高中數(shù)學(xué) 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案 新人教A版必修1

1、2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算教學(xué)目標(biāo)：1.理解n次方根、根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；2.正確運用根式運算性質(zhì)和有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)；3.培養(yǎng)學(xué)生認識、接受新事物和用聯(lián)系觀點看問題的能力。教學(xué)重點：根式的概念、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì)教學(xué)難點：根式概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)過程： 第一課時 引例：填空（1）； a0=1（a； (2) (m,nZ)； (m,nZ)； (nZ)（3）； -；（4）； （II）講授新課1.引入：（1）填空（1），（2）復(fù)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì)（其中：因為可看作,所以可以歸入性質(zhì)；又因為可看作，所以可以歸入性質(zhì)(nZ)）,這是為下面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指

2、數(shù)冪的概念和性質(zhì)做準(zhǔn)備。為了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，先要學(xué)習(xí)n次根式（）的概念。（2）填空（3），（4）復(fù)習(xí)了平方根、立方根這兩個概念。如：22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根分析：若22=4，則2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，則2叫做32的5次方根，類似地，若2n=a，則2叫a的n次方根。由此，可有：2.n次方根的定義：（板書）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。 問題1：n次方根的定義給出了，x如何用a表示呢

3、？是否正確？分析過程：例1根據(jù)n次方根的概念，分別求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地敘述求解過程）解：因為33=27，所以3是27的3次方根；因為=-32，所以-2是-32的5次方根；因為，所以a2是a6的3次方根。結(jié)論1：當(dāng)n為奇數(shù)時（跟立方根一樣），有下列性質(zhì)：正數(shù)的n次方根是正數(shù)，負數(shù)的n次方根是負數(shù),任何一個數(shù)的方根都是唯一的。此時，a的n次方根可表示為。從而有：，例2根據(jù)n次方根的概念，分別求出16的4次方根，-81的4次方根。解：因為，所以2和-2是16的4次方根；因為任何實數(shù)的4次方都是非負數(shù)，不會等于-81，所以-81沒有4次方根。結(jié)論2：當(dāng)n為

4、偶數(shù)時（跟平方根一樣），有下列性質(zhì)：正數(shù)的n次方根有兩個且互為相反數(shù)，負數(shù)沒有n次方根。此時正數(shù)a的n次方根可表示為：其中表示a的正的n次方根，表示a的負的n次方根。例3根據(jù)n次方根的概念，分別求出0的3次方根，0的4次方根。解：因為不論n為奇數(shù)，還是偶數(shù)，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均為0。結(jié)論3：0的n次方根是0，記作當(dāng)a=0時也有意義。這樣，可在實數(shù)范圍內(nèi)，得到n次方根的性質(zhì)：3.n次方根的性質(zhì)：（板書） 其中 叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。注意：根式是n次方根的一種表示形式，并且，由n次方根的定義，可得到根式的運算性質(zhì)。4.根式運算性質(zhì)：（板書），即一個數(shù)先開方，再

5、乘方（同次），結(jié)果仍為被開方數(shù)。問題2：若對一個數(shù)先乘方，再開方（同次），結(jié)果又是什么？例4：求 ， ， ， 由所得結(jié)果，可有：（板書）性質(zhì)的推導(dǎo)如下：性質(zhì)推導(dǎo)過程：當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，綜上所述，可知：性質(zhì)推導(dǎo)過程： 當(dāng)n為奇數(shù)時，由n次方根定義得：當(dāng)n為偶數(shù)時，由n次方根定義得：則綜上所述：注意：性質(zhì)有一定變化，大家應(yīng)重點掌握。（III）例題講解例1求下列各式的值： （4）（a>b）注意：根指數(shù)n為奇數(shù)的題目較易處理，要側(cè)重于根指數(shù)n為偶數(shù)的運算。（III）課堂練習(xí)：求下列各式的值(1) (2) (3) (4)（IV）課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要能在理解根式概念的基礎(chǔ)上，正確運

6、用根式的運算性質(zhì)解題。（V）課后作業(yè)1、書面作業(yè)：a.求下列各式的值 b.書P69習(xí)題2.1 A組題第1題。2、預(yù)習(xí)作業(yè)：a.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P59P62。b.預(yù)習(xí)提綱：（1）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有何關(guān)系？（2）整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)推廣后有何變化？第二課時1.填空（1） （2）；（3） (4)（5）； （6）（II）講授新課分析：對于“填空”中的第四題，既可根據(jù)n次方根的概念來解：；也可根據(jù)n次方根的性質(zhì)來解：。問題1：觀察，結(jié)果的指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)，根指數(shù)有什么關(guān)系？，即：當(dāng)根指數(shù)的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。問題2：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式

7、是否可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？如：是否可行？分析：假設(shè)冪的運算性質(zhì)對于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也適用，那么，這說明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于這里n=3，a2的3次方根唯一），于是。這說明可行。由此可有：1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：<板書>)注意兩點:一是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式；二是要注意被開方數(shù)an的冪指數(shù)n與根式的根指數(shù)n的一致性。根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以進行互化。問題3：在上述定義中，若沒有“a>0”這個限制，行不行？分析：正例：等等；反例：；又如：。這樣就產(chǎn)生了混亂，因此“a>0”這個限制不可少。至于，這是正確的，但此時不能理解為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，不能代表有理

8、數(shù)（因為不能改寫為），這只表示一種上標(biāo)。而，那是因為，負號內(nèi)部消化了。問題4：如何定義正數(shù)的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？分析：正數(shù)的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿；0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與0的非0整數(shù)冪的意義相仿。2.負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：<板書>3.0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：（板書）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0，0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義（為什么？）。說明：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義只是一種規(guī)定，前面所舉的例子只表示這種規(guī)定的合理性；（2）規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)；（3）可以驗證整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于有理數(shù)冪也同樣適用，即（板書）； (4) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可

9、以進行互化:分式指數(shù)冪可以直接化成根式計算，也可利用來計算；反過來，根式也可化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪來計算。（5）同樣可規(guī)定 ap表示一個確定的實數(shù)； 上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用，有關(guān)念和證明從略； 指數(shù)概念可以擴充到實數(shù)指數(shù)（為下一小節(jié)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)作鋪墊）。（III）例題講解（投影2）例2求值：分析：此題主要運用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)。解：例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：分析：此題應(yīng)結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪意義與有理指數(shù)冪運算性質(zhì)。解：（IV）課堂練習(xí)課本P63練習(xí)：1、2、3、4（V）課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，熟練運用有理指數(shù)冪的運

10、算性質(zhì)。（V）課后作業(yè)1、書面作業(yè)：課本P69習(xí)題2.1A組題第2,3,4.2、預(yù)習(xí)作業(yè)（1）預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P61例題5。（2）預(yù)習(xí)提綱：a.根式的運算如何進行？b.利用理指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡、求值，有哪些常用技巧？教學(xué)后記 第三課時教學(xué)目標(biāo) 1.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；2.熟練運用有理指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡、求值；3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。教學(xué)重點：有理指數(shù)冪運算性質(zhì)運用。教學(xué)難點：化簡、求值的技巧教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)過程 （I）復(fù)習(xí)回顧1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，以及有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念 有理指數(shù)冪運算性質(zhì) ； 2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式（a>0,x>0）

11、 （II）講授新課例1計算下列各式（式中字母都是正數(shù)） 分析：（1）題可以仿照單項式乘除法進行，首先是系數(shù)相乘除，然后是同底數(shù)冪相乘除，并且要注意符號。（2）題先按積的乘方計算，后按冪的乘方計算，等熟練后可簡化計算步驟。對于計算的結(jié)果不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示。如果有特殊要求，可根據(jù)要求給出結(jié)果，但： 結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)；不能同時含有分母和負指數(shù)； 根式需化成最簡根式。解： 例2計算下列各式： 分析：（1）題把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再計算。（2）題先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的最簡形式，然后計算。解：例3求值：分析：（1）題需把各項被開方數(shù)變?yōu)?/p>