數(shù)學(xué)模型思想

1、數(shù)學(xué)模型思想數(shù)學(xué)模型思想目錄目錄數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型模型的含義及分類數(shù)學(xué)模型的含義數(shù)學(xué)模型的匪類數(shù)學(xué)模型方法數(shù)學(xué)模型方法含義及辨析應(yīng)用基本步驟數(shù)學(xué)模型與數(shù)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)教育學(xué)教育在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)（內(nèi)容角度）課標、教材課程追求的境界在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透數(shù)學(xué)建模活動教學(xué)中的滲透滲透數(shù)學(xué)模型思想的意義滲透數(shù)學(xué)模型思想的意義1劉兆明主編.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論M.武漢：湖北教育出版社.1987.2徐利治著.數(shù)學(xué)方法論選講M.華中工學(xué)院出版社.1983.參考文獻參考文獻4錢佩玲，邵光華編著.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)M.北京：北京師范大學(xué)出版社.2008.5錢佩玲主編.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法M.北京：北京師范大學(xué)出版社.20

2、01.7李樹臣. 滲透數(shù)學(xué)模型思想的基本途徑J. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2012,10:7-11.8楊承軍. 義務(wù)教育階段滲透數(shù)學(xué)模型思想的意義與策略探究J. 教育評論,2014,04:117-119.9李大潛. 將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程J. 中國大學(xué)教學(xué),2006,01:9-11.6李延林. 數(shù)學(xué)建模引導(dǎo)高中學(xué)生進入用數(shù)學(xué)的新階段J. 數(shù)學(xué)通報,2005,10:21-23.3張思明. 努力發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建?；顒拥慕逃饔肑. 數(shù)學(xué)教學(xué),1998,03:29-31.什么是數(shù)學(xué)模型？什么是數(shù)學(xué)模型？原型模型原型就是人們在社會活動和生產(chǎn)實踐中所關(guān)心和研究的實際對象，這些實際對象在科技領(lǐng)域通常用

3、系統(tǒng)或過程等詞匯。例如機械系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、導(dǎo)彈飛行過程，等等。模型是指人們?yōu)橐欢ǖ哪康膶υ偷哪骋徊糠中畔⒓右院喡院吞釤挾鴺?gòu)建出來的這個原型的某個代替物。例如，城市交通圖是城市的一個模型模型分類物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型物理模型思維模型符號模型數(shù)學(xué)模型模型的分類從廣義上講從廣義上講凡一切數(shù)學(xué)概念（向量、實數(shù)等）、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程（代數(shù)方程、函數(shù)方程等等）以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等稱作數(shù)學(xué)模型從狹義上講從狹義上講只有那些反應(yīng)特定問題或特定的具體事務(wù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式

4、化數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表達出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用領(lǐng)域了解程度了解程度表現(xiàn)特征表現(xiàn)特征數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法人口模型、交通模型、金融模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型等等白箱模型、灰箱模型、黑箱模型確定性模型與隨機性模型、靜態(tài)模型與動態(tài)模型、離散模型與連續(xù)模型初等模型、運籌學(xué)模型、幾何模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計模型等等。數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類確定性數(shù)學(xué)模型：確定性數(shù)學(xué)模型：模型相應(yīng)的實際對象具有確定性和固定性，對象間又具有必然的聯(lián)系，這類模型的表示形式可以是各種各樣的方程式、關(guān)系式、網(wǎng)絡(luò)圖等，所使用的方法是經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法。例如：在標準大氣壓下，把水加熱，當(dāng)溫度升

5、高到100的時候，水必然開始沸騰。隨機性數(shù)學(xué)模型：隨機性數(shù)學(xué)模型：這類模型的實際對象具有隨機性，數(shù)學(xué)模型的表示工具是概率論、數(shù)理統(tǒng)計及隨機過程等。例如：在一定的條件下，一只雞蛋可以孵化出一只小雞，小雞是雄是雌卻具有隨機性，它也受一種自然規(guī)律的支配。模糊性數(shù)學(xué)模型：模糊性數(shù)學(xué)模型：這類模型所對應(yīng)的實體對象及其關(guān)系均具有模糊性，數(shù)學(xué)模型的基本表示工具是模糊幾何理論及模糊邏輯等。例如：“遠大于10的自然數(shù)”。數(shù)學(xué)模型方法數(shù)學(xué)模型方法含義含義應(yīng)用應(yīng)用基本基本步驟步驟數(shù)學(xué)理論研究的經(jīng)典方法；數(shù)學(xué)理論研究的經(jīng)典方法；研究自然界和社會實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。研究自然界和社會實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)模型方

6、法數(shù)學(xué)模型方法含義含義 數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)模型方法（mathmatical modeling method）：簡稱MM方法 借用數(shù)學(xué)模型來研究原型的功能特征及其內(nèi)在規(guī)律，并應(yīng)用于實際的一種方法。 借助數(shù)學(xué)模型認識事物，數(shù)學(xué)抽象方法的直接應(yīng)用和體現(xiàn)。 數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步。例例數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型思想、數(shù)學(xué)模型方法、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型思想、數(shù)學(xué)模型方法、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模：運用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法解決實際問題的過程（建立人口增長模型的過程）數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)的數(shù)式、圖表或算法等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；（人口增長模型）數(shù)學(xué)模型方法：（依托人口增長模型來分析人口增長趨勢）數(shù)學(xué)模型思想：將實際問

7、題，化歸成數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究和解答，使實際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)化歸思想。根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國人口增長規(guī)律，預(yù)測該國2000年的人口數(shù)。時間時間/年份年份18301840185018601870188018901900人口數(shù)/百萬3.9305.3097.2419.63912.86717.07023.19331.444時間/年份191019201930194019501960197019801990人口數(shù)/百萬38.55950.51662.94975.99691.973105.712122.776131.670142.698數(shù)學(xué)模型方法數(shù)學(xué)模型方法例

8、例 假設(shè)：假設(shè)： 該國的政治經(jīng)濟社會環(huán)境穩(wěn)定； 人口增長數(shù)由其人口的生育、死亡引起，與是否移民無關(guān) 該國的人口數(shù)量變化是連續(xù)的； 該國的每一個人有相同的生育能力和死亡幾率返回數(shù)學(xué)模型方法數(shù)學(xué)模型方法基本步驟基本步驟 基本步驟（現(xiàn)實對象與模型的關(guān)系）現(xiàn)實人口增長模型問題數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)數(shù)學(xué)推導(dǎo)描點畫圖的函數(shù)并檢驗求解返回解釋返回解釋 預(yù)測出2000年人口數(shù)檢驗檢驗現(xiàn)實原型問題現(xiàn)實原型問題數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)模型的解 現(xiàn)實原型的解現(xiàn)實原型的解數(shù)學(xué)模型方法數(shù)學(xué)模型方法應(yīng)用應(yīng)用 數(shù)學(xué)之美 地心說日心說行星運動海王星 廣泛應(yīng)用原因數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)教育在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體

9、現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)中學(xué)中的兩重含義中學(xué)中的兩重含義在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)課標課標 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。模型思想。模型思想模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心。整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心。 初

10、步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。力。在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)課標課標 普通高中數(shù)學(xué)課程標準高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實際背景,反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值, 開展“數(shù)學(xué)建模” 的學(xué)習(xí)活動, 設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程.高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系, 促進學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識, 提高實踐能力 要求提高，不僅有數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)要求，而且要要求提高，不僅有

11、數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)要求，而且要設(shè)立專題課程，增加課程中相互學(xué)應(yīng)用的含量和設(shè)立專題課程，增加課程中相互學(xué)應(yīng)用的含量和力量力量。中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)教材教材 波利亞：“早已解決的問題”“輔助問題” 中學(xué)數(shù)學(xué)中的一切公式、定理、法則、圖像、函數(shù)以及相應(yīng)的運算系統(tǒng)都可以作為數(shù)學(xué)模型。 函數(shù)模型、不等式模型、復(fù)數(shù)模型、排列組合模型、概率統(tǒng)計模型、線性規(guī)劃模型中學(xué)中的數(shù)學(xué)模型中學(xué)中的數(shù)學(xué)模型：中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)教材教材 應(yīng)用題：應(yīng)用題： 有純農(nóng)藥藥液一桶，倒出8升后用水加滿，然后又倒出4升后再用水加滿，此時桶中所含的純農(nóng)藥藥液不超過桶的容積的28%，問桶的容積最大為多少升？不等式解決

12、實際問題的步驟：設(shè)、列、解、答在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)教材教材數(shù)學(xué)建模專題在高一年級四套教材中的位置在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)課程課程高中數(shù)學(xué)建模高中數(shù)學(xué)建模常規(guī)課程常規(guī)課程運用函數(shù)知運用函數(shù)知識建模識建模運用幾何知運用幾何知識建模識建模運用統(tǒng)計知運用統(tǒng)計知識建模識建模尋找生活中的函數(shù)尋找生活中的函數(shù)讓學(xué)生在自己讓學(xué)生在自己的身邊找出個真的身邊找出個真實的函數(shù)實的函數(shù)學(xué)函數(shù)、用函數(shù)學(xué)函數(shù)、用函數(shù)讓學(xué)生用函數(shù)讓學(xué)生用函數(shù)知識解決一個具體知識解決一個具體問題。問題。1測量測量2.與包裝有關(guān)的與包裝有關(guān)的系列問題系列問題 1. 排行榜中的排行榜中的信息用統(tǒng)計方法信息用統(tǒng)計方法解

13、決實際問題解決實際問題2. 用隨機模擬用隨機模擬的方法解決實際的方法解決實際問題問題每個建模單元四個環(huán)節(jié)構(gòu)成每個建模單元四個環(huán)節(jié)構(gòu)成選題選題開題開題 做題做題結(jié)題結(jié)題在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)課程課程 集中精力針對核集中精力針對核心概念和重要內(nèi)心概念和重要內(nèi)容，不遍地開花；容，不遍地開花；所用的實際背景所用的實際背景應(yīng)能簡明扼要的應(yīng)能簡明扼要的闡述清楚，不拖闡述清楚，不拖泥帶水泥帶水.不追求自成體系、不追求自成體系、自我完善，與原自我完善，與原有內(nèi)容有機銜接，有內(nèi)容有機銜接，自覺當(dāng)好配角，自覺當(dāng)好配角，讓主角閃亮登場；讓主角閃亮登場；三三 二二 一一文字簡潔通順，文字簡潔通順，不擺弄

14、嚇人的不擺弄嚇人的名詞和概念，名詞和概念，做到樸實無華，做到樸實無華，平易近人。平易近人。四四在中學(xué)數(shù)學(xué)中體現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中體現(xiàn)追求的境界追求的境界課程內(nèi)容本身就是數(shù)學(xué)模型課程內(nèi)容本身就是數(shù)學(xué)模型正數(shù)、負數(shù)；有理數(shù)的加法；分式；方程；函數(shù)等。正數(shù)、負數(shù)；有理數(shù)的加法；分式；方程；函數(shù)等。 數(shù)學(xué)教學(xué)本身就是教給學(xué)生前人已經(jīng)構(gòu)造好的數(shù)學(xué)模數(shù)學(xué)教學(xué)本身就是教給學(xué)生前人已經(jīng)構(gòu)造好的數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)模型思想。型，滲透數(shù)學(xué)模型思想。如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想？如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想？數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)本身本身數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建?；顒踊顒訑?shù)學(xué)建?；顒右呀?jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主旋律數(shù)學(xué)建模活動已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主

15、旋律建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟分析現(xiàn)實原型的研究對象及關(guān)系結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，以確定所要建立數(shù)學(xué)模型的類別。對數(shù)學(xué)模型進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計算，得出數(shù)學(xué)結(jié)果。把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于原型，得出實際原型問題的解，或得到檢驗，基本符合原型問題的數(shù)學(xué)模型就是一個成功的模型對原型問題合理簡化，取主舍次，以便進行數(shù)學(xué)描述，用數(shù)學(xué)的語言和符號表示各種關(guān)系。確定能反映所要研究問題的基本量和關(guān)系，分辨量與量之間的關(guān)系的主次之分。必要時，可作一些假設(shè)。運用數(shù)學(xué)模型方法解決數(shù)學(xué)問題的框圖運用數(shù)學(xué)模型方法解決數(shù)學(xué)問題的框圖現(xiàn)實原型問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解現(xiàn)實原型問題的解檢驗可推演原則檢驗數(shù)學(xué)抽象簡化原則反映性原則返回解

16、釋數(shù)學(xué)建模的的一般原則數(shù)學(xué)建模的的一般原則建立的數(shù)學(xué)模建立的數(shù)學(xué)模型一定要有數(shù)型一定要有數(shù)學(xué)意義，對其學(xué)意義，對其既能進行理論既能進行理論分析，又能進分析，又能進行計算和推理行計算和推理，且能推演出，且能推演出一些確定的結(jié)一些確定的結(jié)果果.建立的數(shù)學(xué)模建立的數(shù)學(xué)模型必須真實地型必須真實地反映原型的特反映原型的特征和關(guān)系，即征和關(guān)系，即應(yīng)與原型具有應(yīng)與原型具有一定的一定的“相似相似性性”。所得模。所得模型的解既具有型的解既具有說明現(xiàn)實問題說明現(xiàn)實問題的功能，能回的功能，能回到具體研究對到具體研究對象中去解決問象中去解決問題。題。A 簡化原則簡化原則C 反應(yīng)性原則反應(yīng)性原則B 可推演原則可推演原則

17、對原型進行簡對原型進行簡化，抓主要因化，抓主要因素、主變量，素、主變量，可通過作一些可通過作一些人為假設(shè)來減人為假設(shè)來減少系統(tǒng)中的變少系統(tǒng)中的變量個數(shù)量個數(shù)在教學(xué)中滲透模型思想在教學(xué)中滲透模型思想3. 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進行實驗探究等活動例子4. 積極開展綜合實踐活動例子1. 充分展示知識的形成過程例子 2. 實現(xiàn)數(shù)學(xué)化的教學(xué)策略例子一個概念的形成，伴隨著數(shù)學(xué)模型的建立過程。一個概念的形成，伴隨著數(shù)學(xué)模型的建立過程?！傲阒笖?shù)冪零指數(shù)冪”的猜想。的猜想。提出猜想讓學(xué)生根據(jù)同底數(shù)冪除法計算和除法計算得到不同的結(jié)果。提問學(xué)生：為什么會有不同的結(jié)果。學(xué)生猜想質(zhì)疑猜想以細胞分裂為情境，提出問題。數(shù)軸

18、上的2的正整次冪的位置。驗證猜想驗證這個規(guī)定與原來的冪的運算性質(zhì)是相容的。數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化 人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。 弗萊登塔爾實現(xiàn)數(shù)學(xué)化的教學(xué)策略實現(xiàn)數(shù)學(xué)化的教學(xué)策略 汽車報廢年限的問題 某種汽車購買時費用為10萬元，每年使用的費用為兩部分：一是保險費及汽油費，這一塊我們可看成是固定的，設(shè)為9千元。而是汽車的維修費用，這個費用隨著使用年限的增加而增加，平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次遞增，問這種汽車使用多少年報廢最合算（即使用多少年的年平均費用最少）？ 年平均費用=（購買費+每年的固定費用+維修費）/總年數(shù) 設(shè)汽車使用年限為N年，y為使用該汽車的年平均費用創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進行實踐探究創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進行實踐探究活動活動 義務(wù)教育課程標準 教師在教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)問題情境，以此引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、操作、探究、歸納、猜想、討論、交流等一系列的活動。 在一個國際活動中，來自不同國家的10位代表第一次見面，他們兩兩握手做自我介紹，試問： 1）在這次見面中有多少次不同的握手？ 2）如