幾種常見圓錐曲線題型小結(jié)

1、 幾種常見圓錐曲線題型小結(jié)圓錐曲線的常見題型包括：1.圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、2.與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、3.與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題4.圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題等，5.直線與圓錐曲線位置關(guān)系等。下面分別作簡(jiǎn)單介紹。一、重、難、疑點(diǎn)分析1重點(diǎn)：圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題，利用坐標(biāo)法研究直線與圓錐曲線的有關(guān)的問(wèn)題.2難點(diǎn)：雙圓錐曲線的相交問(wèn)題 (應(yīng)當(dāng)提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析)，運(yùn)用解析幾何的思想方法解決幾何問(wèn)題.3疑點(diǎn)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題(解決辦法：因?yàn)檫@類問(wèn)題涉與到線段相等、角相等、直線

2、平行、垂直的證明方法，以與定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過(guò)一些例題予以示)二教學(xué)目標(biāo)1. 理解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，能利用對(duì)方程組的解的討論來(lái)研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，進(jìn)而研究直線與圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題；2.在探究過(guò)程中,幫助學(xué)生體會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，方程的思想、轉(zhuǎn)化思想以與運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和解決問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；3.讓學(xué)生體會(huì)解析幾何的思想方法用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，并強(qiáng)調(diào)理解代數(shù)關(guān)系的幾何意義，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)容之間的在聯(lián)系，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀三簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)1.研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可通過(guò)代數(shù)方法即解方程組的辦法來(lái)分析，因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與直線與

3、圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l:y=kx+b，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為A (x1,y1)，B (x2,y2)，則|AB|=四、題型展示1圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法設(shè)圓錐曲線Cf(x，y)=0與直線ly=kx+b相交于A()、B()兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：(2)若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF| 例1 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，旦|AB|=8，求傾斜角分析一：由弦長(zhǎng)公式易解解答為： 拋物線方程為x2=-4y，焦點(diǎn)為(0，-1)設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-

4、1將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0x1+x2=-4，x1+x2=-4k由|AB|=8得:又有得:或.分析二:利用焦半徑關(guān)系.|AB|=-(+y2)+p=-(kx1-1)+(kx2-1)+p=-k(+x2)+2+p由上述解法易求得結(jié)果，可由同學(xué)們自己試試完成2與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問(wèn)題在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值圍例2已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值解一：將+4(y-1)2=4代入得：+y2=4-4(y-1)2+y2=

5、-3y2+8y由點(diǎn)(x，y)滿足+4(y-1)2=4知：4(y-1)24 即|y-1|10y2當(dāng)y=0時(shí)，(+y2)min=0解二：分析：顯然采用(1)中方法行不通如果令u=x+y，則將此代入+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值令x+y=u，則有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0又0y2，(由(1)可知)-(2u+8)2-4×5×0當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),;3與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題它涉與到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以與定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法例3.在拋物線x24y上有兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y

6、2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點(diǎn)三點(diǎn)共線；(2)為定值.證明：(1)拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1 A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1y1+1，d2=y2+1(如圖246所示)由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|即A、B、F三點(diǎn)共線(2)如圖246，設(shè)AFK=|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sin+2又|BF|=|BB1|=2-|BF|sin小結(jié):與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題解決的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì).4圓錐曲線與圓錐曲線的相交問(wèn)題直線與圓錐曲線相

7、交問(wèn)題，一般可用兩個(gè)方程聯(lián)立后，用0來(lái)處理但用0來(lái)判斷雙圓錐曲線相交問(wèn)題是不可靠的解決這類問(wèn)題：方法1，由“0”與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)例4 已知曲線與有公共點(diǎn),數(shù)a的取值圍可得：=2(1-a)y+-4=0 =4(1-a)2-4(a2-4)0， .如圖247，可知：橢圓中心,半軸長(zhǎng),拋物線頂點(diǎn)為,所以當(dāng)圓錐曲線在下方相切或相交時(shí),.綜上所述,當(dāng)時(shí), 曲線與相交.5利用共線向量解決圓錐曲線中的參數(shù)圍問(wèn)題例5.已知橢圓的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e

8、；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，求 的取值圍；解：（1），。是共線向量，b=c,故。（2）設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，cos=0，。由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問(wèn)題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問(wèn)題。求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題.6. 利用向量的數(shù)量積解決圓錐曲線中的參數(shù)圍問(wèn)題例6.橢圓的焦點(diǎn)為FF，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FP F為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值圍是_。解：由橢圓的知焦點(diǎn)為F1（,0）F2（,0）.設(shè)橢圓上的點(diǎn)可設(shè)為P（3cos,

9、2sin）.為鈍角 =9cos254sin2=5 cos21<0 解得：點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值圍是（）.解決與角有關(guān)的一類問(wèn)題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡(jiǎn)潔明了.7. 直線與圓錐曲線（2）設(shè)點(diǎn)C是橢圓上一點(diǎn)，求它到直線AB的距離的最大值分析方法1：可用把直線AB平移至直線l的位置，直線l與橢圓相切，求直線l的方程，再求切線l到直線AB的最大距離。方法2：先設(shè)C(x,y),表示出C到直線AB的距離，考慮到用函數(shù)的思想方法來(lái)求最值，所以想到把x,y用三角函數(shù)表示出來(lái)，求點(diǎn)C到直線AB的距離的最大值解法1：設(shè)直線l:y=x+m與橢

10、圓相切，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得到：，則即有：，即，解得m=，算得：當(dāng)m=3時(shí)，直線l與直線AB距離d有最大值，=,此時(shí)橢圓上的點(diǎn)C的坐標(biāo)為.法2：設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則d=,因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，設(shè),代入上式，得到：d=令=,=,則d=，當(dāng)=-1，=-,=,即C時(shí)，d有最大值，=。點(diǎn)評(píng)本題考查橢圓的性質(zhì)與方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識(shí)，以與解決綜合問(wèn)題的能力。例2. 已知橢圓,弦AB的中點(diǎn)是P(1，1),求弦AB所在直線的方程.分析目標(biāo)問(wèn)題：“求直線的方程”“過(guò)一點(diǎn)，確定斜率（包括斜率是否存在，存在時(shí)是多少）”幾何條件：直線AB與橢圓交于A，B；弦AB的

11、中點(diǎn)代數(shù)關(guān)系：；. 由此建立關(guān)于斜率的方程求解.解直線AB垂直x軸時(shí)，直線AB中點(diǎn)在x軸上，所以直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB：y-1=k(x-1)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程組：，得：有：，則，得到，把代入判別式驗(yàn)證成立（其實(shí)我們還能判斷出點(diǎn)P必在橢圓）.則AB的方程為：，即解2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，（）因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上，所以，得到：，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)是P（1，1），所以，得到：，所以=，所以AB的方程為：，即.小結(jié)（1）本題是弦的中點(diǎn)問(wèn)題，基本解法是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，用弦的端點(diǎn)坐標(biāo)表示弦的中點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決問(wèn)題。這類問(wèn)題的解決仍然深刻體現(xiàn)了坐標(biāo)法

12、的應(yīng)用.（2）同樣要檢驗(yàn)判別式大于0。（）注意點(diǎn)差法的使用圍.例3.設(shè)是一個(gè)大于0的常數(shù)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，以弦AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心），求證：拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上.分析對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程進(jìn)行描述：用幾何畫板。目標(biāo)問(wèn)題：“點(diǎn)在圓上”“點(diǎn)到圓心的距離等于直徑的一半”；“此點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線形成的圓周角等于º.幾何條件：點(diǎn)在圓上代數(shù)關(guān)系：法1：.法2：解題指導(dǎo)（1）深入探究對(duì)幾何特征的理解，轉(zhuǎn)化出不同的代數(shù)關(guān)系，分析多種證明策略.（2）總結(jié)較復(fù)雜的解析幾何問(wèn)題的解題思路.（）通過(guò)演示讓學(xué)生體會(huì)幾何直觀對(duì)他們的思路打開有一定的幫助.解法1：設(shè)，顯然直線AB不平行于軸，設(shè)直線AB：由方程組 得：則 ，得：.因此：.所以拋物線的頂點(diǎn)O在圓H的圓周上.法2：設(shè)，設(shè)直線AB：，由方程組 得：所以，點(diǎn)，所以拋物線的頂點(diǎn)O在圓H的圓周上.變式設(shè)是一常數(shù)，過(guò)拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦OA和OB.試說(shuō)明動(dòng)直線AB是否過(guò)一個(gè)定點(diǎn). 解