數(shù)學(xué)選修求曲線方程

1、數(shù)學(xué)選修求曲線方程 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，說明：說明： （1）“曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解” ，闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是說曲闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外線上所有的點都符合這個條件而毫無例外（純粹性）（純粹性）.（2）“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲

2、線上”闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏（完備性）（完備性）.定義：定義：一個二元方程一個二元方程 f (x，y) = 0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：那么這個方程叫做曲線的方程；那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線這條曲線叫做方程的曲線(圖形圖形).復(fù)習(xí)舊知：復(fù)習(xí)舊知：新課引入：新課引入： 我們已經(jīng)建立了曲線的方程、方程的曲線的概念。 利用這兩個概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成是滿足某種條件的點的軌跡或集合，用曲線上點的坐標(biāo)(x,y)所滿足的方程F(x,y)=0表示曲線。 在數(shù)學(xué)中，建立曲線方

3、程，然后用方程研究曲線的方法，叫做解析法解析法（或坐標(biāo)法坐標(biāo)法）。 平面解析幾何主要研究的問題是： （1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； （2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)；知識鏈接 軌跡和軌跡方程： 如果某條曲線C是由動點M運動產(chǎn)生的，我們就稱曲線C是點M的軌跡，曲線C的方程稱為M的軌跡方程。 注意：注意：“軌跡”、“方程”要區(qū)分：求軌跡方程，求得方程就可以了；若是求軌跡，求得方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線類型。 解法一：由已知得解法一：由已知得例例1 設(shè)設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)是兩點的坐標(biāo)是(-1, -1)、(3 ,7)，求線段，求線段AB的垂直平的垂直平分線的方程分線的方程.M線

4、段的中點坐標(biāo)為線段的中點坐標(biāo)為 M(1，3)，又又ABk3171 線段線段AB的垂直平分線的斜率的垂直平分線的斜率21k1213xy.072yx 線段線段AB的垂直平分線的方程為的垂直平分線的方程為即即說明：上述問題是我們早就學(xué)過的，用點斜式就可解決說明：上述問題是我們早就學(xué)過的，用點斜式就可解決 可是，你們是否想過可是，你們是否想過 x + 2y -7= 0 恰好就是所求的方程嗎恰好就是所求的方程嗎？2例例1 設(shè)設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)是兩點的坐標(biāo)是(-1,-1)、(3,7)，求線段，求線段AB的垂直平的垂直平分線的方程分線的方程.解：設(shè)解：設(shè)M(x,y)是線段是線段AB的垂直平分線上的垂直平分線

5、上任意一點，也就是點任意一點，也就是點M屬于集合屬于集合 P=M|MA|=|MB|.由兩點的距離公式，點由兩點的距離公式，點M所適合的條件可表示所適合的條件可表示為為2222)7() 3() 1() 1(yxyx2222)7() 3() 1() 1(yxyx.072 yx即.M方程x+2y-7=0是線段AB的垂直平分線的方程.下面證明：求解過程說明垂直平分線上每一點的坐標(biāo)都是方程求解過程說明垂直平分線上每一點的坐標(biāo)都是方程 x +2y -7=0的解的解 .設(shè)點設(shè)點M1 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x1，y1)是方程是方程x+2y-7=0的解的解 ，即 x1+2y1-7=0 x1= 7-2y1 . 點M1到A

6、、B的距離分別是21211) 1() 1(|yxAM2121) 1()28 (yy)136( 5121yy21211)7() 3(|yxBM2121)7()24(yy)136( 5121yy|11BMAM即點M1在線段AB的垂直平分線上.綜上兩個方面， 方程x+2y-7=0是線段AB的垂直平分線的方程.M 這樣我們就有兩種求解方程的方法，解法一借助這樣我們就有兩種求解方程的方法，解法一借助直線方程的理論直線方程的理論.解法二不借助直線方程的理論，非常解法二不借助直線方程的理論，非常自然，還體現(xiàn)了曲線方程定義中點集與對應(yīng)的思想自然，還體現(xiàn)了曲線方程定義中點集與對應(yīng)的思想因此是個好方法因此是個好方

7、法求曲線方程的一般步驟：求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用 (x，y) 表示曲線上任意一點表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； （建系并設(shè)點）（建系并設(shè)點）（2）寫出動點滿足的關(guān)系式）寫出動點滿足的關(guān)系式(動點的集合動點的集合); （列式）（列式）（3）用坐標(biāo)）用坐標(biāo)x,y表示關(guān)系式，即列出方程表示關(guān)系式，即列出方程 f(x,y)=0; （代換）（代換） （4）化簡方程）化簡方程 f(x,y)= 0; （化簡）（化簡）（5 5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點. .（證明）（證明）說明：說明： 一

8、般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可予以說明可以省略不寫，如有特殊情況，可予以說明.根據(jù)情況，根據(jù)情況，也可以省略步驟（也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程 .例例2 已知一條曲線在已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點到點軸的上方，它上面的每一點到點A(0,2)的距離減去它到的距離減去它到x軸的距離的差都是軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程，求這條曲線的方程.MAB解：設(shè)點解：設(shè)點M(x,y)是曲線上任意一點，是曲線上任意一點，MBx軸，垂足是軸，垂足是B，則，則 |MA|-|M

9、B|= 2由距離公式，點由距離公式，點M適合的條件適合的條件可表示為可表示為 2)2(22yyx化簡化簡 222)2()2(yyx281xy 因為曲線在因為曲線在x軸的上方，軸的上方，y0，雖然原點，雖然原點O的坐標(biāo)的坐標(biāo)(0,0)是這個方程的是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應(yīng)是解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應(yīng)是 它它的圖象是關(guān)于的圖象是關(guān)于y軸對稱的拋物線，但缺一個頂點軸對稱的拋物線，但缺一個頂點.)0(812xxy。即即)0( x為所求的曲線的方程為所求的曲線的方程 .1. 若條件中只出現(xiàn)一個定點若條件中只出現(xiàn)一個定點 , 常以定點為原點建立直角坐標(biāo)系常以定點為原點建

10、立直角坐標(biāo)系 ;2. 若若已已知兩定點知兩定點 , 常以兩定點的中點為原點常以兩定點的中點為原點 , 兩定點所在的直線兩定點所在的直線為為 x 軸建立直角坐標(biāo)系軸建立直角坐標(biāo)系 ；3. 若若已已知兩條互相垂直的直線知兩條互相垂直的直線 , 則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系； 4. 若已知一定點和一定直線若已知一定點和一定直線 , 常以點到直線的垂線段的中點為原點常以點到直線的垂線段的中點為原點 , 以點到直線的垂線的反向延長線為以點到直線的垂線的反向延長線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系軸建立直角坐標(biāo)系 ;5. 若已知定角若已知定角 , 常以定角的頂點為原點常以定角的頂點為

11、原點 , 定角的角分線為定角的角分線為 x 軸建軸建立直角坐標(biāo)系立直角坐標(biāo)系 .由于坐標(biāo)系的建立不同由于坐標(biāo)系的建立不同 , 同一曲線在不同坐標(biāo)系中的方程也不相同一曲線在不同坐標(biāo)系中的方程也不相同同 , 但它們始終表示同一曲線但它們始終表示同一曲線 .建立坐標(biāo)系的一般規(guī)律：建立坐標(biāo)系的一般規(guī)律：練習(xí)練習(xí)1：.2的軌跡方程，求點滿足動點，長度為線段已知MMBMAMABAB.M解：解：以線段AB所在直線為 x 軸，線段AB的中點為原點，建立直角坐標(biāo)系，設(shè) M(x，y)，則則 A（-1，0），B（1，0）MBMA 由0MBMA有0)0 ,1 ()0 ,1(yxyx即) 1(x122yx122 yxM 軌跡方程是點MBMAyxxyx對應(yīng)的點滿足的解方程),() 1(