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】 “裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的

41、第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即nn216314212112222，問題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，)211(21)2(1212nnnnnn如：，求其前項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式11nnann法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 17】 （2005 濟(jì)南統(tǒng)考）求和121222nS1414221616221)2(1)2(22nn答案：715115131

42、131111nS1211211nn122nnn【易錯(cuò)點(diǎn) 18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例 18、 （2004 年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無窮等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.()若首項(xiàng)，公差，求滿足的正整數(shù) k；1a321 d2)(2kkSS ()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對(duì)于一切正整數(shù) k 都有成立.2)(2kkSS 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第()時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù) k 都有成立”這句話將 k 取兩個(gè)特殊值確定出等2)(2kkSS 差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但

43、沒有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。解：（I）當(dāng)時(shí)1,231dannnnndnnnaSn21212) 1(232) 1(由，即 又.22242)21(21,)(2kkkkSSkk得0) 141(3kk4, 0kk所以（II）設(shè)數(shù)列an的公差為 d，則在中分別取 k=1,2,得2)(2nnSS211211224211)2122(2344,)()(dadaaaSSSS即由（1）得 當(dāng). 1011aa或, 60)2(,01dda或得代入時(shí)若成立,21)(, 0, 0, 0, 0kknnSSSada從而則若故所得知由則216,32

44、4)( ,18),1(6, 6, 02331nnSSSnada,)(239Ss 數(shù)列不符合題意.當(dāng)20,)2(64)2(,121dddda或解得得代入時(shí)若;)(, 1, 0, 1212成立從而則kknnSSnSada若.成立從而則221)(,) 12(31, 12, 2, 1nnnSSnnSnada綜上，共有 3 個(gè)滿足條件的無窮等差數(shù)列：an : an=0，即 0，0，0，；an : an=1，即 1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上， “條件中使得對(duì)于一切正整數(shù) k 都有成立.”就等價(jià)于關(guān)于 k 的2)(2kkSS 方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于

45、k 的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系?！揪?18】 （1） （2000 全國）已知數(shù)列,其中,且數(shù)列為等比數(shù)列.求常數(shù) nc23nnnc 1nncpcp答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于 p 的方程，再說明 p 值對(duì)任意自然數(shù)n 都成立）【易錯(cuò)點(diǎn) 19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.例 19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)224xy1

46、yk x（1）（2）精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 或 y 的方程后，易忽視對(duì)方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組消去 y 得到（1）當(dāng)2214yk xxy22221240kxk xk時(shí)，即，方程為關(guān)于 x 的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一210k1k 個(gè)交點(diǎn)。 （2）當(dāng)時(shí)即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交22104 430kk 2 33k 點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，方程組有兩個(gè)交

47、點(diǎn)此時(shí)且。 （4）22104 430kk 2 32 333k1k 當(dāng)時(shí)即或時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)。22104 430kk 2 33k 2 33k 綜上知當(dāng)或時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且。時(shí)1k 2 33k 2 32 333k1k 直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)。2 33k 2 33k 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線

48、相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一?！揪?19】 （1） （2005 重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的左1c2214xy2c1c右頂點(diǎn)，而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)。 （1）求雙曲線的方程（2）若直線與2c1c:2lykx橢圓及雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn) A 和 B 滿足，其中 O 為1c2c2c6lOA OB 原點(diǎn)，求 k 的取值范圍。答案：（1）（2）2213xy133113131,115322315 （2）已知雙曲線C：

49、 ，過點(diǎn)P（1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有_條。答案：4條（可知kl存在時(shí)，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-1422yx精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(1-k2)-4=0, 當(dāng)4-k2=0即k=2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k2時(shí)，由=0有，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)25kkl不存在時(shí)，x=1也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯(cuò)點(diǎn) 20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。sincos例 20、已知，求（1）；（2）的值.2tansincossincos22cos2cos.sinsin【思維分析】將

50、式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將（2）式分子分母除去即可。221sincossin解：（1）；2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin .324122221cossin2cossincossin2222【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到） ，進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡化。2222(1sincossectantancot這些統(tǒng)稱為 1 的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用【練 20】 （2004 年湖北卷理科）已知的值.)32

51、sin(,2, 0cos2cossinsin622求答案：（原式可化為，）65 3132602tantan62223tan1tan2sin 231tan【易錯(cuò)點(diǎn) 21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第 n 項(xiàng)與數(shù)列的前 n 項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。例 21、如果能將一張厚度為 0.05mm的報(bào)紙對(duì)拆,再對(duì)拆.對(duì)拆 50 次后,報(bào)紙的厚度是多少?你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為米)84 10【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)拆 50 次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第 n 項(xiàng),易誤理解為是比等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。解析：對(duì)拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對(duì)拆

52、厚度構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是以nana米為首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列。從而對(duì)拆 50 次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第 51 項(xiàng)，31a =0.05 10利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a51=0.0510-3250=5.631010,而地球和月球間的距離為41080，所以.猜測：當(dāng)且僅當(dāng)，*nN10abcx1abxc1xabab且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.cbax1 （）若 b 的值使得0，由 知 , 特nx*nN13nnnxxbx03nxb*nN別地，有. 即，而(0, 2)，所以，由此猜測 b 的最103xb103bx1x 1 , 0(b大允許值是 1. 下證 當(dāng)(0, 2) ，b=1 時(shí)，都有

53、(0, 2), 。 當(dāng) n=1 時(shí)，結(jié)論顯1xnx*nN然成立.假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即(0, 2),則當(dāng) n=k+1 時(shí)，.又因kx120kkkxxx為.所以(0, 2)，故當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論也成立.2121112kkkkxxxx 1kx由、可知，對(duì)于任意的，都有(0,2).綜上所述，為保證對(duì)任意(0, 2), 都有*nNnx1x0， ，則捕撈強(qiáng)度 b 的最大允許值是 1.nx*nN【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方

54、法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在 n1(或 n )時(shí)成立，這是遞0推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在 nk 時(shí)命題成立，再證明 nk1 時(shí)命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或 nn 且 nN）結(jié)論都0正確” 。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)

55、歸納的，屬于完全歸納.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是 nk1 時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù) n 有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。【練 34】 （2005 年全國卷統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）（）設(shè)函數(shù)，求的最小值；) 10( )1 (log)1 (log)(22xxxxxxf)(xf（）設(shè)正數(shù)滿足，證明npppp2321,12321nppppnppppppppnn222323222121logloglo

56、glog精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)答案：（）（）用數(shù)學(xué)歸納法證明。112f （2） （2005 高考遼寧）已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足，).1(13)(xxxxfna)(, 111nnafaa數(shù)列滿足nb).(|,3|*21NnbbbSabnnnn （）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （）證明12) 13(nnnb.332nS【易錯(cuò)點(diǎn) 35】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。例 35、下列命題：|=|若則422|)()(aaabcacba)()(abababb ,c，則存在唯一實(shí)數(shù) ，使若，且，則設(shè)acababcbcacoba 是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量，都存在唯

57、一一組實(shí)數(shù)x、y，使21,eea成立。若|+|=|則=0。=0，則=或=真命題個(gè)數(shù)21eyexaa babababa 0b 0為（ ）A1B2C3D3 個(gè)以上【易錯(cuò)點(diǎn)分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)問題的前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來，如認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論。解析：正確。根據(jù)向量模的計(jì)算判斷。錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是2aaa因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義表示和向量共線的向量，同理表示和向量共線的()a cb b()a bc c向量，顯然向量和向量不一定

58、是共線向量，故不一定成立。錯(cuò)誤。應(yīng)為bc()()a bca cb 錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。 錯(cuò)誤。應(yīng)加aba b 條件“非零向量”錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量和向量在向量abb方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數(shù)多個(gè)。錯(cuò)誤。注意平面向量的基本定理的前提c有向量是不共線的向量即一組基底。正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相21,ee等，即四邊形為矩形。故=0。錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。ab答案：B【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解

59、答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)， 和實(shí)數(shù) ，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律： (交換律)（）（）（） (數(shù)乘結(jié)合律)() (分配律)說明：（1）一般地，()（） （2），0（3）有如下常用性質(zhì)：， （） （），()【練 35】 （1） （2002 上海春，13）若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bc C.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）（2）(2000 江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線

60、,則（ab）c（ca）b=0 |a|b|0 的的aOAOB , fxxfxx取值范圍.答案：，()4,2()43,2(xkZ【易錯(cuò)點(diǎn) 42】向量與解析幾何的交匯例 42、 （03 年新課程高考）已知常數(shù)a0，向量c=（0，a） ，i=（1，0） ，經(jīng)過原點(diǎn) O 以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以i2c為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題綜合程度較高，一方面學(xué)生對(duì)題意的理解如對(duì)方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答